浅谈与自然数有关的不等式的证明方法
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１ ， 故 ％＋ １ ＞ ％， 即数列｛ 单 调递增 ， ３ Ｌ ａ ２ － — ５ Ｖ ３
一
＞１， 。 ：
÷ ７ ６ … 一 ２ ｎ ＋ ｌ ＞ 詈 詈 。 号 … 署 ， 则 （ 导 。 ５ ‘ 詈 … — ２ ｎ ＋ １ ） ＞ 寻 ・ 寻 ・ … ・ ・ ・
性 来证 明不 ｇ － 式．
２ ． 作 商 法
＜ ＋ １ 则
（ ｎ ） （ ｎ ） ， 然后再利 用｛ ｝ 的单调
得． ｓ ｎ（
）
：
＞
， 就放 度 ， ， 了！
例３ （ ２ ０ ０ ９ 年 山东理 科第２ ０ 题） 等 比数列 ｛ ｎ ｒ Ｉ ） 的前ｎ
１ ） 一 — ， 从 而 一 ％ １＋ ｌ ｎ （ ｎ ＋ １ ） ＋ ＿ ｌ ｎ （ ｎ ＋
、
均值 不等 式法
２ ） 一 旦 ： 一 １ ｆ ＿ ｎ ＋ ２ 一 １ 一 Ｉ ｎ ２ ／ ＋ ２ 一 ． ２ （ ２ ／ ＋ ２ ）一 ２＼ ｎ ＋ １ 斛２厂 ｎ ＋ １ 一 ‘
，
＋ 号 ＜ ．
注： ① 应注意把握 放缩的“ 度” ： 上述 不等 式右 边放 缩
用 的是 均 值 不 等 式 、 ／ ≤— ａ ＋ ｂ 若放成、 ／ 丽
，
ｉ ￣ｌ ＋ １
１ ２ ＋ ３＋ ． ． ’ ＋
ｌ ｎ （ ） ＋
（ ｎ ≥１ ） ．
注： ｘ Ｃ ｆ（ ｎ ） ＞ ｇ （ ｎ ） 型不等式 ， 若，（ ｎ ） 或ｇ （ ｎ ） 是 和式表 达 式， 则可构造数列
２ ‘
４ ６ ８
２ ｎ ＋２
，
啬 所 以 即 ÷ 。 ＞ 何・
注： （ ｎ ） ＞ ｇ （ ｎ ） 型不 等式 ， （ ｎ ） 或ｇ （ ｎ ） 是 积式表 达式， 则可构造数 列 ：
ｇ ｎ
３ ５ ７
２ ｎ ＋１
即三 ． ． ７… ． — ２ ｎ ＋ — １ ＞ ｘ ／ ｇ － ￣
例２ （ ２ ０ ｌ ０ 年湖北理科２ １ 题） 已知函数厂 （ ） ： ＋ 一 ｂ
＋ ｃ （ ｎ ＞ ０ ） 的图像 在点（ １ ， ｆ （ １ ） ） 处的切线方程为ｙ ＝ ｘ 一 １ ．
丢 ÷－ ７ ６ … ２ ２ ／ ＋ １ ＞ 佩． 构造 使 ｎ ＋ 吾 二 ÷ ｕ 二 ， 从
简析 ： （ １ ） （ ２ ） 略．
等式 的构造性证 明的常见方法 ． 既希望学生对 中学数学 各部分 内寻之 间的联 系和渗透有所加强和重视 ，也希望
能开阔学生视 野 ，培养他们 良好 的思维品质和创造性解 决问题 的能力 ， 从 而对优化解题有所启示 ．
一
（ ３ ） 构 造 数 列 ｛ ） ， 使 ＝ １ ＋ 丢 ＋ ÷ ＋ ÷ ＋ ． ． ‘ ＋ 一 ｌ ｎ （ ｎ ＋
由（ ２ ） 知， 当口 ≥ 时， ， （ ） ＞ ｌ ｎ 在［ １ ， ＋ ∞） 上恒成立 ，
例１ 设ｓ ＝
＜ Ｓ ｏ ＜ ．
２ ２
＋仍
＋… ＋ 、 ／ 元 可 ．求 证
令 。 ＝ ｛ （ ） ＝ １ （ 一 ÷ ） ≥ ｌ ｎ （ ≥ １ ） ． 再 令 ２ ／ ＋ １ ， 得 解析： 此数列 的通 项为吼＝ 、 ／ ， ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ． 因 （ 等一 ｎ ＋ ｌ 等． ） ＋ ＿ ｌ ｎ （ ） ≥ｈ（ ） ＋ ｎ ＋ ｌ 为 ＜ 厕 ＜ ＝ ＋ 丢 ， 所 以 ｎ 盎 ＜ ｓ ＜ 喜（ ＋ 所 （
教 参
解 法探 究
２ ０ １ ３ 年 ４月
浅谈 与 自然数有关 的不等式 的证 明方法
⑩ 湖北省 大 冶市第 一 中学 黄俊峰 袁 方程 陈俊 杰 含／ ２ 的不 等式的证 明是历 届考生 的一个难 点 ，也是
【 １ Ｊ 用０ 表 不 出 ｂ， Ｃ；
