广义严格对角占优矩阵的充分必要条件

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件
广义严格对角占优矩阵是指对于矩阵A，满足以下条件：
1. A是一个n×n的矩阵；
2. 对于任意的i ≠ j，有|A(i,i)| > |A(i,j)|，即A的对角线元素的绝对值大于非对角线元素的绝对值；
3. 对于任意的i，有Σ|A(i,j)| < |A(i,i)|，即A的对角线元素绝对值大于该行其他元素绝对值之和。

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件是存在一个非奇异矩阵D，使得DAD^-1是对角严格对角占优矩阵。

下面进行证明。

我们可以构造一个对角矩阵D，使得D(i,i) = 1/|A(i,i)|。

由于A满足广义严格对角占优的条件，所以D是非奇异的。

现在我们对矩阵A进行相似变换A' = DAD^-1。

对于任意的i ≠ j，有：
A'(i,j) = ΣD(i,k)A(k,j)D^-1(j,k) = D(i,i)A(i,j)D^-1(j,j)
= (1/|A(i,i)|)A(i,j)(1/|A(j,j)|)
= A(i,j)/(|A(i,i)||A(j,j)|)
由于A满足广义严格对角占优的条件，所以|A(i,i)| > |A(i,j)|，且|A(j,j)| >
|A(i,j)|，所以A'(i,j) = A(i,j)/(|A(i,i)||A(j,j)|)是非零的。

同理可证Σ|A'(i,j)| < 1 对于任意的i。