福建省莆田第八中学2021-2022高一数学下学期第二次月考试题(含解析)

福建省莆田第八中学2021-2022高一数学下学期第二次月考试题（含
解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知点P （tan ,cos αα）在第三象限，则角α在 A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B 【解析】
解：因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，因此tan 0,cos 0在第二象限ααα<<∴，选B
2. 计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于
A.
12
B.
3
C.
2
D.
2
【答案】A 【解析】
3.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于( ) A.
1
2
(a －b ) B.
1
2
(b －a ) C.
1
2
( a ＋b ) D. 1
2
-
(a ＋b )
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得，2AB AC AM +=，解出向量AM .
【详解】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，
有1
1 ()()22
AM AB AC a b ＝＝．++
故选：C ．
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质，属基础题.．
4.下列函数中，最小正周期为π的是 （ ） A. cos 4y x =
B. sin 2y x =
C. sin
2
x y = D.
cos 4
x
y =
【答案】B 【解析】
本题考查三角函数的
最小正周期
函数的最小正周期为cos y x ω=的最小正周期为2T π
ω
=
.所以cos 4y x =的最小正周期的
242T ππ==，故A 错；cos 4
x y =的最小正周期为2814
T π
π==，故B 错；
则函数的最小正周期为sin y x ω=的最小正周期为2T π
ω
=
.所以sin
2
x
y =的最小正周期的2412
T π
π
=
=，故C 错；sin 2y x =的最小正周期为22
T ππ==，故B 正确； 所以正确为B
5.已知向量()4,2a =-，向量,)5(b x =，且//a b ，那么x 等于( ) A. 10 B. 5
C. －52
D. －10
【答案】D 【解析】 【分析】
利用向量平行的坐标表示求解即可。

【详解】因为向量()4,2a =-，向量,)5(b x =，且//a b ， 所以220x -=，解得10x =- 故选D.
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于简单题。

6.函数πy sin 2x 3⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( )
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数解析式可得当x 2
π
=-时，y ＝sin[（223
ππ
⎛⎫⨯-
- ⎪⎝⎭]＞0，故排除A ，D ； 当x 6
π
=
时，y ＝sin0＝0，故排除C ，从而得解．
【详解】解：当πx 2=-时，ππππ3y sin[2sin πsin 023332⎛⎤⎛⎫⎛
⎫=⨯--=-+==
> ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦
，故排除A ，D ； 当πx 6=
时，ππy sin 2sin0063⎛
⎫=⨯-== ⎪⎝
⎭，故排除C ；
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作图，特值法，属于基础题．
7.设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +=（ ） A. 5 B. 10
C. 25
D. 10
【答案】B 【解析】
试题分析：由a b ⊥知
，则
，可得
．故本题答案应选B ．
考点：1.向量的数量积；2.向量的模．
8.下列各式中，值为
1
2
的是 ( ) A. 00sin15cos15
B. 2
2
cos
sin 12
12
π
π
- 11cos 226
π+ D.
20
tan 22.51tan 22.5
- 【答案】D 【解析】
22
tan 22.512tan 22.511
tan 451tan 22.521tan 22.522
︒︒=⋅=︒=-︒-︒.
9.已知0＜A ＜
2
π，且cos A ＝3
5，那么sin 2A 等于( )
A. 425
B. 725
C. 1225
D.
2425
【答案】D 【解析】 因为02
A π
＜＜ ,且3cos 5A ＝，所以4sin 5A =
，所以4324sin22sin cos 25525
A A A ==⨯⨯=.故选D.
10.已知,αβ为锐角，且cos α
,cos β
，则αβ
+
的
值是( )
A.
2
3
π B. 34π
C.
4
π D.
3
π
【答案】B 【解析】
分析：由,αβ
为锐角，且cos αβ=
=，
，求出sin sin αβ==，求()cos αβ+的值，确定αβ+的值.
详解：因为,αβ
为锐角，且cos αβ=
=， 所以可得sin sin αβ=
=， 由,αβ为锐角，可得0αβ<+<π，
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-= 故34
αβπ
+=
，故选B. 点睛：三角函数求值有三类：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
11.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 3y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象（ ） A. 向左平移
3
π
个单位 B. 向右平移
3
π
个单位
C. 向右平移6
π
个单位 D. 向左平移
6
π
个单位 【答案】C 【解析】
试题分析：因为cos sin sin 3236y x x x ππππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-
=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，所以只需将函数cos 3y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象右移6π个单位即得函数sin y x =的图象，关系C 。

考点：本题主要考查三角函数图象的变换，诱导公式的应用。

点评：简单题，函数图象左右平移变换中，遵循“左加右减”。

12.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是( ) A. －
32
B. －2
C. －
43
D. －1
【答案】A 【解析】 【分析】
建立直角坐标系，设(),P x y ，得出()PA PB PC ⋅+关于,x y 的表达式，配方即可得出答案。

【详解】以BC 为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立空间直角坐标系，如图
则(3A ，设(),P x y ，则2
222
33()22232222PA PB PC x y x y ⎛⋅+=+-=+-- ⎝
⎭ 所以当3
0,2
x y ==时，()PA PB PC ⋅+取得最小值32-
故选A.
【点睛】本题考查向量的应用，解题的关键是设(),P x y ，得出()PA PB PC ⋅+关于,x y 的表
达式，属于一般题。

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分. 13.PM PN ⊥的值为_____________．
【答案】4
【解析】 【分析】
了由两角和的正弦公式计算即可. 【
详
解
】
(
)
00000001sin75sin 4530sin45cos30cos 45sin 302224
⎛⎫=+=+=
+= ⎪ ⎪⎝⎭
即答案为
4
【点睛】本题考查两角和的正弦公式，属基础题.
14.已知向量()()2,4,1,1a b ==．若向量b 与a λb +的
夹角是钝角，则实数λ的取值范围是
____________
【答案】(3)-∞-，
【解析】 【分析】
由()()2,4,1,1a b ==，可知()2,4a b λλλ+=++，因为向量b 与a λb +的夹角是钝角，从而得出答案。

