第八讲 分式运算及化简求值
分式的化简与求值
分式的化简与求值一、分式的概念及性质若用A 、B 表示两个整式，则BA 就叫做分式，其中：B 中含有字母且B ≠0。
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：MB M A B A ⨯⨯=，MB M A BA ÷÷=（M 是不为零的整式）。
（1） 分式中分子、分母与分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。
即：BA BA =--，BA BA BA -=-=-。
（2） 在分式运算中，可以把一个分式的分子、分母的公因式约去，我们称这一过程叫分式的约分。
（3） 在分式运算中，可以把n 个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式，我们称这一过程叫分式的通分。
二、例题与练习：（一）巩固概念例1 当x 取何范围内取值时，下列分式有意义？（1）4422+-+x x x ，（2）1222-++x x例2 当x 取何值时，分式212---x x x 的值为零？例3 将分式3243-++x x x 分解成部分分式。
例4 当x 取何整数时，下列各式中的y 值也是整数？（1）16-=x y ； （2）31+-=x x y ； （3）131++=x x y ；（5）222-+-=x x x y （6）13122-+-=x x x y（二）化简与求值 例5 化简下列分式： （1）1132--++x xx x （2）⎪⎭⎫⎝⎛-++÷⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-b a bb a b b a b a ba b a（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222)(11)2(11)1(11n x x x （4）168421161814121111aa aaaa--++++++++-（5）1271651231222++++++++x x x x x x（6）4192372252132+++++-++-++x x x x x x x x（7）abbc ac c b a c acbc ab b a c b bcac ab a c b a +----++----++----222222 （a 、b 、c 两两不相等）（8）()()()()()()199919972532312+++++++++x x x x x x（9）()()()()()d c b a c b a dc b a b a cb a a b +++++++++++（10）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a c a c b c b a b a c a c b c b a 111111111111222例6 若abc ＝1，求111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值。
分式的化简求值课件
目录
• 分式化简概述 • 分式的约分 • 分式的通分 • 分式的化简求值
01
分式化简概述
分式化简的定义
总结词
分式化简是指将分式通过约分、通分、分子分母分解因式等方式，将其转化为 最简形式的过程。
详细描述
分式化简是数学中一个重要的概念，它涉及到分数的约分、通分、分子分母分 解因式等操作，目的是将分式简化到最简形式。最简形式是指分子和分母没有 公因式，且分子和分母互质的分式。
02
分式的约分
约分的定义和性质
约分的定义
约分是将一个分式化简为最简形 式的过程，通过约分可以简化分 式的计算和化简过程。
约分的性质
约分后分式的值不变，即约分前 后的分式相等；约分后的分式比 原分式更加简单明了，易于计算 和理解。
约分的步骤和方法
找出分子和分母的最大公约数
01
通过因式分解、质因数分解等方法找出分子和分母的最大公约
分式化简的意义和作用
总结词
分式化简在数学中具有重要的意义和作用，它可以帮助学生更好地理解分数和分式的概念，提高解题速度和准确 度。
详细描述
通过分式化简，学生可以更好地理解分数和分式的本质和特点，掌握其运算规则和技巧。同时，分式化简也可以 帮助学生提高解题速度和准确度，减少计算错误和混淆的可能性。此外，分式化简在数学研究和应用中也具有广 泛的应用价值，如在物理、化学、工程等领域中都有重要的应用。
02
分别对分子、分母进行 因式分解。
03
将每个分式化为最简比 的形式。
04
约分：如果分子、分母 有公因式，则约去公因 式。
通分的注意事项
注意最简公分母的选择
注意化简求值时的符号
初中数学重点梳理：分式的化简与求值
分式的化简与求值知识定位分式的化简与求值是竞赛部分重要内容，要掌握分式运算的基本性质，会灵活对分式作恒等变形，能利用参数对复杂的分式进行化简与求值，另外整体法的应用也要掌握，本节对常见的题型与方法做讲解知识梳理分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值 给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。
而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略。
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标。
又要抓住条件，既要根据目标变换条件。
又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：1、恰当引入参数；2、取倒数或利用倒数关系；3、拆项变形或拆分变形；4、整体代入；5、利用比例性质等。
例题精讲◆专题一：恰当引入参数 【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】若，则的值是 。
【答案】0或2- 【解析】设k add c c b b a ====则432ak a ,ak ck b ,ak dk c ,ak d ======则14=k 则1±=k ，当1=k 时，原式等于0；当1-=k 时，原式等于2-。
【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】若，求x ,y ,z（甘肃升中题）。
【答案】【解析】解：设k（k≠0）, 那么x=2k、y=3k、z=4k 代入x+y－z=,得：2k＋3k－4k=,解得：k=，所以:x=，y=，z=.评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。
