北京市首都师范大学附属中学八年级上册期末数学模拟试卷及答案

北京市首都师范大学附属中学八年级上册期末数学模拟试卷及答案
一、选择题
1．一块多边形木板截去一个三角形（截线不经过顶点），得到的新多边形内角和为2340︒，则原多边形的边数为（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
2．如图，在锐角三角形ABC 中，AB=52，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．10
3．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，AE 是BAC ∠的角平分线，AE CE ⊥于点E ，连接DE ，若7AB =，1DE =，则AC 的长度是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 4．化简
211m m m m --÷的结果是 （ ） A ．m B ．1m C ．1m - D ．1m m
- 5．钝角三角形三条高所在的直线交于（ ）
A ．三角形内
B ．三角形外
C ．三角形的边上
D ．不能确定 6．墨墨发现从某多边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则这个多边形的内角和是
（ ）
A ．1260°
B ．1080°
C ．900°
D ．720°
7．如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AB 的中点，点F 在AD 上，当△BEF 周长最小时，点F 的位置在（ ）
A ．AD 的中点
B ．△AB
C 的重心 C ．△ABC 三条高线的交点
D ．△ABC 三边中垂线的交点
8．下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）相等的角是对顶角； （2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）等边三角形的三条中线、角平分线、高线都交于一点；
（5）如果1∠与3∠互余，2∠与3∠的余角互补，那么1∠和2∠互补.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，补充下列一组条件，仍无法判定△ABC ≌△DEC 的是（ ）
A ．BC=EC ，∠B=∠E
B ．BC=E
C ，AC=DC
C ．∠B=∠E ，∠A=∠D
D ．BC=EC ，∠A=∠D
10．下列运算正确的是（ ）
A ．23522a a a ⋅=
B ．()22436m m =
C ．623m m m ÷=
D ．22(1)1x x +=+
二、填空题
11．如图，在ABC ∆若中，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠平分线．若
38,70,B C ∠=︒∠=︒则DAE ∠=_____
12．如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB 于点E ，交AC 于点D ，若△ABC 的周长
为26cm ，BC=6cm ，则△BCD 的周长是__________cm ．
13．化简分式2
2214ac a bc
- 的结果为_____． 14．a 与2b 互为相反数，则2244a ab b ++=____．
15．计算：()
32a a a -÷=__________． 16．如图，D 在BC 边上，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B 的度数为_____．
17．若103a =，102b =，则210a b -=______．
18．若△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，AE 平分∠BAC ，∠B =40°，∠C =50°，则
∠EAD=_____°．
19．如图，是一块缺角的四边形钢板，根据图中所标出的结果，可得所缺损的∠A 的度数是_____．
20．如果x 2+mx +6＝（x ﹣2）（x ﹣n ），那么m +n 的值为_____．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 延长线交于点E ，连接AE ，如果∠B =50°，∠BAC =21°，求∠CAE 的度数.
22．如图，已知△ABC ．
（1）请用尺规作图作出AC 的垂直平分线，垂足为点D ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不
要求写作法）；
（2）连接CE ，如果△ABC 的周长为27，DC 的长为5，求△BCE 的周长．
23．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，ABC ∠的平分线交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，DEF F ∠=∠．
（1）写出3对由条件//AD BC 直接推出的相等或互补的角；
___________、_____________、_______________．
（2）3∠与F ∠相等吗？为什么？
（3）证明：//DC AB ．
请在下面括号内，填上推理的根据，完成下面的证明：
//AD BC ，
2F ∴∠=∠．（①_________）；
3F
∠=∠（已证）， 23∴∠=∠，（②__________）； 又12∠=∠（③___________），
13∠∠∴=，
//DC AB ∴（④_____________）．
24．化简：（1）2(2)(2)(2)42x y x y x y xy y ⎡⎤--+-+÷⎣⎦；
（2）24442244
a a a a a a --⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭ 25．已知：230m mn +=，210mn n -=-，求下列代数式的值：
（1）222m mn n +-；
（2）227m n +-.