高考 的一个重点 ． 近几年 的高考题对这 方面都有涉及 ， 且 常 以数列 为载体 ， 对学生的要求也更高 ． 因此考生对这 类
题 目比较头疼 ， 害怕见到这类题 目， 对这类题甚 至不 知所 措， 无 从下手． 本文试 图通 过实例说 明与 自然数 有关 的不
（ ２ ） ￣ｆ （ ｘ ） ＞ ｌ ｎ ｘ 在［ １ ， ＋ ∞） 上恒成立 ， 求ｎ 的取值范围；
（ ３ ） ｊ ａ ￣ Ｈ ， ｇ ： １ ＋ ÷ ＋ ÷ ＋ “ ‘ ＋ ＞ ｌ ｎ （ ｎ ＋ １ ） ＋ （ ｎ ≥ １ ） ．
②根 据所证 不等 式的结构特征来选取所需要 的重要
项和为Ｓ ， 已知对任意 的ｎ ∈Ｎ ＋ ， 点（ ｎ ， ） ， 均在 函数ｙ ＝ ６ （ ６ ＞ Ｏ 且ｂ ≠１ ， ｂ ， ｒ 均为常数 ） 的图像 上． （ １ ） 求ｒ 的值 ；
（ ２ ） 当６ ＝ ２ 时， 记６ ＝ ２ （ １ ｏ ｇ ｚ ａ ． ＋ １ ） （ ｎ ∈Ｎ ） ， 证明： 对任 意
Ｖ １
中。 ？ 擞・ ？ 高 中 版
２ ０ １ ３ 年 ４月
解法 探 究
学 谋
而
ａｎ
：
＼ ／ 元
． 一
２ ２ ｎ ｎ ＋ ＋ ３ ２ Ｘ ／ — ４ ｎ ２ ％１ ｎ ＋３ — ２ ｎ ＋ ８ Ｖ＇ — ４ ｎ ２ ２ ｎ ＋ ＋３ １ — ２ ｎ ＋ ９ ：
１ ／ 堕 其 中 ２ ， ３ 等 的 各 式 及 其 变 式 公 式 均 可 供 选 用 ．
Ｖ ｎ
的 ∈ Ｎ＋ ， 不等式
Ｄ１
．
ｂ２
…． ．
Ｄ
＞ 佩
成立．
二、 数列 单调性 法
１ ． 作差 法 ’
简析 ： （ １ ） 略．
（ ２ ） 由题意 有ａ ａ ＝ ２ ， 进 而得 到６ ＝ ２ ｎ ， 故 所证 不等 式
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性 来证 明不 ｇ － 式．
２ ． 作 商 法
＜ ＋ １ 则
（ ｎ ） （ ｎ ） ， 然后再利 用｛ ｝ 的单调
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：
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， 就放 度 ， ， 了！
例３ （ ２ ０ ０ ９ 年 山东理 科第２ ０ 题） 等 比数列 ｛ ｎ ｒ Ｉ ） 的前ｎ
１ ） 一 — ， 从 而 一 ％ １＋ ｌ ｎ （ ｎ ＋ １ ） ＋ ＿ ｌ ｎ （ ｎ ＋
、
均值 不等 式法
２ ） 一 旦 ： 一 １ ｆ ＿ ｎ ＋ ２ 一 １ 一 Ｉ ｎ ２ ／ ＋ ２ 一 ． ２ （ ２ ／ ＋ ２ ）一 ２＼ ｎ ＋ １ 斛２厂 ｎ ＋ １ 一 ‘
，
＋ 号 ＜ ．
注： ① 应注意把握 放缩的“ 度” ： 上述 不等 式右 边放 缩
用 的是 均 值 不 等 式 、 ／ ≤— ａ ＋ ｂ 若放成、 ／ 丽
，
ｉ ￣ｌ ＋ １
１ ２ ＋ ３＋ ． ． ’ ＋
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（ ｎ ≥１ ） ．
注： ｘ Ｃ ｆ（ ｎ ） ＞ ｇ （ ｎ ） 型不等式 ， 若，（ ｎ ） 或ｇ （ ｎ ） 是 和式表 达 式， 则可构造数列
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啬 所 以 即 ÷ 。 ＞ 何・
注： （ ｎ ） ＞ ｇ （ ｎ ） 型不 等式 ， （ ｎ ） 或ｇ （ ｎ ） 是 积式表 达式， 则可构造数 列 ：
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２ ｎ ＋１