下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。
2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。
3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。
4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。
5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。
6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。
7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。
8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。
以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
分式的化简和计算
分式的化简和计算分式是数学中常见的表达方式，可以用于表示两个数之间的比值或者一个数除以另一个数。
在分式的化简和计算中，我们需要了解一些基本的规则和方法。
本文将介绍分式的化简和计算的相关知识。
一、分式的基本表示分式的一般形式为a/b，其中a和b都是整数，且b不等于0。
a被称为分子，b被称为分母。
分式表示了a与b之间的比值关系。
二、分式的化简化简分式的目的是将其写成更简单的形式，通常是将分子和分母的公因式约去，使得分式的值保持不变。
1. 约分如果分子和分母都有一个共同的因子，可以将其约去，得到一个等价的分式。
例如，对于分式6/9，可以将6和9都除以3，得到2/3。
2. 合并同类项对于分式中的分子或分母，如果有多个同类项相加或相减，可以进行合并，简化分式。
例如，对于分式3/5 + 2/5，可以合并分子得到5/5，即1。
3. 分式的乘法和除法分式的乘法可以通过将分子与分子相乘，分母与分母相乘，得到一个新的分式。
例如，(2/3) * (4/5) = 8/15。
分式的除法可以通过将分式转化为乘法，即将除法转化为倒数相乘的形式。
例如，(2/3) ÷ (4/5) 可以转化为 (2/3) * (5/4)，然后按照乘法的规则进行计算。
三、分式的计算分式的计算包括分式的加法和减法，以及分式的乘法和除法。
1. 分式的加法和减法分式的加法和减法需要满足两个分式的分母相同，才能进行运算。
如果分母不同，需要进行通分操作，即将两个分式的分母改为相同的值，然后按照通分后的分母进行相应的运算。
例如，对于分式1/4 + 2/5，可以通分得到5/20 + 8/20，然后将分子相加得到13/20。
分式的减法也是类似的操作，只是将分子相减而已。
2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法可以直接按照前述的规则进行计算。
例如，(2/3) * (4/5) = 8/15，(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) * (5/4) = 10/12 = 5/6。
分式的计算与化简
分式的计算与化简分式是数学中常见的一种数值表示方式，它由分子和分母组成，分子与分母之间用水平分数线" / "连接。
在实际问题中，我们常需进行分式的计算和化简。
本文将介绍分式的计算方法和分式的化简规则，并给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用。
一、分式的计算方法1. 分式的加减法分式的加减法遵循找到通分并进行运算的原则。
具体步骤如下：（1）找到两个分式的最小公倍数(MCM)作为通分的分母。
（2）将两个分式的分子乘以对方的通分因子，并得到新的分子。
（3）将分子与通分因子相乘得到的分母更新为通分的分母。
（4）将新的分子除以新的分母，并进行化简。
示例：计算 1/2 + 1/3解：首先确定通分因子为6，分别将1/2 和 1/3 的分子乘以对方的分母：1/2 + 1/3 = (1×3)/(2×3) + (1×2)/(3×2)= 3/6 + 2/6= 5/62. 分式的乘法分式的乘法规则简单明了，直接将分子与分母分别相乘，并对结果进行化简即可。
示例：计算 2/3 × 3/4解：将分子 2 与分母 3 相乘得到新的分子，分子 3 与分母 4 相乘得到新的分母：2/3 × 3/4 = (2×3)/(3×4) = 6/12= 1/2 （化简）3. 分式的除法分式的除法可转化为乘法，即将除法转化为分子与倒数分母的乘法。
具体步骤如下：（1）将除号转化为乘号。
（2）将被除数（原分子）与除数（原分母的倒数）进行相乘。
（3）对相乘的结果进行化简。
示例：计算 2/3 ÷ 1/4解：将除号转换为乘号，被除数为2/3，除数为1/4的倒数，即4/1。
2/3 ÷ 1/4 = 2/3 × 4/1 = (2×4)/(3×1) = 8/3≈ 2 2/3 （化简）二、分式的化简规则1. 化简分式的注意事项在化简分式时，需要注意以下几个常见的规则：（1）约去分子与分母的公因数。
分式的化简公式
分式的化简公式分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成，分子和分母都是代数式或者数。
在解决问题的过程中，我们经常需要对分式进行化简，以便更方便地进行计算。
下面将介绍一些分式的化简公式及其应用。
一、分式的乘法公式当两个分式相乘时，可以利用分式的乘法公式进行化简。
假设有两个分式A和B，其形式分别为A = a/b、B = c/d，其中a、b、c、d均为实数。
则A×B = (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d)这个公式可以将两个分子相乘再除以两个分母的积，从而得到分式的乘法结果。
例如，化简分式(3/5) × (4/7)：(3/5) × (4/7) = (3 × 4)/(5 × 7) = 12/35二、分式的除法公式当两个分式相除时，可以利用分式的除法公式进行化简。
假设有两个分式A和B，其形式分别为A = a/b、B = c/d，其中a、b、c、d均为实数。
则A/B = (a/b) ÷ (c/d) = (a × d)/(b × c)这个公式可以将第一个分子乘以第二个分母，并且将第一个分母乘以第二个分子，从而得到分式的除法结果。
例如，化简分式(5/9) ÷ (2/3)：(5/9) ÷ (2/3) = (5 × 3)/(9 × 2) = 15/18 = 5/6三、分式的加法和减法公式当两个分式相加或相减时，可以利用分式的加法和减法公式进行化简。
