08指数与指数函数

得到的，函数图象如图所示．
①当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点, 即方程无解； ②当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有 唯一的交点，所以方程有一解； ③当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个 不同交点，所以方程有两解．
指数函数的性质及应用 题 型三 【例3】设a＞0且a≠1，函数y=a2x+2ax-1在[-1, 1]上 的最大值为14，求a的值. x x
1 1 又因为 a>0，所以 a＝ 1.. 1 又因为 a>0，所以 a＝3 又因为 a>0，所以 a＝ .. 3 又因为 a>0，所以 a＝ 3 3
指数函数的性质及应用 题 型三 xx ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝a ∈ [ [ 1 aa] ， a>1 时，x∈[－1,1]，t＝a ∈ 1 ] ， ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝a x∈ [ 1, ,,a] ， ②当 a a1 ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈ [ a , a] ， 1 ,,a]]上是增函数． a 此时 f(t)在 [[1 , a] 上是增函数． f(t)在[ 1 a 上是增函数． 此时 此时 f(t)在 a 1 a 此时 f(t)在 [ a , a] 上是增函数． a 22 所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)－2＝14， 所以 f(t) ＝f(a)＝(a＋1) －2＝14， 所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1) 2－2＝14， 所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14， max 解得 a＝3(a＝－5 舍去)． 解得 a＝3(a＝－5 舍去)． a＝3(a＝－5 舍去)． 解得 解得 a＝3(a＝－5 舍去)． 1 1 综上得 a＝ 1或 3. 综上得 a＝3 或 3. a＝1 或 3. 综上得 3 3 或 3. 综上得 a＝ 探究提高 3
当 x≥0 时,f (x)=2x- 1 ,

