2.7 角动量 角动量守恒定律
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2 2 dr dr F m 2 F m dt d(t ) 2
牛顿定律具有时间反演对称性
例：时间平移对称性——能量守恒定律
如果物理定律不具有时间平 移对称性
设重力势能 E p mgh 随时 间变化
例如：白天 g 大，晚上 g 小，则可晚上抽水贮存于h 高度处，白天利用水的落差作功，可获得能量赢余.
(3) 空间反演对称性
左右对称与平移、旋转不同：（例如手套、鞋）
2. 时间对称性
“周期”、“节奏”、“季节”等，这类出现在我 们面前的重复现象，其实就是时间的对称。
生活中的事件总是以不同的节奏循环往复地交替着 人类又何尝不是按一定“节奏”世代交迭着。
年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。
3. 物理学与对称性 对称性与物理学之间有什么关系呢？这里包含 两层含义： (1)物理理论自身追求一种对称，并将其作为物理 学美学三大标准(简单、对称、和谐)的主要内容 之一。 形象对称、抽象对称、数学对称三类 (2)物理规律的内容是自然界对称性的反映，“对称 性”是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本 规律。
v2 r2
v1r1 v2 r2
mv1r1 mv2 r 2
等式两边同乘m
L1 L2
角动量的定义
如果一个质点在某一位置的动量为p，从某一固
定点到该位置的位矢为r， p与r之间的夹角为θ，那
么质点对此固定点的角动量L可以表示为：
L r p r mv
角动量的大小： L L prsin mvrsin 角动量的方向： 右手螺旋法则
“优胜劣汰”的自然选择过程，使得对称性固化在基因中，保存了下来。
力矩的大小：
M M rFsin
力矩的方向：
右手螺旋法则
动画
三、角动量守恒应用
一演员在台北101大厦(500m高)前表演
四、宇宙速度与轨道形状 从地球表面发射飞行器，飞行器环绕地球、脱离 地球和飞出太阳系所需要的最小速度，分别称为第一、 第二、第三宇宙速度。 第一宇宙速度：在地面上发射一航天器，使它能 绕地球的圆轨道运行所需的最小速度。 v1 = 7.9 km/s 第二宇宙速度：脱离地球的引力范围所需的最小 发射速度。 v2 = 11.2 km/s 第三宇宙速度：不但脱离地球引力范围还要脱离 太阳引力范围所需的最小发射速度。 v3 = 16.7 km/s
即
mvr sin mv1r1 mv2 r 2
L L1 L2
二、角动量守恒定律 如果物体在运动过程中，受到外力相对于固定
点（或固定轴）的力矩为零，则物体相对该固定点
（或固定轴）的角动量守恒。
L r p r mv 力矩定义： M r F
人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由 万有引力提供，即：
Mm v2 GM G 2 m v r r r
地球半径R=6400km，地球质量为约60万亿亿吨， 代入上式可得卫星的最大运行速度为：
v GM r 6.67 1011 6.00 1024 7.9km / s 6 6.4 10
物理定律不因地而异 1) 物理定律的旋转对称性——空间各向同性
空间各方向对物理定律等价，没有哪一个方向具有特别优越 的地位。实验仪器方位旋转，实验结果不变。
2) 物理定律的平移对称性——空间均匀性
空间各位置对物理定律等价，没有哪一个位置具有特别优越 的地位。物理实验可以在不同地点重复，得出的规律不变。
r
L
p
行星运动到近日点与远日点时，行星的动量
与矢径均垂直 v2 r1 v1 即 因此有： r2
90
L1 mv1r1 L2 mv 2 r 2
设行星运动到Ａ点时，行星的速度为v，动量 与矢径的夹角为θ r1 v r
θ
Ａ
v2
r2
v1 则在△t时间内，矢径扫过的面积为： 1 S vtr sin 2 由 S S1 S 2 vr sin v1r1 v2 r 2
例：某人造卫星沿一椭圆轨道绕地球运动，其近地 点离地面的高度 h1 300 千米，远地点离地面的高 度 h 1400 千米。试求卫星在近地点和远地点时的
2
运动速度 V1 和 V2。（设地球半径 R 6370 千米） e
五、对称性与守恒定律
镜里朱颜都变尽，只有丹心难灭。
物理学中存在着许多守恒定律,如能量守恒、动量守 恒、角动量守恒、电荷守恒、奇异数守恒、重子数守 恒、同位旋守恒……这些守恒定律的存在并不是偶然 的，它们是自然规律具有各种对称性的结果。
E p mg h mgh 0
则永动机可以制造成功，违反能量守恒定律
物理规律的对称性 F外 0 p 0
空间平移对称性 空间旋转对称性
M外 0
L 0
dA外 dA非保内 0
E = 0
时间平移对称性
物理规律(自然定律)不因人（参考系）而异， 参考系变换应该是物理定律的对称操作.
