江西省南昌市进贤一中2020学年高二数学上学期第一次月考试题

江西省南昌市进贤一中2020学年高二数学上学期第一次月考试题
第一部分 （选择题)
一、单选题（每小题5分，共60分)
1．若三点()()()1,,5,7,10,12A b B C 在同一直线上，则实数b 等于（ ） A ．11- B ．11 C ．3- D ．3
2．已知直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ） A ．3210x y +-= B ．3270x y ++= C ．2350x y -+= D ．2380x y -+= 3．已知圆
：
，圆
：
，则圆
与圆
的位
置关系是
A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
4．已知椭圆 的两个焦点为 ,且 ,弦过点 ,则 的
周长为( ) A ． B ．
C ．
D ．
5．已知圆，圆
与
关于直线
对称，则圆
的
方程为（ ） A ． B ． C ．
. D ．
6．若,x y 满足约束条件4430
y x
x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩
，则1y
x +的取值范围是（ ）
A ．5,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．13,115⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ C ．3
,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．15,113⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ 7．到直线的距离为2的点的轨迹方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射与圆相切，则反射光线
所在的直线的斜率为（ ）
A ．或
B ．或
C ．或
D ．或
9．设,m n R ∈，若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则AOB ∆面积的最小值为（ ） A ．
12
B ．2
C ．3
D ．4
10．若直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆08242
2
=---+y x y x 的周长，则
b
a 2
1+的最小值为 （ ） A 、1 B ．322+ C ．4 D ．6
11．直线y x b =+与曲线21x y =-有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ ） A ．2b ±=
B ．11b -≤≤
C ．1b 1-≤< 或2b =-
D ．22b -≤≤
12．设是定义在上的增函数，且对于任意的都有
恒成立. 如果实数满足不等式
,那么
的取值范围是
( )
A ．(9, 49)
B ．(13, 49)
C ．(9, 25)
D ．(3, 7)
第二部分 （非选择题)
二、填空题（每小题5分，共20分)
13．已知1F （-3，0），2F （3，0），点M 满足1021=+MF MF ,则M 的轨迹方程为 ▲ 14．设不等式组 ，其中
，若
的最小值为，则
．
15．已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ， ()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____．
16．若0,0a b >>，4a b ab +=，在以(),a b 为圆心，a b +为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程为______
三、解答题
17（10分）．已知直线，
.
(1)若，求的值； (2)若，求的值.
18（12分）．（1）求过点(3,4)且与两坐标轴截距相等的直线l 的方程；
（2）已知正方形ABCD 的中心为直线10x y -+=和直线220x y ++=的交点，且
AB 边所在直线方程为320x y +-=，求CD 边所在直线的方程.
19（12分）．已知圆C 的圆心在直线x 30y -=上，且圆C 与y 轴相切，若圆C 截直线y x =得弦长为7，求圆C 的方程.
20（12分）．已知圆4)4()3(:2
2
=-+-y x C 和直线043:=-+-k y kx l ， （1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；
（2）求k 取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求出最短弦的长；
21（12分）．已知圆2
2
:(1)(2)4C x y ++-=,O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线， 设切点为M ．
（1）若点P 运动到(1,3)处，求此时切线的方程； （2）求满足条件PM PO =的点P 的轨迹方程．
22（12分）．已知曲线C ：
（1）当
为何值时，曲线C 表示圆；
（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于，两点，是否存在实数
，使
得以
为直径的圆过原点，若存在，求出实数
的值；若不存在，请说明理由．
数学第一次月考参考答案
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．B 7．D 8．D 9．C 10．D 11．C
由题意可知曲线21x y =-，即()2
2
10x y x +=≥表示一个再y 轴右侧的单位圆的一半，
再利用数形结合找到两图象只有一个公共点时b 的范围即可. 【详解】
由题意可知曲线21x y =-，即()2
2
10x y x +=≥表示一个再y 轴右侧
的单位圆的一半，如图所示.
当直线y x b =+经过(0,1)时，1b =； 当直线y x b =+经过(0,-1)时，1b =-； 当直线y x b =+与半圆相切时，有：
12
b =，解得2b =-或2（舍）.