假设有两个分式A和B，其形式分别为A = a/b、B = c/d，其中a、b、c、d均为实数。
则A + B = (a/b) + (c/d) = (a × d + b × c)/(b × d)A -B = (a/b) - (c/d) = (a × d - b × c)/(b × d)这个公式可以将两个分式的分子与分母进行相应运算，并将结果合并为一个分式。
初三复习 分式的化简求值与分式方程
分式的化简求值与分式方程一、分式化简技巧1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。
2. 要注意运算顺序，先乘方、同级运算从左到右依次进行。
3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。
4. 注意分式化简题不能去分母.类型一、分式化简1、计算：2、化简:类型二、化简求值3、先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--÷-x y xy x x y x 22，其中1,2-==y x 。
2、4、先化简，再求值：21121222+---÷+++x xx x x x x ，其中x=23-．2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭35(2)482y y y y -÷+---5、先化简，再求代数式的值．22+2(+)+111a a a a a ÷-+，其中2012(1)tan 60a =-+︒类型三、化简求值与不等式组6、先化简再求值：，其中x 是不等式组的整数解．类型四、化简求值，整体代入7、已知11)a b a b+=≠，求()()a b b a b a a b ---的值。
8、先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．二、分式方程技巧：解分式方程的步骤：1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为13、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。
1、解方程：22333xx x -+=--2、解分式方程：163104245--+=--x x x x3、解方程：．课后练习1、解分式方程：212111xx x -=--2、化简，：，12111xx x -=--2211()22x yx y x x y x +--++3、在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了 200 m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图 6－5－7)，由此可知，B、C 两地相距多少米。
分式的化简与求值
• 直接通分计算较繁，先把每个假分式 直接通分计算较繁， 化成整式与真分式之和的形式， 化成整式与真分式之和的形式，再化 简将简便得多
例2 求分式
典型例题解析
当a=2时的值 时的值 直接通分较复杂，注意到平方差公式： 直接通分较复杂，注意到平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
典型例题解析
典型例题解析
化简分式： 例7 化简分式：
典型例题解析
典型例题解析
要点、 要点、考点聚焦
在分式运算中， 在分式运算中，主要是通过约 分和通分来化简分式， 分和通分来化简分式，从而对分式 进行求值．除此之外， 进行求值．除此之外，还要根据分 式的具体特征灵活变形， 式的具体特征灵活变形，以使问题 得到迅速准确的解答． 得到迅速准确的解答．
典型例题解析
化简分式： 例1 化简分式：
• 例3 若abc=1，求 ，
典型例题解析
化简分式： 例4 化简分式：
典型例题解析
化简计算(式中 式中a， ， 两两不 例5. 化简计算 式中 ，b，c两两不 相等)： 相等 ：
典型例题解析
已知： 不全相等)， 例6 已知：x+y+z=3a(a≠0,且x，y，z不全相等 ， 且 ， ， 不全相等 求 • 本题字母多 分式复杂.若把条件写成 本题字母多,分式复杂 若把条件写成 分式复杂 若把条件写成(x-a)+(ya)+ห้องสมุดไป่ตู้z-a)=0，那么题目只与 ，y-a，z-a有关， 有关， ，那么题目只与x-a， ， 有关 为简化计算，可用换元法求解． 为简化计算，可用换元法求解．
分式的化简与求值
暑期初三数学系列讲座
要点、 要点、考点聚焦
分式的有关概念和性质与分数相类似 例如，分式的分母的值不能是零， 例如，分式的分母的值不能是零，即分 式只有在分母不等于零时才有意义； 式只有在分母不等于零时才有意义；也 像分数一样， 像分数一样，分式的分子与分母都乘以 (或除以 同一个不等于零的整式，分式 或除以)同一个不等于零的整式 或除以 同一个不等于零的整式， 的值不变， 的值不变，这一性质是分式运算中通分 和约分的理论根据． 和约分的理论根据．
中考复习分式整式化简求值初三
一.教学目标：1、分式的化简求值,理解分式的化简步骤,以及在化简过程中的注意事项2、整式的化简求值,了解整式化简的步骤,以及在化过程中的注意事项1.教学重难点：1分式的约分和通分化简以及化简过程中的方法技巧2整式幂的运算,合并同类项以及化简过程中的方法技巧分式的化简求值一、分式的概念一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫作分式．分式会AB中A叫作分子,B叫作分母．注意：1判断一个式子是否为分式,关键是看分母中是否有字母．2分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母,如12,2x是整式,而2x是分式．3分式有无意义的条件：①若0B≠,则分式AB有意义；②若0B=,则分式AB无意义．4分式的值为零的条件：若{00A B=≠,则分式A B的值为零,反之也成立．二、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变．用式子表示是：A A MB B M⋅=⋅,()0A A MMB B M÷=≠÷,其中A,B,M是整式．课题分式整式的化简求值学生姓名年级初三日期注意：1分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质,可以在不改变分式的值的条件下,对分式作一系列的变形．2当分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子或分母用括号括上．再将分子与分母同乘或除以相同的整式．三、约分、最简分式及通分的概念1．