北京市昌平区2019届高三数学上学期期末质量检测试题理

北京市昌平区2019届高三数学上学期期末质量检测试题 理
本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡收回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
（1）若集合{}
2
|20A x x x =+<，{}|||1B x x =>，则A
B =
A ．{}|21x x -<<-
B ．{}|10x x -<<
C ．{}|01x x <<
D ．{}|12x x <<
（2）设,x y 满足10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪
++≤⎨⎪+≥⎩
那么2x y -的最大值为
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．1 （3）右图是一个算法流程图，则输出的k 的值为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（4）设a 是单位向量，b 是非零向量，则“⊥a b ”是“()=1⋅+a a b ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
（5）设,P Q 分别为直线,152x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）和曲线C
：1,
2x y θθ
⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）
上的点，则||PQ 的最小值为 A
B
．C
．D
．
（6）数列{}n a 是等差数列 ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且55a b =，则
A ．3746a a b b +>+
B ．3746a a b b +≥+
C ．3746
a a
b b +<+ D ．3746a a b b +=+
（7）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今
有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？
已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示,一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有
A ．21斛
B ．34斛
C ．55斛
D ．63斛
（8）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得
12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是
A ．
1
2
B ．3
C ．5
D ．8 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）已知复数z 满足(1i)2i z -=（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z = _____.
（10）已知点F 为抛物线2
8y x =的焦点，则点F 坐标为_________；若双曲线2221
2y x a
-=（0a >）的一个焦点与点F 重合，则该双曲线的渐近线方程是 ． （11）已知7()a
x x
-展开式中5x 的系数为21，则实数a 的值为 .
（12）能说明“若点(,)M a b 与点(3,1)N -在直线10x y +-=的同侧，则222a b +>”是假命题的一个点M 的坐标为_____________.
（13）已知函数()sin f x x =错误！未找到引用源。

