专题研究3-2 高考：与名师对话总复习 课标版(文科数学)

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第三章 专题研究(二)
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综上所述，当 a<0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． 当 a>0 时，函数 f(x)在1a，＋∞上是单调递增函数，在0，1a上 是单调递减函数． (2)当 x∈1e，e时，判断函数 g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m 的零点的 个数等价于判断方程(lnx－1)ex＋x＝m 的根的个数． 令 h(x)＝(lnx－1)ex＋x，则 h′(x)＝1x＋lnx－1ex＋1.
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第
导数及其应用
三
章
(选修 1－2)
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第三章 导数及其应用(选标版·数学（文）
专题研究(二) 导数与函数零点
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第三章 专题研究(二)
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专题概述：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以 通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根 据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位 置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个 清晰、直观的整体展现．
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故 f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2 3)，(3＋2 3，＋∞)， 单调递减区间为(3－2 3，3＋2 3)．
(2)证明：由于 x2＋x＋1>0， 所以 f(x)＝0 等价于x2＋xx3＋1－3a＝0. 设 g(x)＝x2＋xx3＋1－3a，则 g′(x)＝x2xx22＋＋x2＋x＋132 ≥0， 当且仅当 x＝0 时 g′(x)＝0，所以 g(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增．故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点．
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第三章 专题研究(二)
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由(1)知，当 a＝1 时，f(x)＝lnx＋1x－1 在1e，1上单调递减，在 [1，e]上单调递增，∴f(x)≥f(1)＝0.
∴1x＋lnx－1≥0 在 x∈1e，e上恒成立． ∴h′(x)＝1x＋lnx－1ex＋1≥0＋1>0， ∴h(x)＝(lnx－1)ex＋x 在1e，e上单调递增．
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第三章 专题研究(二)
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[审题程序] 第一步：借助导数分类讨论 f′(x)的符号； 第二步：函数零点问题转化为方程根的问题，分离 m； 第三步：构造函数，借助导数研究单调性、最值，确定结果．
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题型二 根据函数零点个数确定参数 【典例 2】 (2018·浙江金华期中)已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋ (c－3a－2b)x＋d 的图象如图所示．
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(1)求 c，d 的值； (2)若函数 f(x)在 x＝2 处的切线方程为 3x＋y－11＝0，求函数 f(x)的解析式； (3)在(2)的条件下，函数 y＝f(x)与 y＝13f′(x)＋5x＋m 的图象 有三个不同的交点，求 m 的取值范围． [审题程序] 第一步：结合图象及导数的几何意义应用待定系数法求出 f(x) 的解析式； 第二步：两函数图象交点问题转化为一个函数的零点问题； 第三步：利用导数求函数的极值，确定 m 的取值范围．
[解] (1)当 a＝3 时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x －3.
令 f′(x)＝0，解得 x＝3－2 3或 x＝3＋2 3. 当 x∈(－∞，3－2 3)∪(3＋2 3，＋∞)时，f′(x)>0； 当 x∈(3－2 3，3＋2 3)时，f′(x)<0，
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[规范解答] (1)依题意得 f′(x)＝axa－x21，x>0， 当 a<0 时，f′(x)>0 恒成立， ∴函数 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数； 当 a>0 时，由 f′(x)＝axa－x21>0，得 x>1a， 由 f′(x)＝axa－x21<0，得 0<x<1a， ∴函数 f(x)在1a，＋∞上是单调递增函数，在0，1a上是单调 递减函数．
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[专题讲解] 题型一 求函数零点个数 【典例 1】 (2019·兰州一模)已知函数 f(x)＝lnx＋a1x－1a，a ∈R 且 a≠0. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 x∈1e，e时，试判断函数 g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m 的零 点个数．
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∴h(x)min＝h1e＝－2e1e ＋1e，h(x)max＝e.
∴当
1
m<－2ee
＋1e或
m>e
1
时，g(x)没有零点，当－2ee
＋1e≤m≤e
时，g(x)有一个零点．
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第三章 专题研究(二)
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[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
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[题型专练] 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)． (1)若 a＝3，求 f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点．
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又 f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－16<0， f(3a＋1)＝13>0，故 f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点．
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[解题反思] 本题的易错点有两处：一是忽略函数的定义域， 导致函数的单调区间与最值判断出错，从而零点的个数判断出 错，注意到函数的定义域优先，就能有效避开此类错误；二是遇 到函数的解析式含参判断其零点个数，常需用到分类讨论，在分 类讨论时，易因分类不明，或分类不全而失分．