等差数列选择题专项训练单元 易错题难题自检题学能测试试题

一、等差数列选择题
1．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之
和为（ ） A ．24 B ．39
C ．104
D ．52
解析：D 【分析】
根据等差数列的性质计算求解． 【详解】
由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，
74a =，∴11313713()
13134522
a a S a +=
==⨯=． 故选：D ．
2．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项 B ．133项
C ．134项
D ．135项
解析：D 【分析】
由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则
()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：2135
15
n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60 B ．120
C ．160
D ．240
解析：B 【分析】
利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】
因为7916+=a a ，
所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()
11515815151581202
a a S a +===⨯=． 故选：B
4．已知数列{}n a 的前n 项和()2
*
n S n n N =∈，则{}n
a 的通项公式为（ ）
A ．2n a n =
B ．21n a n =-
C ．32n a n =-
D ．1,1
2,2n n a n n =⎧=⎨
≥⎩
解析：B 【分析】
利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】
2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，
当1n =时，111a S ==，上式也成立，
()
*21n a n n N ∴=-∈，
故选：B. 【点睛】
易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即
11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结
果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.
5．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15 B ．30
C ．3
D ．64
解析：A 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，
12111a a d =+，即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174
174d a ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以12117760111115444
a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A
6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．10
解析：D 【分析】
由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】
解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，
得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩
，
即
{
1132024
a d a d +-+=， 解得：
{
123
a d =-=，
51424310a a d ∴=+=-+⨯=.
故选：D.
7．已知递减的等差数列{}n a 满足22
19a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）
A ．4或5
B ．5或6
C ．4
D ．5
解析：A 【分析】
由22
19a a =，可得14a d =-，从而得2922
n d d S n n =
-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】
解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），
因为2219a a =，所以22
11(8)a a d =+，化简得14a d =-，
所以221(1)9422222
n n n d d d d
S na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92
n =
， 因为n ∈+N ，
02
d
<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，
故选：A
8．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若(
)*
111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）
A ．0m S <且10m S +>
B ．0m S >且10m S +>
C ．0m S <且10m S +<
D ．0m S >且10m S +<
解析：D 【分析】
由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()
02
m m m a a S ++++=<. 故选：D.
9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48 B ．60
C ．72
D ．24
解析：A 【分析】
根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】
由条件可知1148
32
362a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.
故选：A
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20
C ．25
D ．30
解析：B 【分析】
设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()51154
55254202
S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B
11．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．16
解析：C 【分析】
由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
141,16a S ==，
41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.
故选：C
12．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则129
10
a a a a ++⋅⋅⋅+=
（ ） A ．
278
B ．
52
C ．3
D ．4
解析：A 【分析】
根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】
因为1109a a a +=， 所以11298a d a d +=+， 即1a d =-，
所以
()1129510101992727
88
49a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选：A
13．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n - B ．
3
22
n - C ．
3122
n - D ．
31
22
n + 解析：C 【分析】
根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】
因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为313
22
a a d -=
=，
因此通项公式为()33111222
n a n n =+-=-. 故选：C.
14．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72 B ．90 C ．36 D ．45
解析：B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】
由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，
∴2
444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，
∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，
∴99(229)
902
S ⨯+⨯=
=，
故选：B 【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2
k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=
的应用. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7 B ．12
C ．14
D ．21
解析：C 【分析】
判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】
∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()
1422
a a a a S ++===. 故选：C
二、等差数列多选题
16．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫
-
=+ ⎪⎝⎭
，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，
不等式
()22212n
a t a t a a n
<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2
C ．0
D ．2
解析：AB 【分析】 由题意可得
111
11n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n
=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为
()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
111
n n n a a n n
++-
=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，
则
11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111
122
a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，1
22n a n n
∴=-<，
()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，
整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，
对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，包含[]1,2，故A 正确；
对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，包含[]1,2，故B 正确；
对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，不包含[]1,2，故C 错误； 对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，不包含[]1,2，故D 错误，
故选：AB. 【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.
17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．2
3n S n n =- B ．2392
-=n n n
S
C ．36n a n =-
D ．2n a n =
解析：BC 【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，
所以1132302
36
a d a d ⨯⎧
+
=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，
21(1)3(1)393222
n n n n n n n
S na d n ---=+=-+=
， 故选：BC
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）
A ．12
d =
B ．12
d =-
C ．918S =
D ．936S =
解析：BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】
因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()199998
3622
a a S +⨯=
==． 因为35a =，73a =，所以公差731
732
a a d -==--． 故选：BD
19．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =
C ．135********a a a a a ++++=
D ．222
2123202020202021a a a a a a ++++=
解析：BCD 【分析】
根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，821a =，620S =，故A 不正确；
对B ，761333S S =+=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得
135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；
对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2
121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，
()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222
123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．
故选：BCD 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911
111
a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 解析：AC 【分析】 将
3201911111a a e e +≤++变形为320191111
01212
a a e e -+-≤++，构造函数()11
12
x f x e =
-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由
3201911111a a e e +≤++，可得32019
111101212a a e e -+-≤++，令()11
12
x f x e =-+， ()()1111101111
x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，
所以()1112
x
f x e =
-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()
320192*********
a a S +=
≥；
当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零，
故()2021
202110110T a =>.
故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 21．定义11222n n
n a a a H n
-++
+=
为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优
值”2n
n H =，前n 项和为n S ，则（ ）
A ．数列{}n a 为等差数列
B ．数列{}n a 为等比数列
C ．
20202023
20202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列
解析：AC 【分析】
由题意可知112222n n n
n a a a H n
-++
+==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2
n ≥时，()()1
112
21212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数
列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n n
n a a a H n
-++
+==，
得112222n n n a a a n -++
+=⋅，①
所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②
得2n ≥时，()()1
112
21212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，
即2n ≥时，1n a n =+，
当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．
所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()
32
n n n S +=
，所以2020202320202S =，故C 正确．
25S =，414S =，627S =，故D 错，
故选：AC ． 【点睛】
本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 22．数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+，则下列说法正确的是（ ）
A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列
B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-
D ．数列{}n a 为递减数列 解析：ABD
【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为121
n n n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n
a a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：
1
12121n n n a 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为
121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121
n a n =
-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.
23．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）
A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；
B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；
C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ；
D ．{}n a 的前n 项和21
n S n n =++（*n N ∈）.
解析：AC
【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．
【详解】
A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，
B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；
C 选项中()
*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；
D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不
为等差数列．故错误．
故选：AC
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
24．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ）
A ．0d <
B ．70a >
C ．{}n S 中5S 最大
D ．49a a < 解析：AD
【分析】
先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.
【详解】
解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=
>，()112121202
a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<，
由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，
所以60a >，760a a <-<，
所以0d <，{}n S 中6S 最大，
由于11267490a a a a a a +=+=+<，
所以49a a <-，即：49a a <.
故AD 正确，BC 错误.
故选：AD.
【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.
25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描
述正确的有（ ）
A ．14S 是唯一最小值
B ．15S 是最小值
C ．290S =
D ．15S 是最大值
解析：CD
【分析】
根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；
【详解】
1118S S =，∴0d <，
设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，
抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，
∴1514S S =且为n S 的最大值，
1118S S =12131815070a a a a ⇒++
+=⇒=， ∴129291529()2902
a a S a +===， 故选：CD.
【点睛】
本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。