14.4 量子力学的建立和哥本哈根解释

2 2 nπ ( x) sin x a a 2 n
2
n4
16 E1
n3 n2
n 1 x0
a2
9 E1
4 E1
a
x0
a2
a
E1
Ep 0
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4. 对应原理 在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经 典规律 . 2 能量
h En n , ( n 1 , 2 , 3 , ) 2 8ma
2 2 2 2
拉普拉斯算子
定态薛定谔方程
2 2 2 x y z
2 2 2 2
2 8 π m 2 2 ( E Ep ) 0 h
定态波函数
( x, y , z )
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定态波函数性质
1）能量 E 不随时间变化；
2）概率密度

2
不随时间变化 .
2 2
波函数
( x)
概率密度 能量 量子数
0,
( x 0, x a)
2 nπ sin x , (0 x a) a a
2
o
a
x
2 2 nπ ( x) sin x a a 2 h 2 En n 8ma 2
n 1,2,3,
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nπ ( x) A sin x a n
例：电子在 a 1.0 10 m 的势阱中 .
2 h 2 15 E n2 n 3 . 77 10 eV 2 8ma 2 h 15 （近似于连续） E 2n n 7 . 54 10 eV 2 8ma
2
当 a 0.10nm 时, E n 75.4eV （能量分立）
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
Ψ ( x ,t ) 0 e
2 2
i
2π ( Et px ) h
Ψ 4π p Ψ 2 2 x h
2
自由粒子
(v c)
E Ek
2
Ψ i2π EΨ t h
2
2
p 2mEk
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h Ψ h Ψ 2 i 2 8π m x 2π t
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 1）
x, y , z

2
dxdydz 1 可归一化 ;
2）
3）
, , 和 连续 ; x y z
( x, y, z ) 为有限的、单值函数 .
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3. 一维势阱问题 粒子势能 Ep 满足的边界条件
出现概率小
电子数 N=20000 N=7 N=100 N=3000 N=70000
. . .. . .. . .
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2. 粒子由波组成,是不同频率的波叠加而成的“波包”
单个电子不能形成衍射花样 实验 否定 介质中频率不同的波速度不同，波包应发散， 但未见电子“发胖” 不同介质界面波应反射，折射，但未见电 子“碎片”
波或粒子 ？“波和粒子”？在经典框架内无法统一
8π mE k h2
2
2 h 2 En 8ma 2
h , (n 1) 基态能量 E1 2 8ma 2 h 2 , (n 2,3,) 激发态能量 En n 2 8ma
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
2
o
a
x
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2 ( x) A sin kx E k 0 2 p x n k , n 1,2,3, 量子数 a nπ ( x) A sin x a x o a
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山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
一种崭新的观念和优美的数学方法 悄然而生
3. 玻恩“概率波”说（1926年提出，1954年诺贝尔 物理学奖）
光的衍射：

光 — 光子流
E h , I Nh N
条纹明暗分布 —— 屏上光子数分布 强度分布曲线 —— 光子堆积曲线
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若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
E Ek Ep
h Ψ h Ψ 2 Ep ( x, t )Ψ i 2 8π m x 2π t 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ Ψ( x, t ) 粒子在恒定势场中的运动 Ep Ep ( x)
一维运动粒子的含时薛定谔方程
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14.4 量子力学的建立及哥本哈根解释
法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 ) 思想方法 自然界在许多方 面都是明显地对称的，他采用类 比的方法提出物质波的假设 。
―整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研 究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物 理论上，是否发生了相反的错误呢 ？ 是不是我们关 于‘粒子’的图象想得太多 ，而过分地忽略了波的 图象呢？”
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一. 粒子的波动性——德布罗意假设(1924年)
波动性 ( , v)
光 实物粒子
粒子性 (m , p)
+ ？
+ +
假设: 实物粒子具有 波动性。
p mv
2
h

h h h 波长 1 v 2 / c2 p mv m0v
E mc2 m0c2 频率 h h h 1 v 2 / c2
用物质波波函数描述 微观粒子的波动性
例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其 能量、动量为常量，所以 v 、 不随 时间变化，其物质波是单色平面波， 波函数为
Ψ ( x, t ) Ψ 0e
x i 2 π ( t )

