等边三角形性质与判定练习题

第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）
一．选择题（共8小题）
1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A． 180° B． 220°C．240° D． 300°
2．下列说法正确的是（）
A．等腰三角形的两条高相等 C．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形
B．等腰三角形一定是锐角三角形 D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）
A． 1个 B． 2个C． 3个 D． 4个
4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B． 30° C．45° D． 60°
5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点，
且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）
A．△DEF是等边三角形 B．△ADF≌△BED≌△CFE
C．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF
6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A． 30° B． 45° C． 120°D． 15°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）
A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm
第 1 题第4题第5题第7题 8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10小题）
9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A= _________ 度．
10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC= _________ cm．
11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________ 三角形．
12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________
13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN= _________ ．
14．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于多少？
E
D C A
15．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)______________；(2)______________；
(3)______________.
16．如图，将边长为6cm 的等边三角形△ABC 沿BC 方向向右平移后得△DEF ，DE 、AC 相交于点G ，若线段CF=4cm ，则△GEC 的周长是 _________ cm ．
17．如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD=CE ，则∠BCD+∠CBE= _________ 度．
课后作业
1.
2.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。

3.等边三角形两个内角的平分线所成的钝角的度数是_____________.
4.若一个三角形有两个外角都是120°，则这个三角形是__________三角形。

5.等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是_________。

6.若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是_________三角形。

7.若右图所示，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2=60°.求证：△
AB C是等边三角形。

7．如下图：等边△ABC，D是三角形外一点，若AD=AC，则∠BDC=_____________
度。

8、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm 则△ABC的周长________
△ABC是等腰三角形，周长为15cm且∠A=60°，则BC=_______
9．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2= _______°．
10．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是_________ ．
①BE=CD；②∠BO D=60°；③∠BDO=∠CEO．
11.如右图所示，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是等边三角形吗？说明理由。

12．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．
（1）求证：AD=BE；
（2）求AD的长
13．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△
DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形
14．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
15．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，
找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
16．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，试判断△CEB 的形状，并说明理由．
17．如图，已知 B、C、E三点共线，分别以BC、CE为边作等边△ABC和等边△
CDE，连接BD、AE分别与AC、CD 交于M、N，AE与BD的交点为F．
（1）求证：BD=AE；
（2）求∠AFB的度数；
（3）求证：BM=AN；
（4）连接MN，求证：MN∥BC．
23．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN=BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明
一、CDDBDCCD
二、9、60；10、10；11、等边；12、等边三角形；13、90度；14、60度；15、6；
16、60；17、130；18、①②
三、19、（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
20、解答：解：△BDC≌△AEC．理由如下：
∵△ABC、△EDC均为等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°．
从而∠BCD=∠ACE．
在△BDC和△AEC中，，
∴△BDC≌△AEC（SAS）．
21、解答：证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量加等量和相等）．（1分）
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．（6分）
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．（7分）
22、解答：解：△CEB是等边三角形．（1分）
证明：∵AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC，
∴∠CBE=∠ABE=60°．（3分）
又DE=DB，BE⊥AC，
∴CB=C E．（5分）
∴△CEB是等边三角形．（7分）
23、（1）证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即：∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
（2）证明：∵△AC N≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB．
又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠MCF=∠ACE．
在△CAE和△CMF中
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA）．
∴CE=CF．
∴△CEF为等腰三角形．
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形．
（3）解：如右图，
∵△CMA和△NCB都为等边三角形，
∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，
∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，
∴△CMB≌△CAN，
∴AN=MB，
结论1成立，结论2不成立．。