【详解】因为向量()()2,4,1,1a b ==，所以()2,4a b λλλ+=++ 因为向量b 与a λb +的夹角是钝角，
所以()
()()1214620b a b λλλλ⋅+=⨯++⨯+=+< 解得3λ<- ，而b 与a λb +不可能共线，
所以实数λ的取值范围是(3)-∞-，
【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，属于一般题。

15.函数()sin(2)6
f x x π
=-
的单调递减区间是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为()sin(2)6
f x x π
=-
；所以由
可得
所以函数的递减区间为。

考点：三角函数的性质.
16.函数π()3sin 23f x x ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）． ①图象C 关于直线11
π12
x =
对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π
3
个单位长度可以得到图象C 【答案】①②③ 【解析】
，故①正确；
时，
，故②正确； ，故③不正确；
，故④不正确.
三、解答题 本大题共6小题，17题10分，其他每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =, (1) 求 a b ; (2) 求 ||a b +. 【答案】（1）1；（2）7 【解析】 【分析】
（1）利用向量数量积的定义求解； （2）先求模长的平方，再进行开方可得. 【
详解】（1）a •b =|a ||b |cos60°=2×1×1
2
=1； （2）|a +b |2=（a +b ）2 =2a +2a •b +2b =4+2×1+1 =7.
所以|a +b . 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.
18.(1)已知4
cos 5
α=-，且α为第三象限角，求sin 的值 (2)已知tan 3α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα-+ 的值.
【答案】（1）33sin ,tan 54
αα∴=-=；（2）5
7
【解析】
试题分析：（1）先求3sin 3
sin tan 5cos 4
αααα==-
⇒== （2）原式4tan 25
53tan 7
αα-=
=+.
试题解析：
（1）
4
cos 5
α=
且α 为第三象限
3sin 3
sin ,tan 5cos 4
αααα∴==-== …………4分
（2）4tan 25
53tan 7
αα-=
=+原式 ……………8分
19.已知(1,2)a =,(3,2)b =-,当k 为何值时， (1) ka b +与3a b -垂直？
(2) ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？ 【答案】（1）19；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）先表示出ka b +和3a b -的坐标，利用数量积为0可得k ；
（2）先表示出ka b +和3a b -的坐标，利用共线的坐标表示可以求得k ，方向的判定结合坐标分量的符号来进行.
【详解】k ()()()1
232322a b k k k +=+-=-+，，， 3a b -=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）
（1）()()
3ka b a b +⊥-，得()()
3ka b a b +⋅-=10（k -3）-4（2k +2）=2k -38=0，k =19 （2）(
)(
)
3ka b
a b +-，得-4（k -3）=10（2k +2），k =-1
3
此时k 1041333a b ⎛⎫
+=-
=- ⎪⎝⎭
，（10，-4），所以方向相反．
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，明确坐标运算时，垂直和平行的条件是求解关键，题目较简单.
20.若0,02
2π
π
αβ<<
-
<<
，1cos ,cos 4342ππβα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
【答案】53 【解析】 试题分析：因为02πα<<，所以42ππα<<，又1cos()43π
α+=，所以22sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，由3423cos πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3sin 423
πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又02πβ-<<，则0424πβπ<+<，所以642cos πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此53sin 24
42cos βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：三角恒等变换中的角度变换、诱导公式、两角和正弦公式的应用.
【易错点晴】此题主要考查三角恒等变换中的角度变换、诱导公式、两角和正弦公式等方面知识的应用，属于中档题.在三角恒等变换中常常根据条件与问题之间的角度、三角函数名等关系，通过将角度进行适当的转变、三角函数名进行适当的转换来进行问题的解决，这样会往往使问题的解决过程显得方便快捷，但需要提醒的是对角度进行转变时，应该注意新的角度的范围对三角函数值的影响.
21.函数sin()y A x ωφ=+在一个周期内的图象如图，其中0,0,0A ωϕ>><<π
（1）求此函数的解析式 （2）求函数的单调增区间
【答案】（1）22sin(2)3y x π=+
（2）7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】
（1）直接由函数图像得到A 和函数的半周期，再由周期求得ω，再由五点作图的第二点求得
ϕ，从而得出答案。

（2）根据正弦函数的单调性，构造不等式，解不等式可得函数的单调区间。

【详解】（1）由图可知2A =，5212122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭, 所以T π= ，
又因为0>ω， 所以2ω=
由五点作图的第二点求得2122ππϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭
所以此函数的解析式为22sin(2)3y x π=+
（2）由()2222232k x k k Z πππππ-
+≤+≤+∈ 解得()71212
k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈ 所以单调增区间7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题考查求sin()y A x ωφ=+型函数的解析式和单调区间，由函数图像得到A 和函数的半周期，再由周期求得ω，最后代点求ϕ，即可求出解析式，属于基础题。

22.已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且()f x a b =
(1) 求函数()f x 的解析式;
(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.
【答案】（1）函数
的最小正周期π （2）max 11()1222f x ∴=+
-=-,此时262x ππ+=,6
x π=. 【解析】
(1)
即22()3cos cos f x x x x m =+-——4分
(2)23sin 21cos 2()2x x f x m +=+-
21sin(2)62x m π
=++-——6分
由,63x ππ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣⎦,52,666x π
ππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,1sin(2),162x π⎡⎤
∴+∈-⎢⎥⎣⎦,
2
11422m ∴-+-=-,——8分
, 此时262x π
π
+=,6x π
=. ——10分。