河北省邢台一中2013-2014学年高二数学下学期第二次月考试题 理

邢台一中2013——2014学年下学期第二次月考高二年级数学试题
（理科）
常用数据和公式
P(σμ-<X<σμ+)=0.6826 P(σμ2-<X<σμ2+)=0.9544 P(σμ3-<X<σμ3+)=0.9974
K 2
＝2
n(ad bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
－
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 复数
i
i
212-+= A i B i - C 4+3i D 4-3i 2. 设直线y x b =+是曲线y=e x
的一条切线，则实数b ＝ ．
A -1
B 0
C 1
D 2 3.六个同学平均分到甲乙两个班中，分配的种数是 A 20 B 40 C 60 D 80
4.高二某次数学考试1800名考生数学成绩符合正态分布X ～（90，100），则本次考试数学成绩在100分以上的人数约为
A 82
B 164
C 286
D 571
5．22n
x ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是
A 180
B 90
C 45
D 360 6.
dx x ⎰
230
cos π
=
A. -1
B. -2
C.1
D. 3
7. 某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元）之间有如下对应数据:
则回归直线方程可能是
A 5.517.5y x =+
B 6.517.5y x =+
C 7.517.5y x =+
D 5.519.5y x =+
8. 由曲线y =
2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为
A
103 B 4 C 163
D 6 9.观察下列各式55=3125 ，56=15625 ，57=78125 ，···则52014的末四位数字为 A 3125 B 5625 C 0625 D 8125
10.函数f(x)=x 3+3x 2+ax+a-1在R 上是增函数，则a 的取值范围是 A a ＜3 B a ≤3 C a ＞3 D a ≥3
11.已知函数f(x)=e x +x ，在曲线f(x)上有横坐标成等差数列的三点A 、B 、C ；① △ABC 一定是钝角三角形；② △ABC 可能为直角三角形；③ △ABC 可能是等腰三角形；④ △ABC 不
可能是等腰三角形； 其中正确的命题是
A ①③
B ①④
C ②③
D ②④ 12.函数f(x)的导函数是f '(x)，若f(x)＞f '(x)，则下列结论成立的是 A ef(0)=f(1) B ef(0)<f(1) C ef(0)＞f(1) D ef(0)≤f(1)
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数z ＝
2
43(1)
i
i +－2，则|z |=
14.
⎰
=
15. 对于实数x y ，,若2-x ≤1，1-y ≤1则12--y x 的最大值为 16.四女生与两男生排成一队，女生甲与两男生至少一个相邻的排法种数为 三、解答题（大题共6小题，共70分）
17. 已知f(x)=x+bx 2
+alnx,又y=f （x ）的图像过P （1,1）点，且在P 处切线的斜率为2. （1）求a,b 的值 （2）证明f(x)≤2x-1
18. 某工人在一天内加工零件产生的次品数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：
(1)求a 的值和ξ的数学期望；
（2）假设两天内产生的次品数互不影响,求该工人两天内产生的次品数共2个的概率。

19.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的
老年人的比例？说明理由
20.设数列{n a }的前n 项和为S n ，且满足S n =2n a -n （1）求a 1,a 2,a 3,a 4
（2）猜想数列{n a }的通项公式n a ，并用数学归纳法证明
21.已知函数f(x)=e x
+ax-1 （1）求f(x)的增区间
（2）若f(x)在()+∞,0上恒正，求a 的取值范围
22.已知f(x)=a2lnx-x2+ax，a＞0
(1)求f(x)的单调区间
（2）求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x[]e,1
∈恒成立
答案
1---12 ACACA ABCBD BC
13. 1;14. π;15. 4；16. 432
17.(1)a=1,b=0
(2)设g(x)=f（x）-(2x-1)=lnx-x+1
所以g'(x)=
x x
-
1
所以g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0
所以g(x)≤0
所以f(x)≤2x-1
18. （1）由概率分布的性质有0.1+0.1+3a+a=1，解答a=0.2
ξ
∴的概率分布为
0*0.11*0.12*0.63*0.2 1.9
Eξ
∴=+++=
（2）设事件A表示“该工人两天内产生的次品数共2个”事件
1
A表示“两天内有一天产生
2个，另外一天产生0个”；事件
2
A表示“两天内每天产生1个”
则由事件的独立性得
1
1222212()(0)2*0.6*0.10.12
()[(1)]0.10.01
()()()0.120.010.13
P A C P P A P P A P A P A ξξ========∴=+=+=
故该工人两天内产生的次品数共2个的概率为0.13
19调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为
70
500
＝14%. (2)K 2
＝2
500(4027030160)20030070430
⨯⨯⨯⨯⨯⨯－≈9.967.
由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
20. （1）a 1=1, a 2=3, a 3=7, a 4=15
（2）猜想 n a =2n
-1 证明：① n=1时成立
② 假设n=k 时成立，即k a =2k
-1
则n=k+1时，S 1+k =2)1(1+-+k a k ,又S k =2k a k - 两式相减得：121+=+k k a a
由假设及上式得：1)12(21+-=+k
k a 即：121
1-=++k k a
所以；n=k+1时也成立
由①②知n a =2n
-1，n ∈N +时成立
21.（1）a ≥0时，增区间为()+∞∞-,；a<0时，增区间为()+∞-),ln(a
（2）注意到f(0)=0,a ≥-1时，f '
(x)=e x
+a ＞0,所以f(x)在()+∞,0上为增函数，所以f(x)
＞0恒成立；当a<-1时f(x)在())ln(,0a -上为减函数，所以f()ln(a -)<0，综上 a ≥-1
22.(1)f '(x)=-
x
a x a x )
2)((+- 由a ＞0可得f(x)的增区间为()a ,0，减区间为()+∞,a
（2）因为f(x)≥e-1，x []e ,1∈,所以f(1)=a-1≥e-1 所以 a ≥e
要使e-1≤f(x)≤e 2对x []e ,1∈恒成立，只需使： f(1)=a-1≥e-1且f(e)=a 2-e 2+ae ≤e 2 解之得a=e。