约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫作分式的约分．说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式,找公因式的方法：1当分子和分母都是单项式时,先找出它们系数的最大公约数,再确定相同字母的最低次幂,它们的乘积就是分子与分母的公因式．2当分子、分母是多项式时,先将分子、分母因式分解,把分子、分母化为几个因式的积后,再找出分子、分母的公因式．约分应注意一定要把公因式约尽,还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时,要用分子、分母的公因式去除整个多项式,不能只除某一项,更不能减去某一项．例如2233a x a b x b+=+是错误的． 2.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式,关键是确定其分子与分母是否有公因式1除外．分式的约分,一般要约去分子和分母的所有公因式,使所得结果成为最简分式或整式．注意：1最简分式与小学学过的最简分数类似．2最简分式是对一个独立的分式而言的,最大的特点是只有一条分数线．形如322x y ++,233ax y ++的分式都不是最简分式． 3.通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．4最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积,叫作最简公分母．注意：确定最简公分母的一般方法：1如果各分母都是单项式,确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母,连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母．学科网2如果各分母都是多项式,就要把它们分解因式,再按照分母是单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去求．方法技巧归纳方法技巧 一应用分式概念解题的规律1．分式的判别方法 根据定义判定式子A B 是否为分式要注意两点：一是A ,B 都是整式,二是B 中含字母且0B ≠．判断一个代数式是否为分式,还应注意不能把原式变形如约分等,而只能根据它的最初形式进行判断．如根据()()()()22222a b a b a b a b a b a b +---==++,判定()222a b a b -+不是分式,这是错误的． 2．对分式有无意义或值为0的条件判断二分式基本性质的应用分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据,正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键．利用分式的基本性质可将分式恒等变形,化简分式,简化计算等．1．约分参考三12．通分参考三3三分式值的特殊情况拓展1．分式的值为1或1-的讨论 若分成()10A B B =≠,则A B =,反之也成立；若分式()10A B B=-≠,则A 与B 互为相反数,反之也成立．2．分式的值为正数的讨论分式的值为正数时,分式的分子与分母同号,利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范围．3．分式的值为负数的讨论分式的值为负数时,分式的分子与分母异号,利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范范围．4．分式的值为整数的讨论若分式的值为整数,则分母必为分子的约数,利用这一关系可对分母进行讨论．四、分式的乘除法分式的乘除法与分数的乘除法类似,法则如下：1乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,用式子表示是：a c a c b d b d⋅⋅=⋅． 2除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,用式子表示是：ac ad a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． 3分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方,用式子表示是：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭n 是正整数．注意：1法则中的字母a ,b ,c ,d 所代表的可以是单项式,也可以是多项式． 2运算的结果必须是最简分式或整式．五、分式的加减法1．同分母分式加减法的法则与同分母的分数加减法类似,同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减． 用式子表示是：a b a b c c c ±±=． 注意：1“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是多项式时,应将各分子加括号,括号不能省略,2运算结果必须化为最简分式或整式．2．异分母分式加减法的法则与异分母的分数加减法类似,异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减． 用式子表示是：ac ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=． 六、分式的混合运算分式的混合运算的顺序是：先乘方,再乘除,最后算加减；遇到括号,先算括号内的；在同级运算中,从左向右依次进行．注意：1实数的运算律对分式同样适用,注意灵活运用,提高解题的质量和速度．2结果必须化为最简分式或整式．3分子或分母的系数是负数时,要把“－”提到分数线的前边．4对于分式的乘除混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算,分子、分母是多项式时,可先将分子、分母分解因式,再相乘．方法技巧归纳方法技巧 一分式的乘除法及乘方运算的解题技巧1．分式的乘除法分式的乘除运算可以统一成乘法运算,分式的乘法一般情况下是先约分再相乘,这样做省时简单易行,又不易出错；当除式或被除式是整式时,可以看作分母是1的式子,然后再按分式的乘除法则计算．2．分式的乘方做分式乘方时,一是注意养成先确定结果的符号,再做其他运算的良好习惯；二是注意运算顺序,先乘方,再乘除,最后加减．二分式加减运算的解题技巧 分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的,分为同分母加减法和异分母加减法,所不同的是分式的加减运算比分数的加减运算要复杂得多,它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用．