3) 物理定律的空间反射对称性
如果在镜象世界里的物理现象不违反已知的物理规律，则支 配该过程的物理规律具有空间反射对称性。
物理定律不因时而异 1) 物理定律的时间平移对称性
物理定律不随时间变化即为物理定律具有时间平移对称性， 物理实验可以在不同时间重复，其遵循的规律不变。
2) 物理定律的时间反演对称性（t - t 的操作）
对称意味着“有序”，意味着某种“重复”的东西 存在
(1) 空间旋转对称
o
o
o
对绕 O 轴旋 转任意角的操 作对称
对绕 O 轴旋 转 2 整数倍 的操作对称
对绕 O 轴旋 转 /2 整数倍 的操作对称
(2) 空间平移对称
一无限长直线：对沿直线移动任意步长的平移操作对称。 一无限大平面：对沿面内任何方向、移动任意步长的平 移操作对称。 平面网格： 对沿面内某些特定方向、移动特定步长的 平移操作对称。
人类故意在对称的建筑中留下小小的错误
上帝就不会嫉妒人类的完美了· · · · · ·
上帝故意让物理定律只是接近完美 人类就不会嫉妒上帝的完美了· · · · · · 有对称，就有不对称， 如果把不对称看成是对称的镜像反射，
那么对称性就在更高的层次上保存了下来。
对称的结构更适合于
飞翔
奔跑
游泳
对称的结构更利于生存
在自然情况下，雄燕的尾羽长度比雌燕长出大约20％。尾巴最长 的雄燕比其他雄燕能吸引更多雌燕。它们的长尾羽也比短尾燕的尾羽 更对称。动物学家安德斯· 穆勒提出这样的设想：把尾长和对称性分开， 看它们是否会独立影响雌性动物的选择。 结果证明雌燕同时既在乎大 小又在乎对称性：尾巴长但不对称的雄燕，不如尾巴长而对称的雄燕 受欢迎。 动物学家爱斯坦· 马库森和爱沃· 弗斯泰德发现处于发情期的驯鹿， 个头儿最大的鹿，鹿角也最对称。马库森和弗斯泰德还提出鹿角的状 况清楚地告诉我们驯鹿体内寄生虫的情况。 鹿角明显不对称说明该动 物的免疫系统遭到了破坏。
§2-7 角动量 角动量守恒定律
一、角动量 开普勒第二定律指出：
由太阳到行星的矢径，在相等的时间内扫过
相等的面积。 矢径: 太阳到行星的连线，1 近日点: S1 v1tr1 S 2 v2 tr2 r1 2 2 v1 1 1 S1 远日点: S 2 v2 tr2 v1tr1 2 2 1 1 S1 v1tr1 S 2 v2 tr2 2 2
诺特尔 (1883～1935)定理
对称性 —— 守恒量 —— 守恒定律
严格的对称性——严格的守恒定律 近似的对称性——近似的守恒定律
对应
对应
1. 空间对称性 如果物体上每一部分相对于任意一个假想的点、 一条假想的线、一个假想的面而和它另一部分相符 合的话，就可以说这个物体是对称的。或者说一切 物体只要它们是由任意个相同的部分构成的，就都 叫做是对称的。
不完整的对称性
现实世界中,并不是所有的事物都具有非常完美的对称性。
所有的物理定律都是对称的吗？ 弱相互作用中宇称不守恒。 行星轨道是完美的圆形吗？ 行星轨道是椭圆，不是完美的圆形，只是接近圆形。 人体是左右对称的吗? 心脏通常靠近左侧。 对称性能够稳定存在吗？
自然界存在对称性破缺的现象。
对称性从何而来？为什么自然界近于对称？ 传说 没有人能够回答
轨道形状
角动量守恒
近地点加速
实现变轨
mv近r近 mv远r 远
v近 > v远
r
远
r近
卫星的变轨
v3
v4
v1
v2
航天器的动力
a
F
利用地球磁场
离子发动机
采用“太阳帆”
利用万有引力 行星和探测器相对于太阳的
速度分别为u0,v0，经引力助推后
探测器相对于太阳的速度增大为
2u0+v0
v u u0 v0
牛顿定律具有时间反演对称性
例：时间平移对称性——能量守恒定律
如果物理定律不具有时间平 移对称性
设重力势能 E p mgh 随时 间变化
例如：白天 g 大，晚上 g 小，则可晚上抽水贮存于h 高度处，白天利用水的落差作功，可获得能量赢余.
