初中几何“截长补短”专练

平移、旋转：
1、如图，正方形ABCD
的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG 。

（1）观察猜想BE 与DG 之间的大小关系，并证明；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，
请说出旋转过程，若不存在，请说明理由。

2、如图,四边形ABCD 的∠BAD =∠C =90o ,AB =AD ,AE ⊥BC 于E ,
BEA 旋转后能与DFA 重合。

（1）旋转中心是哪一点? （2）旋转了多少度? （3）若AE =5㎝,求四边形AECF 的面积。

3.如图，梯形ABCD 的周长为30cm ，AD ∥BC ，现将DC 平移到AE 处，AD =5cm ，求ABE 有周长。

4.（旋转）如图，把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起，使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合（如图①）.现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：00＜α＜900），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）
. （1）在上述过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？证明你发现的结论；
(2)连接HK ，在上述旋转过程中，设
BH=x ，△GKH 的面积为y, F
E D
C
B
A
A B C
D
P P ’
①求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
②当△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的5
16，求此时BH 的长.
5.如图，ABC 中，BAC =120，以BC 为边向外作等边BCD ，把ABD 绕着点
D
按顺时针方向向旋转60得到ECD 的位置。

若AB =3，AC =2，求BAD 的度数和线段AD 的长度。

（A 、
C 、E 在同一直线上）9、.如图所示，已知P
6、为正方形ABCD 外的一点.PA=1,PB=2.将△ABP 绕点B 顺时针旋转900，
使点P 旋转至点P ’，且AP ’=3,求∠BP ’C 的度数.
7．在平面直角坐标系中，边长为
2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当
A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，旋转过程中，A
B 边交直线y=x 于点M ，B
C 边交x 轴于点N （如图）．
（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；
（3）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．
8、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=BC=DC ，点E 、F 分别在AD 、AB 上，且∠FCE=
21∠BCD ．
（1）求证：BF=EF-ED ；
（2）连接AC ，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF 的度数．9、直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，AB=BC ，M 为BC 边上一点．
（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM ．
（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM 的值．
10、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各有一点P 、Q ，△APQ 的周长为2，求∠PCQ ．
为了解决这个问题，我们在正方形外以BC 和AB 延长线为边作△
CBE ，使得△CBE ≌△CDQ （如图）
（1）△CBE 可以看成由△CDQ 怎样运动变化得到的？
（2）图中PQ 与PE 的长度有什么关系？为什么？
（3）请用（2）的结论证明△PCQ ≌△PCE ；
（4）根据以上三个问题的启发，求∠PCQ 的度数．
（5）对于题目中的点Q ，若Q 恰好是AD 的中点，求BP 的长．
11、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=BC=DC ，点E 、F 分别在AD 、AB 上，且∠FCE= 21∠BCD ．
（1）求证：BF=EF-ED ；
（2）连接AC ，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF 的度数．
12、直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，AB=BC ，M 为BC 边上一点．
（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM ．
（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM 的值．
F
E
D
C
B A 中线倍长
1、如图，直角梯形ABCD 中，//AD BC ,ABC =90,点E 是AB 边上一点，AE BC ,DE EC ，
取DC 的中点F ，连接AF 、BF 。

（1）求证：AD BE
（2）试判断ABF 的形状，并说明理由.
2、如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，点 E 在 BC 上，AE ＝BE ，且 AF ⊥AB ，连接EF.
(1) 若EF ⊥AF ，AF ＝4，AB ＝6，求 AE 的长．
(2) 若点 F 是 CD 的中点, 求证：CE=BE －AD
3、在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，AB ＝2CD ，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结
EF 、
EC 、BF 、CF ．
（1）求证：△BEF ≌△CDF ；
（2）若CD ＝2，求四边形BCFE 的面积．
B
C
D F
A E
4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 为CD 的中点，且BE ⊥CD ，连接AE ，交BD 于点F 。

(1)
求证:AE=BE (2)连接CF ，若∠BCD=60°，AD=2，求四边形ABCF 的面积。

.
5、正方形ABCD 中，E 点为BC 中点，连接AE ，过B 点作BF ⊥AE ，交CD 于F 点，交AE 于G 点，连接GD ，过A 点作AH ⊥GD 交GD 于H 点．
（1）求证：△ABE ≌△BCF ；
（2）若正方形边长为4，AH= 516
，求△AGD 的面积．
6. 如图正方形ABCD 中，E 为AD 边上的中点，过
A 作AF ⊥BE ，交CD 边于F ，M 是AD 边上一点，
且有BM ＝DM ＋CD ．
⑴求证：点F 是CD 边的中点；
⑵求证：∠MBC ＝2∠ABE ．
7、如图1，已知正方形ABCD 和正方形
CGEF(CG>BC),B,C,G 在同一条直线上，
M 为线段AE 的中点，探究MD,MF 的关系。

2）若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转45度，
使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD
的边BC 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点，
试问：（1）中探究的结论是否成立，若成立，
请证明，若不成立，请说明理由。

M F
E C
D B A
截长补短
1、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．
（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．
2、梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G 为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．
．
中位线
1、平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的
中点，求正：四边形EFGH是平行四边形。

2、在⊿ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE，CD的中点，直线MN分别交AB、AC于点P、Q。

求证：⊿APQ为等腰三角形。

3、如图已知：四边形ABCD中，AC、BD交于O，AC=BD，E、F为AB、CD中点，
EF交BD、AC于MN。

求证：OM=ON
4.如图,已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE交BD、BC
于点E、F，AC、BD相交于点O。

求证：OF＝1
2 CE。

5、如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和
AD的中点，BE和CF交于点P。

求证：AP＝AB。

F
E
O
C A B D
A E
F
D C
B
P
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