即三 ． ． ７… ． — ２ ｎ ＋ — １ ＞ ｘ ／ ｇ － ￣
例２ （ ２ ０ ｌ ０ 年湖北理科２ １ 题） 已知函数厂 （ ） ： ＋ 一 ｂ
＋ ｃ （ ｎ ＞ ０ ） 的图像 在点（ １ ， ｆ （ １ ） ） 处的切线方程为ｙ ＝ ｘ 一 １ ．
丢 ÷－ ７ ６ … ２ ２ ／ ＋ １ ＞ 佩． 构造 使 ｎ ＋ 吾 二 ÷ ｕ 二 ， 从
简析 ： （ １ ） （ ２ ） 略．
等式 的构造性证 明的常见方法 ． 既希望学生对 中学数学 各部分 内寻之 间的联 系和渗透有所加强和重视 ，也希望
能开阔学生视 野 ，培养他们 良好 的思维品质和创造性解 决问题 的能力 ， 从 而对优化解题有所启示 ．
一
（ ３ ） 构 造 数 列 ｛ ） ， 使 ＝ １ ＋ 丢 ＋ ÷ ＋ ÷ ＋ ． ． ‘ ＋ 一 ｌ ｎ （ ｎ ＋
由（ ２ ） 知， 当口 ≥ 时， ， （ ） ＞ ｌ ｎ 在［ １ ， ＋ ∞） 上恒成立 ，
例１ 设ｓ ＝
＜ Ｓ ｏ ＜ ．
２ ２
＋仍
＋… ＋ 、 ／ 元 可 ．求 证
令 。 ＝ ｛ （ ） ＝ １ （ 一 ÷ ） ≥ ｌ ｎ （ ≥ １ ） ． 再 令 ２ ／ ＋ １ ， 得 解析： 此数列 的通 项为吼＝ 、 ／ ， ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ． 因 （ 等一 ｎ ＋ ｌ 等． ） ＋ ＿ ｌ ｎ （ ） ≥ｈ（ ） ＋ ｎ ＋ ｌ 为 ＜ 厕 ＜ ＝ ＋ 丢 ， 所 以 ｎ 盎 ＜ ｓ ＜ 喜（ ＋ 所 （
教 参
解 法探 究
２ ０ １ ３ 年 ４月
浅谈 与 自然数有关 的不等式 的证 明方法
⑩ 湖北省 大 冶市第 一 中学 黄俊峰 袁 方程 陈俊 杰 含／ ２ 的不 等式的证 明是历 届考生 的一个难 点 ，也是
【 １ Ｊ 用０ 表 不 出 ｂ， Ｃ；
高考 的一个重点 ． 近几年 的高考题对这 方面都有涉及 ， 且 常 以数列 为载体 ， 对学生的要求也更高 ． 因此考生对这 类
题 目比较头疼 ， 害怕见到这类题 目， 对这类题甚 至不 知所 措， 无 从下手． 本文试 图通 过实例说 明与 自然数 有关 的不
（ ２ ） ￣ｆ （ ｘ ） ＞ ｌ ｎ ｘ 在［ １ ， ＋ ∞） 上恒成立 ， 求ｎ 的取值范围；
（ ３ ） ｊ ａ ￣ Ｈ ， ｇ ： １ ＋ ÷ ＋ ÷ ＋ “ ‘ ＋ ＞ ｌ ｎ （ ｎ ＋ １ ） ＋ （ ｎ ≥ １ ） ．
②根 据所证 不等 式的结构特征来选取所需要 的重要
项和为Ｓ ， 已知对任意 的ｎ ∈Ｎ ＋ ， 点（ ｎ ， ） ， 均在 函数ｙ ＝ ６ （ ６ ＞ Ｏ 且ｂ ≠１ ， ｂ ， ｒ 均为常数 ） 的图像 上． （ １ ） 求ｒ 的值 ；
（ ２ ） 当６ ＝ ２ 时， 记６ ＝ ２ （ １ ｏ ｇ ｚ ａ ． ＋ １ ） （ ｎ ∈Ｎ ） ， 证明： 对任 意
Ｖ １
中。 ？ 擞・ ？ 高 中 版
２ ０ １ ３ 年 ４月
解法 探 究
学 谋
而
ａｎ
：
＼ ／ 元
． 一
２ ２ ｎ ｎ ＋ ＋ ３ ２ Ｘ ／ — ４ ｎ ２ ％１ ｎ ＋３ — ２ ｎ ＋ ８ Ｖ＇ — ４ ｎ ２ ２ ｎ ＋ ＋３ １ — ２ ｎ ＋ ９ ：
１ ／ 堕 其 中 ２ ， ３ 等 的 各 式 及 其 变 式 公 式 均 可 供 选 用 ．
Ｖ ｎ
的 ∈ Ｎ＋ ， 不等式
Ｄ１
．
ｂ２
…． ．
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成立．
二、 数列 单调性 法
１ ． 作差 法 ’
简析 ： （ １ ） 略．
（ ２ ） 由题意 有ａ ａ ＝ ２ ， 进 而得 到６ ＝ ２ ｎ ， 故 所证 不等 式