，若对任意的实数(,)46
αππ∈--错误！未
找到引用源。

，都存在唯一的实数(0,)m β∈错误！未找到引用源。

，使()()0f f αβ+=错误！未找到引用源。

，则实数错误！未找到引用源。

的最大值是_____________．
E F
D
C
B
A
（14）已知函数,1,(),1,
2x a x f x a
x x ⎧>⎪
=⎨+≤⎪⎩
其中0,a >且 1.a ≠ （i ）当2a =时，若()(2)f x f <，则实数x 的取值范围是___________;
(ii) 若存在实数m 使得方程()0f x m -=有两个实根，则实数a 的取值范围是___. 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) （15）（本小题满分13分）
若ABC △
的面积为2
,1,b c ==A ∠为锐角. (Ⅰ) 求cos A 的值； (Ⅱ) 求sin 2sin A C
的值.
（16）（本小题满分14分）
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，
224,AB AD EF AE DE =====.
(Ⅰ) 求证：AB EF ∥;
(Ⅱ) 求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值; (Ⅲ) 求平面BCF 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值. （17）（本小题满分13分）
某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.
假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.
(Ⅰ)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；
(Ⅱ)从I 型号和V 型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分
布列和期望；
(Ⅲ)用 “11η=”, “21η=”, “31η=”, “41η=”, “51η=”分别表示I, II, III, IV, V 型号汽车让客户满意， “10η=”, “20η=”, “30η=”, “40η=”, “50η=” 分别表示I, II, III, IV, V 型号汽车让客户不满意.写出方差12345,,,,D D D D D ηηηηη的大小关系.
（18）（本小题满分13分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点 ，离心率为=e .记椭圆C 的右焦点为
F ，过点F 且斜率为k 的直线交椭圆于P,Q 两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点0(,0)M x ，求0x 的取值范围.
（19）（本小题满分13分）
已知函数ax ax x x f 2ln )(2
+-=．
(Ⅰ)若1-=a ，求曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程； (Ⅱ)若x x f ≤)(恒成立，求实数a 的取值范围．
(20) （本小题满分14分）
已知集合*{|21,}A x x n n ==+∈N ，1*{|2,}n B x x n -==∈N ,C A
B =．对于数列{}n a ，
11a =，且对于任意2≥n ，*N ∈n ，有1min{|}n n a x C x a -=∈>．记n S 为数列{}n a 的前n 项
和.
(Ⅰ)写出7a ，8a 的值；
(Ⅱ)数列{}n a 中，对于任意*N ∈n ，存在*N ∈n k ，使12-=n n k a ，求数列{}n k 的通项公式； (Ⅲ)数列{}n a 中，对于任意*N ∈n ，存在*N k ∈，有121+=+k a n .求使得1127++>k k S a 成立的k 的最小值．
昌平区2018－2019学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准（理科） 2019.1
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 1i -- 10.(2,0)；y x =± 11. 3-
12. (1,1)[或 （答案不唯一）
13. 4
3π 14. (,2)-∞；(0,1)(1,2)U
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）
解: 因为ABC △的面积为
2
,
所以 11sin 1sin 22ABC S bc A A =
=⨯=V sin 3
A = ． 因为 ABC △中，A ∠为锐角，
所以cos 3
A ==
. …………6分 （II ）在ABC △中，由余弦定理，
222222cos 12133
a b c bc A =+-=+-⨯=，所以a = 由正弦定理
=sin sin a c A C
, 所以sin =sin A a
C c .
所以sin 22sin cos 2cos
sin sin 33A A A a A C C c ⋅==⋅==
. ……13分
（16）（本小题满分14分）
证明：(Ⅰ) 在五面体ABCDEF 中，因为四边形ABCD 是矩形，
所以AB CD ∥.
因为AB CDEF ⊄平面,CD CDEF ⊂平面, 所以AB CDEF 平面∥.
因为,,AB ABFE ABFE CDEF EF ⊂=平面平面平面
所以AB EF ∥. ………4分
(Ⅱ) 取AD 的中点O ，BC 的中点M ,连接,.OE OM 因为四边形ABCD 是矩形,所以OM AD ⊥.
因为AE DE ==O 是AD 的中点，所以OE AD ⊥,且1OE =. 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =， ,OE ADE ⊂平面
所以OE ⊥平面ABCD .
如图，建立空间直角坐标系O xyz -,依题意得(0,0,0),(1,4,0),(0,2,1)O B F . 所以(1,2,1)BF =--，平面ADE 的法向量为(0,1,0)=m . 设直线BF 与平面ADE 所成角为α，则
||sin |cos ,|3||||6
BF BF
BF α⋅=<>=
==m m m ,
所以直线BF 与平面ADE ………9分 (Ⅲ) 由 (1,4,0),C -得(2,0,0)BC =-. 设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ，则有
0,0,BC BF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n 即20,
20.x x y z -=⎧⎨
--+=⎩
令1,y =则(0,1,2)=n .
因为平面ADE 的法向量为(0,1,0)=m ,
所以cos ,||||5⋅<>=
==
n m n m n m .
所以平面BCF 与平面ADE
……14分 （17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=，
满意的客户人数2500.51000.32000.67000.33500.2555⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故所求概率为555111
1600320
=
． …… 4分 （Ⅱ）0,1,2ξ=.
设事件A 为“从I 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，
事件B 为“从V 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A 、B 为独立事件. 根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2 . 则(0)()(1())(1())0.50.80.4P P AB P A P B ξ===--=⨯=;
