课时作业22：2.3.1 等比数列（一）

2．3等比数列
2．3.1等比数列(一)
基础过关
1.在等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于()
A.4
B.8
C.16
D. 32
答案 C
解析由于a24＝a2·a6，所以a2·a6＝16.
2.在等比数列{a n}中，a n>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为()
A.16
B.27
C.36
D.81
答案 B
解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
3.等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()
A.－24
B.0
C.12
D.24
答案 A
解析由(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，
解得x＝－1或x＝－3.
当x＝－1时，前三项为－1，0，0不成立，舍掉.当x＝－3时，前三项为－3，－6，－12，
公比为2，所以第四项为－24，选A.
4.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()
A.b＝3，ac＝9
B.b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9
D.b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b ＝－3.∴ac ＝b 2＝9.
5.在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比为2，则a 2与a 8的等比中项为________. 答案 ±16
解析 ∵数列{a n }是等比数列，而且a 1＝1，q ＝2，
∴a 2＝a 1q ＝2，a 8＝a 1q 7＝27＝128，
设a 2与a 8的等比中项为M ，
则M ＝±a 2a 8＝±2×128＝±16.
6.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2
＝________. 答案 1
解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2
＝b 1·q ＝2，则a 2b 2
＝22＝1. 7.在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2…a 10＝265，求通项a n 与a 6.
解 由题可知⎩⎨⎧a 1q 2＝16，a 101q 45＝265，∴⎩⎨⎧a 1＝4，q ＝2.
∴通项a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，
∴a 6＝26＋1＝128.
能力提升
8.在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )
A.9
B.10
C.11
D.12
答案 C
解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10. ∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.
9.已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )
A.3
B.2
C.1
D.－2
答案 B
解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.
10.已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2
的值是________. 答案 12
解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，
则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，
∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±
2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.
∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2
＝－1－2＝12. 11.已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.
(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }唯一，求a 的值.
解 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2， b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2.
由b 1，b 2，b 3成等比数列，得(2＋q )2＝2(3＋q 2)， 即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2. 所以{a n }的通项公式为
a n ＝(2＋2)n －1，或a n ＝(2－2)n －1.
(2)设{a n }的公比为q ′，则b 1＝1＋a ，b 2＝2＋aq ′，b 3＝3＋aq ′2. 由b 1，b 2，b 3成等比数列得
(2＋aq ′)2＝(1＋a )(3＋aq ′2)，
得aq ′2－4aq ′＋3a －1＝0(*).
由a >0，得Δ＝4a 2＋4a >0，故方程(*)有两个不同实根. 由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，
代入(*)得a ＝13.
12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N ＋).
(1)求a 1，a 2；
(2)求证：数列{a n }是等比数列.
(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，
∴a 1＝－12.
又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.
(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，即3a n ＝a n －a n －1，又
a 1＝－12，则a n ≠0，a n a n －1
＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.
创新突破
13.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，
(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；
(2)求a n 的表达式.
(1)证明 方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＋1＝2，则a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋1a n ＋1
＝2， ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. 方法二 ∵a 1＋1＝2，∴a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2（a n ＋1）a n ＋1
＝2(n ∈N ＋)， ∴数列{a n ＋1}是等比数列.
(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列.公比为2， 首项为2.
∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n .
∴a n ＝2n －1.。