分式加减运算需要运用较多的基础知识,运算步骤增多,符号变换复杂,解题方法灵活多样．三分式化简、求值的解题技巧分式的化简、求值问题,一是化简要求值的分式,只要能化简就考虑化简；二是化简已知条件,化到最简后,再考虑代入求值． 四分式混合运算的解题技巧分式的混合运算,除了掌握运算顺序外,在运算过程中,可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算简化,值得提醒的是最后结果必须是最简分式或整式．五分式通分的解题技巧分式的加减运算,分同分母分式相加减和异分母分式相加减,对于异分母分式的加减法,有时直接通分会很繁琐,我们可以根据式子的特点,灵活的采用不同的方法通分,从而起到事半功倍的效果．1．分组通分2．逐项通分3．公式()11111n n n n =-++的运用 核心考点 分式的化简求值分式化简求值是中考的热点,常以解答题的题型进行考查,主要考查分式的运算能力．在考查时经常运用分式的基本性质进行运算,解题时要充分运用分式运算法则进行求解．经典示例化简分式：2223442x x x x x ---+-÷234x x --,并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x 的值代入求值．答题模板第一步,化简：化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变．第二步,运算：由已知条件,根据分式的基本性质,适当把分式进行变形,使变形后的分式出现已知条件的形式,然后把已知条件代入变形后的分式,来求分式的值． 第三步,求解：分式的化简求值题,关键是要准确地运用分式的运算法则,然后代入求值．四步,反思：查看关键点、易错点,要注意分清运算顺序,先乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算．．模拟训练先化简,再求值：22214()244a a a a a a a a +--+÷--+,其中011(3)()2a -=π+. 1．2017·湖南常德先化简,再求值：243133x x x x -+---22212322x x x x x -+--+-,其中x =4． 2．2017·湖北襄阳先化简,再求值：2111()x y x y xy y +÷+-+,其中x 52,y 5－2.3．2017·吉林某学生化简分式21211x x ++-出现了错误,解答过程如下： 原式=12(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+-第一步 =12(1)(1)x x ++-第二步 =231x -．第三步 1该学生解答过程是从 步开始出错的,其错误原因是 ； 2请写出此题正确的解答过程．4．先化简,再求值：22124)(1)442a a a a a a a -+-÷--+-,其中a 满足不等式组7223a a ->⎧⎨>⎩的整数解.5．先化简,再求值：221a a +－2142a a +÷1－2414a a +,其中a 是不等式x －413x -＞1的最大整数解．6．已知1A x +－3B x -＝5(1)(3)x x x ++- 其中A ,B 为常数,求A 2 018B 的值． 整式的化简求值一、整式的概念1．单项式和多项式1单项式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独一个数或字母也叫做单项式,如0,1,a …2单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；3单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数； 注①单个字母的系数是1,如a 的系数是1；②只含字母因数的代数式的系数是1或1,如ab 的系数是1,a 3b 的系数是1． 4多项式的概念：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式；5多项式的项：在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项；6多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数；学科网 7常数项：代数式中不含字母的项叫做常数项,如6x 22x 7中的常数项是7． 2. 同类项多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项所有常数项也看做同类项．3．合并同类项1定义：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变． 2理论依据：逆用乘法分配律．3法则：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变．注①如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后结果为0；②不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上；③只要不再有同类项,就是最后结果,结果还是代数式．（4）合并同类项的步骤：第一步：观察多项式中各项,准确找出同类项,项数比较多时,不同的同类项可以给出不同的标记；第二步：利用乘法的分配律,把同类项的系数加在一起用小括号,字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果．4．去括号法则去括号规律要准确理解,去括号应对括号的每一项的符号都予以考虑,做到要变都变；要不变,则谁也不变；法则顺口溜：去括号,看符号,是“+”号,不变号；是“-”号,全变号．另外,括号内原有几项去掉括号后仍有几项．注如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．二、整式的计算1．整式的加减法整式的加减实质上就是合并同类项,若有括号,要先用“去括号法则”去掉括号,然后合并同类项．注1两个整式相减时,减数一定要先用括号括起来；2整式加减的最后结果中：不能含有同类项；一般按照某一字母的降幂或升幂排列；不能出现带分数,带分数要化成假分数．2．幂的运算1同底数幂的乘法同底数幂运算法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即()m n m n a a a m n +⋅=、为正整数m 、n 均为正整数．