人教版立体几何多选题单元达标测试基础卷试卷

人教版立体几何多选题单元达标测试基础卷试卷
一、立体几何多选题
1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若
||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）
A ．点E 的轨迹是一个圆
B ．点F 的轨迹是一个圆
C ．EF 21-
D ．A
E 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为1530
15
【答案】ACD 【分析】
对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =
+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；
选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =
+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面
1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；
对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以
AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；
对于C:在平面1111D C B A 内，
1A 到直线11B D 的距离为2,d
=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正
确； 对于D:
建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D
因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-
设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1
·
220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩
不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：
22|
||sin |cos ,|||||5315
n AE n AE n AE πθα⎛
⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4
π
θ=时，sin α221530
1515
=
， 故D 正确
故选：CD 【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
2．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动
点，则（ ）
A ．FM 与BD 一定是异面直线
B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14
C ．直线11B C 与B
D 所成角为
2
π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -55
【答案】CD 【分析】
A 当特殊情况M 与
B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11AC
C A ，可知EMF
S
、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面
垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】
A ：当M 与
B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE A
C ⊥，AC EF ⊥且BE
EF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂
面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又
11
21122
EMF
S
EF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1
1
33
D EMF EMF
V h S
-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B B
AB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即
11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；
D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为
1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故225
2
OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152
OB OE OF OB ====
，
令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5
R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为354356
V R ππ=
=，正确. 故选：CD. 【点睛】
关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.
3．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得1CN A
B ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是
43
π 【答案】BD 【分析】
对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；
对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），11
2
NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．
对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．
对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体
积是
4
3π． 【详解】
对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥， 如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点， 不可能，故A 选项不正确；
对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），
11
2
NE AB =
（定值），AM EC =（定值），
故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，
整理得2
2
2212422
AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 选项正确．
对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ， 由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，
111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，
从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．
对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，
此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得12
BO =
2DM =22
2211221
22B E OB OE ⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，
体积是
4
3
π．故D 选项正确． 故答案为：BD ． 【点睛】
本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.
4．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足
1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）
A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11
B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线B
C 所成角可能为30︒
C ．平面1A BE 与平面11CD
D C 所成锐二面角的正切值为2
D ．设正方体棱长为1，则过点
E ，
F ，A 5 【答案】AC 【分析】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；
【详解】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，
1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．
取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；
设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=
1tan 3023
︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11
111tan B C B FC C F ∠==22
C 正确；
因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为
6
，故D 错误. 故选：AC.
【点睛】
本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．
5．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是
11
,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥
D ．当1
13AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】
如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，
13
4
AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡∈⎣，()
2,23,Q b ，
[]0,2b ∈，
设11
A R AC λ=，得到()
22,23,22R λλλ--，[]
0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正
确；
()
122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取2
2b
λ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；
1AR A C ⊥，则
()()
12,23,222,23,2212440AR AC λλλλ
λλ⋅=--⋅--=-+-+=， 1
4λ=，此时11333313,,,,022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,33D R ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭，
设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10
0n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，解得(
)
3,1,3n =
-，
故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .
【点睛】
本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.
6．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且
AD AC
λ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，
下列结论不成立的是（ ）
A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '
B ．存在102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE
C ．若1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，||10A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为2
3
【答案】ABC 【分析】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.
对于B ，102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即
可判断出结论. 对于C ，1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()31
33
BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.
【详解】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，
则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，
因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.
对于B ，102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因
此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：
可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010(
)1()21cos12022224
A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()31
33BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=时，函数
()f λ取得最大值()3123
13f λ⎛⎫=
-=
⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.
7．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )
A ．DP 35
B ．DP 5
C ．1AP PC +6
D ．1AP PC +的最小值为
170
5
【答案】AD 【分析】
DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.
【详解】
求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知11A B A D BD ===，所以
1A B 边上的高为h =
111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为
所求的最小值，易知11
1
2,10
AA AC AAC '
'
==∠=-，
所以5
AC '==. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用旋转求解线段最小值问题.
求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．
8．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A B ．侧棱与底面所成的角为4
π
C D ．侧棱与底面所成的角为
3
π 【答案】AB 【分析】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h =
=得254
h a
=，然后可得侧
a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后
求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h =
=，即254h a
= 所以其侧面积为222224
4
215410842244a a a h a a a
⋅⋅+=+=+令()24
2108f a a a =+，则()23
3
21084f a a a
⨯'=- 令()2
3
3
210840f a a a
⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减
当()
3
2,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增
所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =
所以棱锥的高与底面边长的比为
2
2
，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4
SAO π
∠=，故B 正确，D 错误
故选：AB 【点睛】
本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.
9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）
A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1D
B ．三棱锥P ﹣A 1
C 1
D 的体积为定值
C ．异面直线AP 与A 1
D 所成角的取值范用是[45°，90°] D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6
【答案】ABD 【分析】
在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 6． 【详解】
解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1， ∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1， ∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确； 在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ， ∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，
∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，
又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确； 在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；
在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），
则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1）， 设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，
则1100
n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪
⎨
⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n
，
∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为：
11||
|
|||
C P n C P n ⋅⋅＝22
(1)3a a +-⋅＝21132()
22
a ⋅-+， ∴当a ＝
12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为6
3
，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解； （2）、用空间向量坐标公式求解.
10．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱
1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）
A ．四边形1BFD E 有可能是梯形
B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形
C ．四边形1BF
D
E 有可能垂直于平面11BB D D
D ．四边形1BFD
E 面积的最小值为6 【答案】BCD 【分析】
四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面
11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62
.
【详解】
过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.
平面1BFD E
平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，
故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；
对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面
1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；
对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16
232⨯⨯=
，因此D 正确. 故选：BCD
【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。