2

2
即 m (22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m ≥-(22t+1),
∵t ∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],故 m 的取值范围是[-5,+∞).
题型四：综合问题
－2x＋b 例 4：已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ x＋1 是奇函数． 2 ＋a (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
函数的
函 数
基本性质
奇偶性
周期性 函数常见的 几种变换 基本初等 函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.
正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数
单调性：同增异减; 赋值法 函数零点、二分法、一元二次方程根的分布 奇偶性：内偶则偶，内奇同外
指数函数问题一般要与其它函数复合.本题利用换元法将原
函数化为一元二次函数.结合二次函数的单调性和指数函数的单调 性判断出原函数的单调性,从而获解.由于指数函数的单调性取决于 底数的大小,所以要注意对底数的分类讨论,避免漏解．
变式训练 3
（1）若 f （x）= 2 ,求 x 的值; t （2）若 2 f(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈［1，2］恒成立，求实数 m
1 (3)方程 2x＝2－x 的解的个数是________．
变式训练 2
1 1b 1a (1)设 <2 <2 <1，那么 2 A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa
( C )
变式训练 2
(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？ 解:函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝ 3x的图象向下平移一个单位后，再把位 于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方
n
要点梳理
忆一忆知识要点
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
an a a
a n
②零指数幂：a0＝ 1 (a≠0)． 1 －p ③负整数指数幂：a ＝ ap (a≠0，p∈N＋)． m n m ④正分数指数幂：an ＝ a (a>0，m、n∈N＋， m 且 n 为既约分数)．
要点梳理
忆一忆知识要点
解: (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数， 解: (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数， －1＋b －1＋b ＝0，解得 b＝1， 解: (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数， 解: 所以 f(0)＝0，即上的奇函数， (1)因为 f(x)是 R 所以 f(0)＝0，即 2＋a ＝0，解得 b＝1， 2＋a －1＋b 所以 f(0)＝0，即 －1＋b＝0，解得 b＝1， 所以 f(0)＝0，即xx2＋a ＝0，解得 b＝1， －2 ＋1 －2 ＋1 . 从而有 f(x)＝ x＋1 [4 分] 从而有 f(x)＝ 2x＋x12＋a . [4 分] x ＋a 2 ＋1 －2 ＋a －2 ＋1. 从而有 f(x)＝ x＋1 [4 分] 1 从而有 f(x)＝2 x＋1＋a . [4 分] 1 ＋1 2 ＋a － ＋1 － －2＋1 2 －2＋1 ＝－ 12 ， 1＋1 ， 又由f(1)＝－f(－1)知 f(1)＝－f(－1)知 又由 4＋a ＝－－1＋a －2 ＋1 4＋a －2＋1 2 －2＋1＝－ 1＋a ， 又由 f(1)＝－f(－1)知 又由 f(1)＝－f(－1)知 4＋a ＝－ 1＋a ， 解得 a＝2. [7 分] 4＋ax 1＋a 解得 a＝2. [7 分] －2 ＋1 －2x1＋1 ， 解得 a＝2. [7 分] (2)方法一 由(1)知 f(x)＝ x＋1 解得 a＝2. [7 分] (2)方法一 由(1)知 f(x)＝ 2x＋ ＋2 ， 2 ＋2 2 2 －2t －2t＋1 －22t22－k＋1 －2t＋1 2 2 k －2t22t 2 t 1 －22tt －k＋1 <0， 又由题设条件得 2 又由题设条件得2－2t＋1＋2＋22t222 k 1 1 <0， 又由题设条件得 2t t 2 2 t 1 ＋ 22t－k＋1＋2 0, 2t －2t＋1＋22 22t －k＋1＋2 2 2 2 2 2 2 即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t22－k＋1)<0.[9 分] 2 －k＋1＋2)(－2t －2t＋1)＋(2t －2t＋1＋2)(－22t －k＋1)<0. [9 分] t 2 2t t 2 2t 1 2t 2 k 即(22tt2 k 1
指数式与根式的计算问题
[例 1] (1)化简； (2)已知
1 a2
a
5 6
＋a
－
1 2
＝3，求 a＋a－1，a2＋a－2 的值．7, 47
变式训练 1
(1)若 a＝(2＋ 3) 1，b＝(2－ 3) 1，则(a＋1) 2＋(b＋1) 的值是( D ) A．1 2 C. 2 1 B. 4 2 D. 3
要点梳理
忆一忆知识要点
②当 n 为偶数时， 正数的 n 次方根有两个， 它们互 为相反数， 这时， 正数 a 的正的 n 次方根用符号 a 表 n 示，负的 n 次方根用符号 － a 表示．正负两个 n n 次方根可以合写为 ± a (a＞0)． n n ③( a) ＝ a . n n ④当 n 为奇数时， a ＝ a ； a a≥0 n n 当 n 为偶数时， a ＝|a|＝ －a a＜0 . ⑤负数没有偶次方根．
指数与指数函数
知识网络
函数的概念
列表法 定义 表示 定义域 三要素 对应法则 值域 单调性 对称性 解析法 图象法 观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等
1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性：同增异减. 轴对称：f (a-x)=f(a+x); 中心对称: f (a-x)+f(a+x)=2b 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立. f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)= f (0)=0.
⑤负分数指数幂： ＝ (a>0，m、 m n m n∈N＋，且 n 为既约分数)． a ⑥0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂没有 意义 ． (2)有理数指数幂的性质 α β aα＋β (a>0，α、β∈Q)； ①a a ＝ α β aαβ (a>0，α、β∈Q)； ②(a ) ＝ α aαbα (a>0，b>0，α∈Q)． ③(ab) ＝
1 已知定义在 R 上的函数 f （x）=2 - | x| . 3 2
x
的取值范围.
解: （1）当 x<0 时,f （x）=0,无解;
2 x 2x 1 3 x x 由2- x = ,得 2·2 -3·2 -2=0， 2 x 2 1 x x 看成关于 2 的一元二次方程,解得 2 =2 或 ,∵2 >0,∴x=1. 2 1 t 1 t 2t (2)当 t ∈[1,2]时, 2 2 2t m 2 t ≥ 0,
－ － － －2
4a
指数函数的图象及应用 xax 【例 2】(1)函数 y＝ (0<a<1)图象的大致形状是 ( D ) |x|
题 型二
(2)若函数 y＝ax＋b－1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、 a (0,1), b (,0) 四象限,则 a, b 的取值范围是__________________．
解:令 t＝a x (a>0 且 a≠1)， 解:令 t＝a (a>0 解:令 t＝axx(a>0 且 且 a≠1)， 解:令 t＝a (a>0 且 a≠1)， 2 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1) 2－2 (t>0)． 则原函数化为 y＝(t＋1) －2 (t>0)． 则原函数化为 y＝(t＋1)22－2 (t>0)． 则原函数化为 y＝(t＋1) －2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈ [a, 1 ] ， ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax[[a[a,]1 ] ， ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝axx∈∈,,1 ]a， ， ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝a ∈ a 1 a 此时 f(t)在 [a, 1 ] 上为增函数． 此时 f(t)在,[a,]1 ] 上为增函数． 此时 f(t)在 [[a,1 ]a上为增函数． 上为增函数． 此时 f(t)在 a 1 a
a a
a a 所以 f(t)max＝ f1 1 ) 1 1 21)2 2 ＝14. ( 1 ) ( 1 1)2 2 ＝14. 1 所以 max＝ 所以 f(t)f(t)max＝((f () ((1( 1) 2 2 ＝14. 所以 f(t)max＝ ff )a a a a 1) 2 ＝14. a a aa 1 1)2 ＝16，所以 a＝－1或 a＝1. 所以1 1 21)2 ＝16，所以 a＝－1或 a＝1. 15 1 1(a 所以 ( 1) 2＝16，所以 a＝－1或 a＝1. 3 所以 (( 1) ＝16，所以 a＝－ 或 a＝ . 3 所以 5 5 3 5 3 a a
3.指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
(1) R (2) (0，＋∞)
要点梳理
忆一忆知识要点
(3)过定点 (0,1) (4)当x>0时， y>1 ； (5)当x>0时，0<y<1； x<0时， 0<y<1 y>1 x<0时，
性
质
(6)在(－∞，＋∞)上是 (7)在(－∞，＋∞)上 增函数 是 减函数
幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型
要点梳理
1. 根式的概念
忆一忆知识要点
(1)根式的概念 如果存在实数 x， 使得 xn＝a (a∈R， n>1， n∈N＋)， 则 x 叫做 a 的 n 次方根 ．求 a 的 n 次方根，叫做 n a 开 n 次方 ，称作开方运算．式子 a叫做 根式 ， 把 这里 n 叫做 根指数 ，a 叫做被开方数． (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时， 正数的 n 次方根是一个正数， 负 数的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号 n a 表示．