26．如图，等边ABC 中，D 为BC 边中点，CP 是BC 的延长线．按下列要求作图并回
答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（1）作ACP ∠的平分线CF ；
（2）作60ADE ∠=︒，且DE 交CF 于点E ；
（3）在（1），（2）的条件下，可判断AD 与DE 的数量关系是__________；请说明理由．
27．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b ）2、（a ﹣b ）2、ab 之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y ＝5，x•y ＝94
，则x ﹣y ＝ ； （3）拓展应用：若（2019﹣m ）2+（m ﹣2020）2＝15，求（2019﹣m ）（m ﹣2020）的值．
28．如图，等边△ABC 的边AC ，BC 上各有一点E ，D ，AE=CD ，AD ，BE 相交于点O ．
（1）求证：△ABE ≌△CAD ；
（2）若∠OBD =45°，求∠ADC 的度数．
29．如图1，四边形MNBD 为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE AEC ECD ∠∠∠、、），则BAE AEC ECD ∠+∠+∠=__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角
（BAE AEF EFC FCD ∠∠∠∠、、、），则
BAE AEF EFC FCD ∠+∠+∠+∠=__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角
（BAE AEF EFG FGC GCD ∠∠∠∠∠、、、、），则
BAE AEF EFG FGC GCD ∠+∠+∠+∠+∠=___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n 刀，剪出()1n +个角，那么这()1n +个角的和是____________°．
30．如图,已知D 为△ABC 边BC 延长线上一点,DF ⊥AB 于F 交AC 于E, ∠A=35°, ∠D=50°,求∠ACD 的度数.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先求出内角和为2340°的多边形的边数，而根据题意可得原多边形比新多边形的边数少1，据此进一步求解即可.
【详解】
设内角和为2340°的多边形边数为x ，
则：()18022340x -=，
解得：15x =，
则原多边形边数=15114-=，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和公式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
∵AD平分∠CAB，
∴点B关于AD的对称点B′在线段AC上，作B′N′⊥AB于N′交AD于M′．
∵BM+MN=B′M+MN，
∴当M与M′重合，N与N′重合时，BM+MN的值最小，最小值为B′N′，
∵AD垂直平分BB′，
∴AB′=AB=52，
∵∠B′AN′=45°，
∴△AB′N′是等腰直角三角形，
∴B′N′=5
∴BM+MN的最小值为5．
故选B．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到
AF=AC，EF=EC，根据三角形中位线定理得出BF=2，即可得出结果．
【详解】
解：延长CE，交AB于点F．
∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，
∴∠EAF=∠EAC，∠AEF=∠AEC，
在△EAF与△EAC中，
EAF EAC AE AE
AEF AEC ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△EAF ≌△EAC （ASA ），
∴AF=AC ，EF=EC ，
又∵D 是BC 中点，
∴BD=CD ，
∴DE 是△BCF 的中位线，
∴BF=2DE=2．
∴AC=AF=AB-BF=7-2=5；
故选A ．
【点睛】
此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
先化除为乘，然后按照分式乘法法则进行计算即可．
【详解】 解：211m m m m
--÷ =2
11
m m m m -⨯- =m ．
故答案为A ．
【点睛】
本题考查了分式的的乘除运算，掌握分式乘除运算法则是解答本题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
由图形可知：钝角三角形三条高所在的直线交于三角形外．
【详解】
解：如图可知：钝角△ABC 三边的高交于三角形外部一点D ，
即钝角三角形三条高所在的直线交于三角形外，
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形的高线的交点问题，解答的关键是会画三角形的高线，并能根据三角形的形状得出三条高线所在的直线的交点与三角形的关系．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先根据从一个多边形的一个顶点出发，一共可以作5条对角线，可以得到是八边形，然后利用多边形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：根据题意，多边形的边数是5+3=8，
则内角和是（8-2）×180=1080°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理和多边形的边数与对角线的条数之间的关系，理解多边形是八边形是关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接EC，与AD交于点P，由题意易得BD=DC，根据等腰三角形的“三线合一”可得当△BEF周长最小时，即为BE+CE的长，最后根据中线的交点可求解．
【详解】
解：连接EC，与AD交于点P，如图所示：
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，
BD=DC，
点F在AD上，当△BEF周长最小时，即BE+BF+EF为最小，
由轴对称的性质及两点之间线段最短可得：
BE+BF+EF 为最小时即为BE+CE 的长；
∴点F 的位置即为点P 的位置，
根据三角形的重心是三角形三条中线的交点；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形及轴对称的性质和三角形的重心，熟练掌握等腰三角形及轴对称的性质和三角形的重心是解题的关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