学科网推导公式：同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即 ()m n p m n p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数．底数互换关系 22()()n n a b b a -=- ,2121()()n n b a a b ++-=--注同底数幂的乘法中,首先要找出相同的底数,运算时,底数不变,直接把指数相加,所得的和作为积的指数．在进行同底数幂的乘法运算时,如果底数不同,先设法将其转化为相同的底数,再按法则进行计算．2幂的乘方的运算性质运算性质： 幂的乘方,底数不变,指数相乘,即()m n mn a a =m 、n 均为正整数． 注幂的乘方的底数是指幂的底数,而不是指乘方的底数.指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开．3积的乘方的运算性质运算性质：积的乘方,把积中各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即：()n n n ab a b =n 为正整数．补充：()p m n mp np a b a b = m 、n 、p 是正整数．注运用积的乘方法则时,数字系数的乘方,应根据乘方的意义计算出结果．运用积的乘方法则时,应把每一个因式都分别乘方,不要遗漏其中任何一个因式．3．整式的乘除1 单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.注计算时要运用乘法交换律,乘法结合律2单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘,因单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加注运用乘法分配律转化成单项式乘单项式3多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘里一个多项式的每一项,再把所得的积相加．4．乘法公式1完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2, ab2=a22ab+b2解读：()222首尾首首尾尾,公式中的a、b可以是单独的数字,字母,单+=+⨯⨯+2项式或多项式2平方差公式：a+bab=a2b2核心考点整式的化简求值1．整式化简求值在广东省中考中,在解答题部分,大多以先化简再求值的题型出现,要求熟悉乘法公式的特点,看清项数及公式形式中的a、b,准确进行计算；2．要准确认识平方差和完全平方公式,可以结合面积法证明这两个公式,这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3．在化简求值时要注意：当字母是负数时,代入后应加上括号；当字母是分数时,遇到乘方也要加括号．经典示例先化简,再求值：2()()2a b a b a +-+,其中1a =,2b =．答题模板第一步,计算：利用整式乘法和除法法则或乘法公式进行展开．第二步,化简：利用整式的加减法法则合并同类项化简． 第三步,求值：把字母的值代入化简结果计算．第四步,反思：反思回顾,查看关键点、易错点,对结果进行估算,检查规范性． 模拟训练1.计算：(3)(1)(2)a a a a +-+-．2. 先化简,再求值．()()223234(1)(2)x x x x x +---+-,其中3x =-．1．2017·浙江宁波先化简,再求值：2215x xx x ,其中32x . 2．2017·湖南怀化先化简,再求值：2212112a a a a a ,其中21a .3．2017·江苏无锡计算：a +ba ﹣b ﹣aa ﹣b4．2017·浙江嘉兴化简：(2)(2)33m m m m +--⨯． 5．2017·河南先化简,再求值： 2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--,其中21x =,21y =．。
初中数学(初二)考点：分式的化简求值
1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。
分式的化简与计算
分式的化简与计算分式（也称为有理数）是由一个整数的比值表示的数，其中分母不等于零。
在数学中，分式的化简与计算是一种重要的运算技巧，它可以使复杂的分式变得简单，并且有助于在解题过程中更加高效地进行计算。
本文将介绍分式的化简和计算方法，并提供一些例子来帮助读者更好地理解和应用这些技巧。
一、分式的化简当我们遇到一个复杂的分式时，我们可以通过化简来简化它，使得操作更加方便。
下面是一些分式的化简方法：1. 因式分解：如果分子和分母都可以因式分解，我们可以通过约去公因子的方式来简化分式。
例如，对于分式3x/6x，我们可以因式分解分子和分母得到3x/(2*3x)，然后约去公因子3x，最终得到1/2。
2. 合并同类项：如果分子或分母中包含多个项，我们可以将其中的同类项合并在一起。
同类项指的是具有相同的变量和指数的项。
例如，对于分式(2x+3y)/(4x+2y)，我们可以合并分子和分母中的x和y的项，得到(2x+3y)/(2(2x+y))，从而更简化了分式。
3. 分式的乘法和除法：对于两个分式的乘法，我们可以将其合并为一个分式。
例如，对于分式(1/2)*(2/3)，我们可以进行分子之间的乘法和分母之间的乘法得到1/3。
类似地，在分子和分母都是分式的除法中，我们可以将其转化为乘法，然后根据分子的性质进行约分。
二、分式的计算在日常生活和数学问题中，我们经常需要对分式进行计算。
下面是一些分式的计算方法：1. 分式的加法和减法：对于两个分式的加法和减法，我们可以先找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，计算(1/2)+(1/3)，我们可以找到它们的最小公倍数6，然后将分子相加得到(3+2)/6=5/6。
2. 分式的乘法：对于两个分式的乘法，我们可以将其分子相乘，分母相乘，并将结果化简到最简分式。
例如，计算(2/3)*(4/5)，我们可以进行分子之间的乘法和分母之间的乘法得到8/15。
3. 分式的除法：在分式的除法中，我们可以将其转化为乘法，并将两个分式的转置相乘。
分式化简求值
分式的化简求值和分式的应用一、知能要点1、分式的化简求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略。
有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母成倍分关系特殊情况时，可直接求出结果。
2、分式方程（组）的解法解整式方程的一般步骤：去分母，解整式方程，验根，确定分式方程的根。
有些分式也要依据具体的情况灵活处理。