由图可知，直线y x b =+与曲线21x y =-有且只有一个交点时，11b -<≤ 2b =-. 12．A 由得
，又
，
∴，
∵是
上的增函数，∴
＜
， ∴
. 结合图象知为圆
内的点到原点距离，故
.
∴
.
13．22
12516x y += 14． 15．][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
16．()()223681x y -+-= 试题分析：44444
4159111
a a a
b ab b a b a a a a a -++=∴=
∴+=+=-++≥---，当3a =等号成立，此时6,9b r ==，所以圆的方程为()()2
2
3681x y -+-= 考点：1.圆的方程；2.均值不等式求最值 17．（1）
；（2）
（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m ﹣2）+m ×3＝0，由此求得m 的值．
（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得
，由此求得得m 的值．
【详解】
（1）∵直线l 1：x +my +6＝0，l 2：（m ﹣2）x +3y +2m ＝0， 由l 1⊥l 2 ，可得 1×（m ﹣2）+m ×3＝0，解得
．
（2）由题意可知m 不等于0, 由l 1∥l 2 可得
，解得 m ＝﹣1．
18．(1) 430x y -=或70x y +-= (2) 340x y ++= 【详解】
（1）当截距为0时，设直线方程为y kx = ，代入点()3,4可得
4
3
k =
所以直线方程为4
y 3
x =，即430x y -= 当截距不为0时，设直线方程为1x y
a a
+=
代入点()3,4可得
7a =
所以直线方程为
177
x y
+=，即70x y +-= 综上所述，直线l 的方程为430x y -=或70x y +-=
（2）由10
220x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得
1
x y =-⎧⎨
=⎩即中心坐标为()1,0- ∵正方形AB 边所在直线方程为320x y +-=
∴可设正方形CD 边所在直线方程为()302x y m m ++=≠- ∵正方形中心到各边距离相等，
=
∴4m =或2m =-（舍） ∴CD 边所在直线方程为340x y ++= 19．
313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或313a b r =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
， 解：设圆方程为()()2
2
2
x a y b r -+-=，
则
2
2
30a b r a r ⎧
⎪
-=⎪⎪
=⎨⎪⎪=⎪⎩⇒ 313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或313a b r =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，
20．（1）点（4，3）在圆内；（2）1=k ，最短弦22 21．（1）1x =或34150x y +-=；（2）2410x y -+=．
试题分析：（1）当直线的斜率不存在时，易求得直线方程为1x =，当直线的斜率存在时，
把直线方程设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于半径，得关于斜率k 的方程，解方程得斜率k 的值，根据点斜式得直线方程；（2）直接用坐标表示条件PM PO =，用直接法求动点轨迹，化简整理即得动点的轨迹方程．
试题解析：（1）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为1x =，C 到直线的距离2d r ==，满足条件；
当直线的斜率存在时，设斜率为k ，得直线的方程为3(1)y k x -=-，
则
2=，解得34
k =-
． 所以直线方程3
3(1)4
y x -=-
-，即34150x y +-=． 综上，满足条件的切线方程为1x =或34150x y +-= （2）设(,)P x y ，则2
22
22(1)(2)4PM
PC MC x y =-=++--，
2
22PO x y =+，∵PM PO =，
∴2
2
2
2
(1)(2)4x y x y ++--=+，整理，得2410x y -+=， 故点P 的轨迹方程为2410x y -+=，
考点：1、圆的切线方程；2、直接法求动点的轨迹方程．
22．（1）；（2）存在实数使得以为直径的圆过原点,.
试题分析：
(1)根据圆的一般式可知,,可得范围;
(2)假设存在,则有,设出两点坐标,可得.根据直线与圆的位置关系是相交,所以联立后首先根据初步判断的范围,而后利用根与系数的关系用表示出,将其带入解之,如有解且在的范围内,则存在,否则不存在.
（1）由，得.
（2）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，所以. 设，则有,即.
由得，
，即，又由（1）知，
故
根据根与系数的关系知:
,
故存在实数使得以为直径的圆过原点，
考点：圆的一般方程的判断,直线与圆的位置关系的应用,的使用.。