（1）中相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角；（2）中必须是两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等；（3）中在一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）属于等腰三角形的性质；（5）中根据余角补角的定义列得算式，根据等量代换即可得到12180∠+∠=︒，所以（3）（4）（5）正确．
【详解】
（1）中对顶角相等但是相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角，此项错误；
（2）中必须是两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，此项错误；
（3）中在一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此项正确； （4）属于等边三角形三线合一的性质，此项正确；
（5）中根据余角和补角的定义列得算式139********∠+∠=︒∠+︒-∠=︒，，根据等量代换即可得到12180∠+∠=︒，此项正确．
故选C ．
【点睛】
考查几何相关知识，属于综合考查，学生需要熟练掌握对顶角性质，平行线性质，直线间的位置关系，等边三角形性质以及余角补角定义才能解对本题．
9．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解：A 、已知AB=DE ，再加上条件BC=EC ，∠B=∠E 可利用SAS 证明△ABC ≌△DEC ，故此选项不合题意；
B 、已知AB=DE ，再加上条件BC=E
C ，AC=DC 可利用SSS 证明△ABC ≌△DEC ，故此选项不合题意；
C 、已知AB=DE ，再加上条件∠B=∠E ，∠A=∠
D 可利用ASA 证明△ABC ≌△DEC ，故此选项不合题意；
D 、已知AB=D
E ，再加上条件BC=EC ，∠A=∠D 不能证明△ABC ≌△DEC ，故此选项符合题
意；
故选D．
考点：全等三角形的判定．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵2a2•a3=2a5，故选项A正确；
∵（3m2）2=9m4，故选项B错误；
∵m6÷m2=m4，故选项C错误；
∵（x+1）2=x2+2x+1，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据直角三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，结合图形计算即可．
【详解】
∵
∴
∵是平分线
∴
∵是边上的高，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本
解析：16
【解析】
【分析】
根据直角三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线的定义求出∠BAE ，结合图形计算即可．
【详解】
∵38,70,B C ∠=︒∠=︒
∴72BAC =︒∠
∵AE 是BAC ∠平分线
∴36BAE ∠=︒
∵AD 是BC 边上的高，38B ∠=︒
∴52BAD =︒∠
∴523616DAE =︒-︒=︒∠
故答案为：16︒．
【点睛】
本题考查了三角形的角度问题，掌握直角三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
12．16
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出AD=BD ，根据△ABC 周长求出AC ，推出△BCD 的周长为BC+CD+BD=BC+AC ，代入求出即可．
【详解】
∵DE 垂直平分AB ，
∴AD=B
解析：16
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出AD=BD ，根据△ABC 周长求出AC ，推出△BCD 的周长为BC+CD+BD=BC+AC ，代入求出即可．
【详解】
∵DE 垂直平分AB ，
∴AD=BD ，
∵AB=AC ，△ABC 的周长为26，BC=6，
∴AB=AC=(26-6)÷2=10，
∴△BCD 的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+10=16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质和等腰三角形的应用，解此题的关键是求出AC 长和得出△BCD 的周长为BC+AC ，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
13．【解析】
把分子分母中的公因式2ac约去即可．
【详解】
解：原式＝
＝．
故答案为:．
【点睛】
本题考查约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约
解析：
7c ab
-
【解析】
【分析】
把分子分母中的公因式2ac约去即可．【详解】
解：原式＝
2
27
ac c ac ab -
＝
7c ab
-．
故答案为:
7c ab
-．
【点睛】
本题考查约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
14．0
【解析】
【分析】
根据互为相反数的定义得出a+2b=0，再把a2+4ab+4b2变形为（a+2b）2代入求值即可．
【详解】
解：∵a与2b互为相反数，
∴a+2b=0，
∴a2+4ab+4b
解析：0
【解析】
【分析】
根据互为相反数的定义得出a+2b=0，再把a2+4ab+4b2变形为（a+2b）2代入求值即可．
解：∵a与2b互为相反数，
∴a+2b=0，
∴a2+4ab+4b2=（a+2b）2=0
故答案为：0
【点睛】
此题主要考查了互为相反数以及完全平方公式，正确把握互为相反数的定义是解题关键．15．【解析】
【分析】
根据整式的除法计算即可得答案，
【详解】
=
=，
故答案为：
【点睛】
此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知多项式除单项式的运算法则．
解析：2-
a a
【解析】
【分析】
根据整式的除法计算即可得答案，
【详解】
()
32
-÷
a a a
=32
÷-÷
a a a a
=2-
a a，
故答案为：2-
a a
【点睛】
此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知多项式除单项式的运算法则．16．70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC
解析：70°．