(3) 空间反演对称性
左右对称与平移、旋转不同：（例如手套、鞋）
2. 时间对称性
“周期”、“节奏”、“季节”等，这类出现在我 们面前的重复现象，其实就是时间的对称。
生活中的事件总是以不同的节奏循环往复地交替着 人类又何尝不是按一定“节奏”世代交迭着。
年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。
3. 物理学与对称性 对称性与物理学之间有什么关系呢？这里包含 两层含义： (1)物理理论自身追求一种对称，并将其作为物理 学美学三大标准(简单、对称、和谐)的主要内容 之一。 形象对称、抽象对称、数学对称三类 (2)物理规律的内容是自然界对称性的反映，“对称 性”是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本 规律。
v2 r2
v1r1 v2 r2
mv1r1 mv2 r 2
等式两边同乘m
L1 L2
角动量的定义
如果一个质点在某一位置的动量为p，从某一固
定点到该位置的位矢为r， p与r之间的夹角为θ，那
么质点对此固定点的角动量L可以表示为：
L r p r mv
角动量的大小： L L prsin mvrsin 角动量的方向： 右手螺旋法则
“优胜劣汰”的自然选择过程，使得对称性固化在基因中，保存了下来。
力矩的大小：
M M rFsin
力矩的方向：
右手螺旋法则
动画
三、角动量守恒应用
一演员在台北101大厦(500m高)前表演
四、宇宙速度与轨道形状 从地球表面发射飞行器，飞行器环绕地球、脱离 地球和飞出太阳系所需要的最小速度，分别称为第一、 第二、第三宇宙速度。 第一宇宙速度：在地面上发射一航天器，使它能 绕地球的圆轨道运行所需的最小速度。 v1 = 7.9 km/s 第二宇宙速度：脱离地球的引力范围所需的最小 发射速度。 v2 = 11.2 km/s 第三宇宙速度：不但脱离地球引力范围还要脱离 太阳引力范围所需的最小发射速度。 v3 = 16.7 km/s
即
mvr sin mv1r1 mv2 r 2
L L1 L2
二、角动量守恒定律 如果物体在运动过程中，受到外力相对于固定
点（或固定轴）的力矩为零，则物体相对该固定点
（或固定轴）的角动量守恒。
L r p r mv 力矩定义： M r F
人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由 万有引力提供，即：
Mm v2 GM G 2 m v r r r
地球半径R=6400km，地球质量为约60万亿亿吨， 代入上式可得卫星的最大运行速度为：
v GM r 6.67 1011 6.00 1024 7.9km / s 6 6.4 10
物理定律不因地而异 1) 物理定律的旋转对称性——空间各向同性
空间各方向对物理定律等价，没有哪一个方向具有特别优越 的地位。实验仪器方位旋转，实验结果不变。
2) 物理定律的平移对称性——空间均匀性
空间各位置对物理定律等价，没有哪一个位置具有特别优越 的地位。物理实验可以在不同地点重复，得出的规律不变。
r
L
p
行星运动到近日点与远日点时，行星的动量
与矢径均垂直 v2 r1 v1 即 因此有： r2
90
L1 mv1r1 L2 mv 2 r 2
设行星运动到Ａ点时，行星的速度为v，动量 与矢径的夹角为θ r1 v r
θ
Ａ
v2
r2
v1 则在△t时间内，矢径扫过的面积为： 1 S vtr sin 2 由 S S1 S 2 vr sin v1r1 v2 r 2
例：某人造卫星沿一椭圆轨道绕地球运动，其近地 点离地面的高度 h1 300 千米，远地点离地面的高 度 h 1400 千米。试求卫星在近地点和远地点时的
2
运动速度 V1 和 V2。（设地球半径 R 6370 千米） e
五、对称性与守恒定律
镜里朱颜都变尽，只有丹心难灭。
物理学中存在着许多守恒定律,如能量守恒、动量守 恒、角动量守恒、电荷守恒、奇异数守恒、重子数守 恒、同位旋守恒……这些守恒定律的存在并不是偶然 的，它们是自然规律具有各种对称性的结果。
E p mg h mgh 0
则永动机可以制造成功，违反能量守恒定律
物理规律的对称性 F外 0 p 0
空间平移对称性 空间旋转对称性
M外 0
L 0
dA外 dA非保内 0
E = 0
时间平移对称性
物理规律(自然定律)不因人（参考系）而异， 参考系变换应该是物理定律的对称操作.