如分式中分子（整式）的次数高于或等于分母（整式）的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式+分式”的形式，化简原方程再解；或将分式方程两边化为分子（或分母）相等的式子，再利用分母（或分子）相等构成整式方程求解，这是恒等思想；或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使解方程（组）更简便。
二、典型例题例1、 已知x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的有理数，求代数式322325315x x y xy y +--的值。
（已知或能求出代数式中的字母的值，求代数式的值） 例2、已知25a b a b-=+，求代数式()()2232a b a b a ba b-+++-的值。
（已知字母与字母的关系，求代数式的值）例3、已知，2=+yx xy 求代数式yxy x y xy x -+-+-3353（整体代入）例4、解分式方程（组） （1）3165123122-=+++++x x x x x（2）xx xx xx xx 29211217219215217211213--+--=--+--(3)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-=+11222xy zx yz xyz xyxz yz xyz z y yz三、挑战自我1、已知a 为3的倒数，b 为最小的正整数，求代数式()()322++-+b a b a 的值。
2．已知3a b -=，2b c -=；求代数式()2313a c a c -++-的值。
分式的化简与求值
1分式的化简与求值知识定位分式的化简与求值是竞赛部分重要内容，要掌握分式运算的基本性质，会灵活对分式作恒等变形，能利用参数对复杂的分式进行化简与求值，另外整体法的应用也要掌握，本节对常见的题型与方法做讲解知识梳理分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。
而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略。
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标。
又要抓住条件，既要根据目标变换条件。
又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：1、恰当引入参数；2、取倒数或利用倒数关系；3、拆项变形或拆分变形；4、整体代入；5、利用比例性质等。
例题精讲◆专题一：恰当引入参数【题目】若，则的值是 。
【答案】0或2-【解析】设k ad d c c b b a ====则432ak a ,ak ck b ,ak dk c ,ak d ======则14=k 则1±=k ，当1=k 时，原式等于0；当1-=k 时，原式等于2-。
【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂例题【难度系数】3。
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第八讲 分式运算及化简求值模块一：分式乘除分式的乘法：乘法法测：·=. 分式的除法：除法法则：÷=·= 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是()n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()n =(n 为正整数)例题：计算：（1）746239251526yx x x -∙ （2）13410431005612516a x a y x ÷ （3）a a a 1∙÷计算：（4）24222a ab a b a ab a b a --∙+- （5）4255222--∙+-x x x x （6）2144122++÷++-a a a a a计算：（7）322346yx y x -∙ （8）a b ab 2362÷- （9）()2xy xy x x y -⋅-计算：（10） 22221106532xyx y y x ÷⋅ （11） 22213(1)69x x x x x x x -+÷-∙+++（12） ()22121441a a a a a a -+÷+⋅++-b a dc bd ac b a d c b a c d bcad ba b a n nba计算：（13）1112421222-÷+--∙+-a a a a a a （14）()633446222-+-÷--÷+--a a a a a a a求值题：（1）已知：43=y x ，求xyx y xy y xy x y x -+÷+--2222222的值。
（2）已知：x y y x 39-=+，求2222yx y x +-的值。
（3）已知：311=-y x ，求yxy x y xy x ---+2232的值。
例题：计算：（1）232()3y x = （2）52⎪⎭⎫⎝⎛-b a = （3）32323⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x y = 计算：（4）3222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛a b =（5）()4322ab a b b a -÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛- （6）22221111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--a a a a a a a求值题：（1）已知：432z y x == 求222z y x xzyz xy ++++的值。
（2）已知：0325102=-++-y x x 求yxy xx 222++的值。
例题：计算yx xx y x y x +∙+÷+222)(的结果是（ ） A yx x +22 B y x +2C y 1D y +11例题：化简xy x x 1⋅÷的结果是（ ） A. 1 B. xy C. x y D . yx计算：（1）422448223-+⨯++-x x x x x x ； （2）12211222+-÷-+-x xx x x（3）(a 2－1)·÷模块二：分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。
1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。