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，求出∠BAD ＝∠EAC ＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B ＝∠ADB ，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC ≌△ADE ，
∴AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，
∴∠BAD ＝∠EAC ，
∵∠EAC ＝40°，
∴∠BAD ＝40°，
∵AB ＝AD ，
∴∠B ＝∠ADB ＝12
（180°﹣∠BAD ）＝70°， 故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB ＝AD 和求出∠BAD ＝∠EAC 是解此题的关键．
17．【解析】
【分析】
根据同底数幂的除法和幂的乘方得出，代入求出即可．
【详解】
∵10a=3，10b=2，
∴=102a ÷10 b
=
=32÷2
=．
故答案为．
【点睛】
本题考查同底数幂 解析：92
【解析】
【分析】
根据同底数幂的除法和幂的乘方得出()210
10a b ÷，代入求出即可．
【详解】
∵10a =3，10b =2，
∴210a b -=102a ÷10 b
=()
21010a b ÷ =32÷2 =
92． 故答案为
92
． 【点睛】 本题考查同底数幂的除法和幂的乘方的应用，关键是得出关于10a 和10b 的式子，用了整体代入思想．
18．5
【解析】
【分析】
由三角形的高得出，求出，由三角形内角和定理求出 ，由角平分线求出，即可得出的度数．
【详解】
解：中，是边上的高，
，
，
，
平分，
，
．
故答案为：5．
【点睛】
本题
解析：5
【解析】
【分析】
由三角形的高得出90ADC ∠=︒，求出DAC ∠，由三角形内角和定理求出 BAC ∠，由角平分线求出EAC ∠，即可得出EAD ∠的度数．
【详解】
解：ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，
90ADC ∴∠=︒， 90
905040DAC C ， 180180405090BAC
B C ，
，
∵平分BAC
AE
11
9045
EAC BAC，
22
EAD EAC DAC．
45405
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、角的和差计算；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19．73°
【解析】
【分析】
先求出∠ABC度数，再求出四边形的内角和，再代入求出即可．
【详解】
如图；
∵∠EBC=62°，
∴∠ABC=180°-∠EBC=118°，
∵∠A+∠ABC+∠C+
解析：73°
【解析】
【分析】
先求出∠ABC度数，再求出四边形的内角和，再代入求出即可．
【详解】
如图；
∵∠EBC=62°，
∴∠ABC=180°-∠EBC=118°，
∵∠A+∠ABC+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，∠C=80°，∠D=89°，
∴∠A=360°-∠ABC-∠C-∠D=73°，
故答案为73°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和外角，能求出四边形的内角和是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°．
20．-2
【解析】
【分析】
把(x-2)(x-n)展开，之后利用恒等变形得到方程，即可求解m、n的值，之后可计算m+n的值．
【详解】
解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，
∴m＝﹣
解析：-2
【解析】
【分析】
把(x-2)(x-n)展开，之后利用恒等变形得到方程，即可求解m、n的值，之后可计算m+n的值．
【详解】
解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，
∴m＝﹣（2+n），2n＝6，
∴n＝3，m＝﹣5，
∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】
本题考查了因式分解的十字相乘法，我们可以直接套用公式
()()()
2
+++=++即可求解.
x p q x pq x p x q
三、解答题
21．∠EAC=71°
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质得出∠ACE=71°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，从而得出∠EAC=∠ECA=71°.
【详解】
∵AC的垂直平分线交AC于点D
∴EA=EC
∴∠EAC=∠ECA
∵∠B =50°，∠BAC =21°
∴∠ECA =∠B +∠BAC =71°
∴∠EAC =71°
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
22．（1）见解析（2）17
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作DE 垂直平分AC ；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA ＝EC ，AD ＝CD ＝5，则利用△ABC 的周长得到AB+BC ＝17，然后根据等线段代换可求出△AEC 的周长．
【详解】
（1）如图，DE 为所作；
（2）∵DE 垂直平分AC ，
∴EA ＝EC ，AD ＝CD ＝5，
∴AC ＝10，
∵△ABC 的周长＝AB+BC+AC ＝27，
∴AB+BC ＝27﹣10＝17，
∴△AEC 的周长＝BE+EC+BC ＝BE+AE+BC ＝AB+BC ＝17．
【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
23．（1）2F ∠=∠，C CDF ∠=∠，180A ABC ∠+∠=︒或180C ADC ∠+∠=︒ （2）相等，理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质解答；
（2）根据对顶角的性质解答；
（3）根据平行线的性质及等量代换，平行线的判定定理解答.
【详解】
（1）∵//AD BC ，
∴2F ∠=∠，C CDF ∠=∠，180A ABC ∠+∠=︒或180C ADC ∠+∠=︒；
故答案为：2F ∠=∠，C CDF ∠=∠，180A ABC ∠+∠=︒或180C ADC ∠+∠=︒； （2）3∠与F ∠相等．理由如下：
DEF F ∠=∠，3DEF ∠=∠，
3F ∴∠=∠．
（3）//AD BC ，
2F ∴∠=∠．（①两直线平行，内错角相等）；
3F
∠=∠（已证）， 23∴∠=∠，（②等量代换）； 又12∠=∠（③角平分线的定义），
13∠∠∴=，
//DC AB ∴（④内错角相等，两直线平行）.