3) 物理定律的空间反射对称性
如果在镜象世界里的物理现象不违反已知的物理规律，则支 配该过程的物理规律具有空间反射对称性。
物理定律不因时而异 1) 物理定律的时间平移对称性
物理定律不随时间变化即为物理定律具有时间平移对称性， 物理实验可以在不同时间重复，其遵循的规律不变。
2) 物理定律的时间反演对称性（t - t 的操作）
对称意味着“有序”，意味着某种“重复”的东西 存在
(1) 空间旋转对称
o
o
o
对绕 O 轴旋 转任意角的操 作对称
对绕 O 轴旋 转 2 整数倍 的操作对称
对绕 O 轴旋 转 /2 整数倍 的操作对称
(2) 空间平移对称
一无限长直线：对沿直线移动任意步长的平移操作对称。 一无限大平面：对沿面内任何方向、移动任意步长的平 移操作对称。 平面网格： 对沿面内某些特定方向、移动特定步长的 平移操作对称。
人类故意在对称的建筑中留下小小的错误
上帝就不会嫉妒人类的完美了· · · · · ·
上帝故意让物理定律只是接近完美 人类就不会嫉妒上帝的完美了· · · · · · 有对称，就有不对称， 如果把不对称看成是对称的镜像反射，
那么对称性就在更高的层次上保存了下来。
对称的结构更适合于
飞翔
奔跑
游泳
对称的结构更利于生存
在自然情况下，雄燕的尾羽长度比雌燕长出大约20％。尾巴最长 的雄燕比其他雄燕能吸引更多雌燕。它们的长尾羽也比短尾燕的尾羽 更对称。动物学家安德斯· 穆勒提出这样的设想：把尾长和对称性分开， 看它们是否会独立影响雌性动物的选择。 结果证明雌燕同时既在乎大 小又在乎对称性：尾巴长但不对称的雄燕，不如尾巴长而对称的雄燕 受欢迎。 动物学家爱斯坦· 马库森和爱沃· 弗斯泰德发现处于发情期的驯鹿， 个头儿最大的鹿，鹿角也最对称。马库森和弗斯泰德还提出鹿角的状 况清楚地告诉我们驯鹿体内寄生虫的情况。 鹿角明显不对称说明该动 物的免疫系统遭到了破坏。
§2-7 角动量 角动量守恒定律
一、角动量 开普勒第二定律指出：
由太阳到行星的矢径，在相等的时间内扫过
相等的面积。 矢径: 太阳到行星的连线，1 近日点: S1 v1tr1 S 2 v2 tr2 r1 2 2 v1 1 1 S1 远日点: S 2 v2 tr2 v1tr1 2 2 1 1 S1 v1tr1 S 2 v2 tr2 2 2
诺特尔 (1883～1935)定理
对称性 —— 守恒量 —— 守恒定律
严格的对称性——严格的守恒定律 近似的对称性——近似的守恒定律
对应
对应
1. 空间对称性 如果物体上每一部分相对于任意一个假想的点、 一条假想的线、一个假想的面而和它另一部分相符 合的话，就可以说这个物体是对称的。或者说一切 物体只要它们是由任意个相同的部分构成的，就都 叫做是对称的。
不完整的对称性
现实世界中,并不是所有的事物都具有非常完美的对称性。
所有的物理定律都是对称的吗？ 弱相互作用中宇称不守恒。 行星轨道是完美的圆形吗？ 行星轨道是椭圆，不是完美的圆形，只是接近圆形。 人体是左右对称的吗? 心脏通常靠近左侧。 对称性能够稳定存在吗？
自然界存在对称性破缺的现象。
对称性从何而来？为什么自然界近于对称？ 传说 没有人能够回答
轨道形状
角动量守恒
近地点加速
实现变轨
mv近r近 mv远r 远
v近 > v远
r
远
r近
卫星的变轨
v3
v4
v1
v2
航天器的动力
a
F
利用地球磁场
离子发动机
采用“太阳帆”
利用万有引力 行星和探测器相对于太阳的
速度分别为u0,v0，经引力助推后
探测器相对于太阳的速度增大为
2u0+v0
v u u0 v0