2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。
通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。
例1：m n m 22-= 例2：141322222--+-+a a a a =例3：x y x y x y -+-= 例4：22222222yx xx y y y x y x ---+-+= 计算：（1） （2）a b b b a a -+- （3） 2222)()(a b b b a a --- 22221a a a +-+122a a +-4133m m m -+++（4） －－.例5：化简1x +12x +13x等于（ ） A ．12x B ．32x C ．116x D ．56x例6：c a b c a b +- 例7：22142a a a --- 例8：xx x x ---3)3(32 例9：x x x x x x 13632+-+-- 例10：－ 例11：11--+a a a例12：211x x x ---练习题：（1） 22a b ab b a b -++ （2） xx x x +-+-+-2144212（3） +.（4） b a b -a b 2++ （5） 2x yx y y x----例13：计算11--+a aa 的结果是（ ） 2253ab ab +2235a b ab -228a b ab +2212a a a ++-224a a --2129a -23a -A 11-aB 11--aC 112---a a a D 1-a例14：请先化简：21224xx x ---，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.例15：已知：0342=-+x x 求442122++--+x x x x x 的值。
模块三：分式的混合运算：例1：4421642++-÷-x x x x 例2：34121311222+++-∙-+-+x x x x x x x例3：222)2222(x x x x x x x -∙-+-+- 例4：1342+∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x例5：1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 例6：22224421y xy x y x y x y x ++-÷+--例722112()2yx y x y x xy y -÷-+-+ 例8： xx x x xx x 112122÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+例9： x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+模块四：分式化简求值问题：例1：已知x 为整数，且++为整数，求所有符合条件的x 值的和.例2：已知x ＝2，y ＝，求÷的值.例3：已知实数x 满足4x 2-4x+l=O ，则代数式2x+的值为________．例4：已知实数a 满足a 2＋2a －8=0，求的值.例5：若 求的值是（ ）．A ． B ． C ． D ．例6：已知，求代数式的值23x +23x -22189x x +-12222424()()x y x y ⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦11x y x y ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭x2134121311222+++-⨯-+-+a a a a a a a 13x x +=1242++x x x 811012141113x y -=21422x xy y x xy y----例7：先化简，再对取一个合适的数，代入求值．练习题：（1）168422+--x x x x ，其中x=5. （2）1616822-+-a a a ,其中a=5 （3）2222b ab a aba +++,其中a=-3，b=2（4）2144122++÷++-a a a a a ；其中a=85； （5）x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+， 其中x= -1（6）先化简，再求值：÷(x +2－).其中x ＝－2.（7）3,32,1)()2(222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中（8）先化简，2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，再选择一个你喜欢的数代入求值．a 221369324a a a a a a a +--+-÷-+-324x x --52x -模块五：分式其他类型试题：例1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数）例2： 观察下面一列分式：2345124816,,,,,...,x x x x x---根据你的发现，它的第8项是 ，第n 项是 。
例3：按图示的程序计算，若开始输入的n 值为4，则最后输出的结果m 是 （ ） A 10 B 20 C 55 D 50 例4：当x=_______时,分式x -51与x3210-互为相反数. 例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝ba 11+，根据这个规则x ☆23)1(=+x 的解为（ ）A ．32=x B ．1=x C ．32-=x 或1 D ．32=x 或1- 例6：已知4)4(422+++=+x CBx x A x x ，则___________,_____,===C B A ； 例7： 已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．例8：已知y x 32=，求22222yx y y x xy --+的值； 例9：设mn n m =-,则nm 11-的值是( ) 37(1)(2)12y A By y y y +=+----10,13A B =-=10,13A B ==10,13A B ==-10,13A B =-=-A.mn1B.0C.1D.1- 例10： 先填空后计算： ①111+-n n = 。
2111+-+n n = 。
3121+-+n n = 。
（3分） ②（本小题4分）计算：)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n解：)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n=。