圆和直线的交点坐标公式

圆和直线的交点坐标公式
1. 圆的方程。

- 圆的标准方程为(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。

- 圆的一般方程为x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0），圆心坐标为(-
(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2 + E^2-4F)。

2. 直线的方程。

- 直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距。

- 直线的一般式方程为Ax+By + C = 0（A、B不同时为0）。

3. 求圆与直线交点坐标的方法。

- 若圆的方程为(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2，直线方程为y=kx + m（这里以斜截式为例，若直线是一般式可先化为斜截式方便计算）。

- 将y=kx + m代入圆的方程(x - a)^2+(kx + m - b)^2 = r^2。

- 展开得到x^2 - 2ax+a^2+k^2x^2+2k(m - b)x+(m - b)^2=r^2。

- 整理为关于x的一元二次方程(1 + k^2)x^2+[2k(m - b)-2a]x+a^2+(m - b)^2 - r^2 = 0。

- 利用一元二次方程的求根公式x=(-B±√(B^2 - 4AC))/(2A)，这里A = 1 +
k^2，B=2k(m - b)-2a，C=a^2+(m - b)^2 - r^2，求出x的值。

- 再将x的值代入直线方程y = kx+m求出对应的y值，得到交点坐标。

- 若圆的方程为x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，直线方程为Ax+By + C = 0。

- 由直线方程Ax+By + C = 0可得y=-(A)/(B)x-(C)/(B)（假设B≠0）。

- 将y =-(A)/(B)x-(C)/(B)代入圆的方程x^2+(-(A)/(B)x-(C)/(B))^2+Dx+E(-(A)/(B)x-(C)/(B))+F = 0。

- 展开并整理得到一个关于x的一元二次方程，再用求根公式求出x的值。

- 把x的值代入直线方程求出y的值，从而得到交点坐标。