Ψ 0e
i ( Et px )
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2. 薛定谔方程（1925 年） 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数
Ep , x 0, x a 0, ( x 0, x a) Ep 0, 0 x a
d 2 8π 2 mE 0 2 2 dx h 2 2 d 2 8π mE k 0 2 k
h2
Ep
( x) A sin kx B cos kx
物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率
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波函数的物理意义：
2 | Ψ (r , t ) | ——
(1)时刻 t ,
t
时刻，粒子在空间
r
处的
单位体积中出现的概率，又称为概率密度
粒子在空间 r 处 dV 体积内出现的概率
2 * dW | Ψ (r , t ) | dV Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV
(2)归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1)
2 | Ψ ( r, t) | d xd yd z 1
(3)波函数必须单值、有限、连续 概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续
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(4)单个粒子在哪一处出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统计规律。 电 子 双 缝 干 涉 图 样
粒子性：不被分割的整体，有确定位置和运动 轨道 波动性：某种实际的物理量的空间分布作周期 性的变化，波具有相干叠加性
二象性 要求将“波”和“粒子”两种对立的属性 统一到同一物体上 .
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历史上曾有的代表性观点:
1. 波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应
实验否定: 电子一个个通过单缝，长时间积累也出现衍 射效应。

1925年24岁的德国物理学家海森伯 (Werner Karl Heisenberg)在德国 物理学家43岁的波恩(Max Born)和 23岁的约尔丹的帮助下创立矩阵量 子力学，对运动学和力学的各个方 面给出量子论的解释。
海森伯
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1. 物质波的波函数
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔
( x) A sin kx
dx
o
a
x
波函数的标准条件：单值、有限和连续 .
x 0, 0, B 0
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x a, A sin ka 0 sin ka 0 sin ka 0, ka n Ep n k , n 1,2,3, 量子数 a
2 0.0123 nm
电子显微镜分辨率 远大于 光学显微镜分辨率
D 观测仪器的分辨本领 R 1.22
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二. 量子力学的建立
量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学。
相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程 。
罗意波长（不考虑相对论效应）。
1 2 根据 m v eU ，加速后电子的速度为 v 解 0 2
2eU m0
根据德布罗意关系 p = h /λ，电子的德布罗意波长为
h h 1 1.225 m0v 2m0e U U
波长分别为 说明 电子波波长 << 光波波长
nm
1 0.1 nm
设想： 光强 I
, 光子一个个通过，光子 是如何运动的
通过哪个缝 ？ 不确定！ 落到哪一点 亮纹： 光子到达概率大 次亮纹： 光子到达概率小 暗纹： 光子到达概率为零
通过某缝到达屏上某点 起点，终点，轨道 均不确定 只能作概率性判断
光强分布 —— 光子落点概率分布, ―光子波”—— 概率波
类比：与实物粒子相联系的物质波 —— 概率波
2
2
势阱中相邻能级之差
h E En1 En (2n 1) 8ma 2
E 1 m ,1 a
2
能级相对间隔
当 n 时， (En
En h2 2n En 8ma 2
2 2 h 2 n 2 8ma n
En ) 0 ，能量视为连续变化.
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物理意义 当 n, m, a 很大时，E 0 ，量子效应不 明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 .
Ψ ( x, t ) ( x) (t ) 0 ( x)e
2 2
i 2 πEt / h
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d 8π m 2 ( E Ep ) ( x) 0 2 dx h
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在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
8π m 2 2 2 ( E Ep ) 0 2 x y z h
( x)
1
2 3
o
a
x
来源于微观粒子的波粒二相性 .
应用 1981年宾尼希和罗雷尔 利用电子的隧道效应制成了扫描遂 穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面 原子排列的状况 . 1986年宾尼希又 研制了原子力显微镜.
量子围栏照片
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三. 粒子波动性的物理意义——概率波
经典的“波动性”和“粒子性”互不相容
Байду номын сангаас
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5. 一维方势垒 隧道效应 一维方势垒
Ep ( x)
0, x 0, x a Ep ( x) Ep0, 0 x a 粒子的能量 E Ep0
隧道效应
Ep0
o
2 3
a x
( x)
从左方射入 的粒子，在各区 域内的波函数
1
o
a
x
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粒子的能量虽不足以 超越势垒 , 但在势垒中似 乎有一个隧道, 能使少量 粒子穿过而进入 x a 的区域 , 所以人们形象地 称之为隧道效应 . 隧道效应的本质 :
2
归一化条件
2 a A sin 2 0


2
dx dx 1
* 0
a

nπ xdx 1 a
2 A a
2 nπ ( x) sin x , (0 x a ) a a
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d 8π mE Ep 0 波动方程 2 2 dx h
E mc h
和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。
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物质波的实验验证：
革末—戴维孙电子散射实验(1927年)，观测到电子衍射现象。
电 子 束 衍射图样 （波长相同）
X 射 线
电子双缝干涉图样
杨氏双缝干涉图样
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例 计算经过电势差 U1 =150 V 和 U2 =104 V 加速的电子的德布
Ep
0, 0 x a Ep Ep , x 0, x a
意义
o
a
x
1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 .
薛定谔方程
d 8π mE ( x) 0 2 2 dx h
2 2
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