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③角平分线的定义；④内错角相等，两直线平行.
【点睛】
此题考查平行线的性质定理及判定定理，角平分线的性质定理，等量代换的推理依据，熟练掌握平行线的判定及性质定理是解题的关键.
24．（1）y ；（2）22a a -+
【解析】
【分析】
（1）先运用完全平方公式和平方差公式化简括号内，最后运用整式除法法则计算即可； （2）先将括号内通分计算，然后再对能因式分解的部分因式分解，最后运用整式除法法则计算即可．
【详解】
（1）原式()
222244442x xy y x y xy y =-+-++÷ 222y y =÷
=y ；
（2）解：原式()
22(44)442(2)
a a a a a ----=⋅-- 2
(4)(2)24
a a a a a ---=⋅-- 22a a =-+．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，掌握并灵活运用相关运算法则和计算技巧是解答本题的关键．
25．（1）20；（2）33.
【解析】
【分析】
（1）将已知两等式左右两边相加，即可求出所求代数式的值；
（2）将已知两等式左右两边相减，即可求出所求代数式的值.
【详解】
（1）∵230m mn +=，210mn n -=-，
∴222m mn n +-=（2m mn +）+（2mn n -）=30-10=20；
（2）∵230m mn +=，210mn n -=-，
∴227m n +-=（2m mn +）-（2mn n -）-7=30-（-10）-7=30+10-7=33.
【点睛】
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型.
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）AD DE =，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（3）连接AE ，首先根据等边三角形的性质计算出30BAD EDC ∠=∠=︒，
30DEC EDC ∠=∠=︒，进而得到CE CD BD ==，然后证明ABD ACE ∆≅∆可得AD AE =，再由60ADE ∠=︒，可得ADE ∆是等边三角形，进而得到AD DE =．
【详解】
（1）尺规作图，如下图；
（2）尺规作图，如下图；
（3）AD DE =
理由如下：
如图，连接AE
∵等边ABC 中，D 为BC 边中点，
∴BD DC =，90ADB ADC ∠=∠=︒，
∵60B ADE ∠=∠=︒，
∴30BAD EDC ∠=∠=︒，
∵120ACP ∠=︒，CE 为ACP ∠的平分线，
∴60ACE ECP ∠=∠=︒，
∴30DEC ECP EDC ∠=∠-∠=︒，
∴30DEC EDC ∠=∠=︒，
∴CE CD BD ==，
在ABD △和ACE △中，
∵AB AC =，60B ACE ∠=∠=︒，BD CE =，
∴ABD ACE SAS △≌△()，
∴AD AE =，
又∵60ADE ∠=︒，
∴ADE 是等边三角形，
∴AD DE =.
【点睛】
此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确掌握全等三角形的判定方法．
27．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab ；（2）±4；（3）-7
【解析】
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy ，将x+y ＝5，x•y ＝
94代入(x+y)2-(x-y)2=4xy ，即可求得x-y 的值
（3）因为(2019﹣m)+(m ﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m ﹣2020)2＝15，即可求解．
【详解】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2 ∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等
∴(a+b)2-(a-b)2=4ab
故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy
∵x+y ＝5，x•y ＝
94 ∴52-(x-y)2=4×
94
∴(x-y)2=16
∴x-y=±4
故答案为：±4
（3）∵(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1
∴[(2019﹣m)+(m﹣2020)]2=1
∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m﹣2020)+ (m﹣2020)2=1
∵(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15
∴2(2019﹣m)(m﹣2020)=1-15=-14
∴(2019﹣m)(m﹣2020)=-7
故答案为：-7
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
28．（1）见解析；（2）∠ADC=105°
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60 °，再根据SAS即可证得结论；（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，然后根据三角形的外角性质和角的和差即可求出∠BOD的度数，再根据三角形的外角性质即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60 °，
在△ABE与△CAD中，
∵AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=∠CAD +∠BAO=∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠OBD+∠BOD=45°+60°=105°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，属于常考题目，熟练掌握上述知识是解答的关键．
29．（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【解析】
【分析】
（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个
角的和等于180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．【详解】
（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
30．83°.
【解析】
试题分析：由DF⊥AB，在Rt△BDF中可求得∠B；再由∠ACD=∠A+∠B可求得．试题解析：∵DF⊥AB，
∴∠B+∠D=90°，
∴∠B=90°-∠D=90°-42°=48°，
∴∠ACD=∠A+∠B=35°+48°=83°．。