(1)()()()()(1())(1())()P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ξ==+=+=-+-
0.50.80.50.20.5=⨯+⨯=;
(2)()()()0.50.20.1P P AB P A P B ξ====⨯= .
ξ的分布列为
ξ的期望()00.410.5
20.10.7E ξ=⨯
+⨯+⨯= . …… 11分
（Ⅲ）13245D D D D D ηηηηη>>=>． …… 13分 （18）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知222
,
b c e a a b c ⎧=⎪⎪==
⎨⎪⎪=+⎩
解得2226,
2,4.a b c ⎧=⎪
=⎨⎪=⎩ 故椭圆C 的标准方程为22
162
x y += . …… 5分 （Ⅱ）依题意，(2,0),F 直线PQ 的方程为()2y k x =-.
联立方程组()22
1,62
2.x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
消去y 并整理得()222231121260k x k x k +-+-=. ()()()()2
2222124126312410k k k k ∆=---+=+>,
设()11,P x y 、()22,Q x y ，故21221231k x x k +=+，121224()431k
y y k x x k k -+=+-=+,
设PQ 的中点为N ，则22
262(,)3131
k k
N k k -++. 因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点0(,0)M x ， ① 当0k =时，那么00x =；
② 当0k ≠时，1MN k k ⋅=-，即220
22311631
k k k k
x k -+⋅=--+ . 解得202
2
44
.1313k x k k ==++ 因为2
0,k >所以2
133k +
>，244
0133k
<<+，即04(0,)3x ∈. 综上，0x 的取值范围为4
[0,)3
. …… 13分
（19）（本小题满分13分） 解：函数)(x f 的定义域为),0(+∞.
（I ）1-=a 时，x x x x f 2ln )(2
-+=,1
()22f x x x
'=
+-, 1)1(='f ，且1)1(-=f .
所以曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为 1)1(-=--x y ，即02=--y x .…… 5分
（II ）若x x f ≤)(恒成立，即0)(≤-x x f 恒成立．
设x a ax x x x f x g )12(ln )()(2
-+-=-=，只要0)(max ≤x g 即可；
x
x a ax x g 1
)12(2)(2+-+-='．
①当0=a 时，令0)(='x g ，得1=x .
)(),(,x g x g x '变化情况如下表：
所以01)1()(max <-==g x g ，故满足题意. ②当0>a 时，令0)(='x g ，得a
x 21
-
=（舍）或1=x ； )(),(,x g x g x '变化情况如下表：
所以1)1()(max -==a g x g ，令01≤-a ，得10≤<a . ③当0<a 时，存在1
21,x a =->满足0)12ln()12(>-=-a
a g ，所以0)(<x f 不能恒成立，所以0<a 不满足题意.
综上，实数a 的取值范围为[0,1]. …… 13分 （20）（本小题满分14分）
解：（I ）*{|21,}{3,5,7,9,11,13,,21,},A x x n n n ==+∈=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅N
1*1{|2,}{1,2,4,8,16,32,,2,}n n B x x n --==∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N ， {1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,}C A
B ==⋅⋅⋅.
因为11=a ，且对于任意*,N ∈≥2n n ，1min{|}-=∈>n n a x C x a ，
所以123456781,2,3,4,5,7,8,9a a a a a a a a ========. …… 4分 （II ）对于任意2≥n ，*N ∈n ，有1min{|}n n a x C x a -=∈>，
所以对于任意2≥n ，*N ∈n ，有1->n n a a ，即数列{}n a 为单调递增数列. 因为对于任意*N ∈n ，存在*N ∈n k ，使12-=n n k a ， 所以123<<<k k k ┅<<n k ┅．
因为12-=n n k a ，12+=n n k a ，所以对于任意*n ∈N ，有11=k ，22=k ，34=k ，所以，当2
≥n 时，有1
21221212
--+--=+=+n n n n n k k ，
即03221-=+k k ，
14321-=+k k ，
25421-=+k k ，
…………
3121---=+n n n k k ，
所以当3≥n 时，
有2
1
2
3
22122222(2)(2)23(3)12
-----=+++⋅⋅⋅++-=+-=+-≥-n n n n k k n n n n ，
所以221(3)-=+-≥n n k n n . 又11=k ，22=k ，
数列{}n k 的通项公式为：2
1,1,
2
1,2
-=⎧=⎨
+-≥⎩n n n k n n . …… 10分
（III ）若*N ∀∈n ，*N ∃∈k ，有121+=+k a n ，
令122-≤m n ，*
m ∈N ，解得21log (2)-≤m n ，即2log 2+≤m n ，
得max 22[log 2][log ]2++==m n n ，其中2[log 2]+n 表示不超过2log 2+n 的最大整数， 所以max 221([log ]2),([log ]1)k n m n n k n n +=+=++=++.
2[log ]11[357(21)][122]n k S n ++=+++++++++……=2[log ]2(2)(21)n n n +++-，
依题意1127++>k k S a ，
2[log ]2(2)2127(21)n n n n +++->+，
即2[log ]2
2
52282
0n n n +--+>，
2[log ]2(26)42704n n -+⨯>.
当2[log ]0=n 时，即1=n 时，2[log ]
2
(26)42
629704n n -+⨯=<，不合题意； 当2[log ]1=n 时，即2,3=n 时，2[log ]
22(26)42
248704n n -+⨯≤+<，不合题意； 当2[log ]2=n 时，即47≤≤n 时，2[log ]
2
2(26)42
2216704n n -+⨯≤+<，不合题意；
- 11 - 当2[log ]3=n 时，即815≤≤n 时，2[log ]22(26)421848704n n -+⨯≤+⨯<，不合题
意； 当2[log ]4=n 时，即1631≤≤n 时，2[log ]22(26)4210416704n n -+⨯≤+⨯<，不合题意；
当2[log ]5=n 时，即3263≤≤n 时，
由2[log ]22(26)42374321497,1497704,n n -+⨯≤+⨯=> 此时，2(26)576n ->.
而50n =时，2(26)576n -=.所以50n >.
又当51n =时，2[log 51]2(5126)42753704-+⨯=>； 所以22[log ]151[log 51]1515157k n n =++≥++=++=. 综上所述，符合题意的k 的最小值为57.k = …… 14分。