【数学】山西省应县第一中学校2019-2020学年高二上学期月考(理)

山西省应县第一中学校2019-2020学年高二上学期月考（理）
时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（12*5=60分）
1．若直线x ＝2的倾斜角为α，则α为( )
A ．0 B.π4 C.π
2
D ．不存在
2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( )
A.3x －y ＋1＝0
B.3x －y －3＝0
C.3x ＋y －3＝0
D.3x ＋y ＋3＝0
3．对空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( )
A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →
B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →
C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →
D ．以上都不对
4．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋y 2＝1
B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1
C ．x 2＋(y －1)2＝1
D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
5．若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－4
3
C ．2
D ．3
6．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A ．3 2
B ．2 2
C ．3 3
D ．4 2
7．在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值等于( )
A.
105 B.155 C.45 D.23
8．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－6，－2)
B ．(－5，－3)
C ．(－∞，－6)
D ．(－2，＋∞)
9．正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝AB ＝2，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为( )
A ．
36 B ．66 C ．33 D ．63
10．若a 2＋b 2＝2c 2(c≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )
A.12 B ．1 C.2
2
D. 2 11.在等腰直角三角形ABC 中，|AB|＝|AC|＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 的长度为( )
A ．2
B ．1 C.83
D.43
12．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P(x 0，y 0)在直线l ：3x ＋2y －4＝0上，若在圆C 上总存在两个不同的点A ，B ，使OA ―→＋OB ―→＝OP ―→
，则x 0的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，2413
B.⎝⎛⎭⎫－24
13，0 C.⎝⎛⎭⎫0，1324 D.⎝⎛⎭
⎫0，1312 二．填空题.
13.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x= .
14.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则动点P 的轨迹方程是 . 15.已知直线l ：y ＝k(x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则 k ＝ .
16．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________． 三．解答题
17．已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．
(1)求直线l 的方程；
(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．
18．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．
19.已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.
(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；
(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
20．如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，BC ＝2AD ，四边形ABEF 是矩形．将矩形ABEF 沿AB 折起到四边形ABE 1F 1的位置，使平面ABE 1F 1⊥平面ABCD ，M 为AF 1的中点，如图
2.
(1)求证：BE 1⊥DC ； (2)求证：DM ∥平面BCE 1；
21.
如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB//EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知AB=2，EF=1． （1）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；
（2）当AD 的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？
DFC
FCB
22．已知点G(5,4)，圆C1：(x－1)2＋(y－4)2＝25，过点G的动直线l与圆C1相交于E，F 两点，线段EF的中点为C，且C在圆C2上．
(1)若直线mx＋ny－1＝0(mn>0)经过点G，求mn的最大值；
(2)求圆C2的方程；
(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M.
l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，求证：|AM|·|AN|为定值．
参考答案
一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D
B
B
D
A
B
A
C
D
D
A
二．填空题.
13．-8 14. (x-1)2+y 2=2 15. 3或0 16. ⎣
⎡⎦
⎤
2－
22，2＋
22 三．解答题
17．解 (1)联立两直线方程⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋4y －2＝0，
2x ＋y ＋2＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．
∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 1＝1
2，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直
线的斜率k ＝－1
12
＝－2，
∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．
(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)， 令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)， 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S ＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．
18．解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)，
则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.
化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.
∴C(1，－2)，半径r ＝|AC|＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.
(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2
＝1， 解得k ＝－3
4
，
∴直线l 的方程为y ＝－3
4x ，即3x ＋4y ＝0.
综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0. 19.解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11，
圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，
两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，
∴|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2，∴圆C 1和C 2相交．
(2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离 d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，
故公共弦长为216－9＝27.
20．解：(1)证明：因为四边形ABE 1F 1为矩形，所以BE 1⊥AB.
因为平面ABCD ⊥平面ABE 1F 1，且平面ABCD∩平面ABE 1F 1＝AB ，BE 1⊂平面ABE 1F 1， 所以BE 1⊥平面ABCD.
因为DC ⊂平面ABCD ，所以BE 1⊥DC. (2)证明：因为四边形ABE 1F 1为矩形， 所以AM ∥BE 1.
因为AM ⊄平面BCE 1，BE 1⊂平面BCE 1， 所以AM ∥平面BCE 1.
因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BCE 1，BC ⊂平面BCE 1， 所以AD ∥平面BCE 1. 又AD∩AM ＝A ，
所以平面ADM ∥平面BCE 1. 因为DM ⊂平面ADM ， 所以DM ∥平面BCE 1. 21.
解（Ⅰ）∵平面平面，平面平面，
∴平面， ∵平面， ∴，
又∵为圆的直径， ∴， ∴平面， ∵平面，
∴平面平面 ………5分 （Ⅱ）
设中点为，以为坐标原点， 方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）．
设，则点的坐标为，则， 又， ∴，
设平面的法向量为，则
，即， 令，解得．∴．
由（1）可知平面，取平面的一个法向量为，
∴，即，解得， 因此，当的长为
时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°. 22．解：(1)∵点G(5,4)在直线
mx ＋ny －1＝0上，∴5m ＋4n ＝1,5m ＋4n≥220mn(当且仅当
ABCD ⊥,ABEF CB AB ⊥ABCD ⋂ABEF AB =CB ⊥ABEF AF ⊂ABEF AF CB ⊥AB O AF BF ⊥AF ⊥CBF AF ⊂ADF DAF ⊥CBF EF G O OA OG AD 、、x y z (0)AD t t =>D ()1,0,t ()1,0,C t -()()131,0,0,1,0,0,,,022A B F ⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
DCF ()1,,n x y z =20
{
3
02
x y tz =-+=3z =
0,2x y t ==()
10,2,3n t =AF ⊥CFB CBF 213,,022n AF ⎛⎫
==- ⎪ ⎪⎝⎭12
12
·cos60n n n n =231
243
t t =
+6
4
t =
AD 6
4
DFC FCB
5m ＝4n 时取等号)，
∴1≥80mn ，即mn≤180，∴(mn)max ＝1
80.
(2)由已知得圆 C 1的圆心为(1,4)，半径为5，
设C(x ，y)，则C 1C ―→＝(x －1，y －4)，CG ―→
＝(5－x,4－y)， 由题设知C 1C ―→·CG ―→
＝0，
∴(x －1)(5－x)＋(y －4)(4－y)＝0， 即(x －3)2＋(y －4)2＝4，
∴C 2的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝4.
(3)证明：当直线l 1的斜率不存在时，直线l 1与圆C 2相切，当直线l 1的斜率为0时，直线l 1与圆C 2相离，故设直线l 1的方程为kx －y －k ＝0(k≠0)．
由直线l 1与圆C 2相交，得|3k －4－k|k 2＋1
<2，解得k>34.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，
又直线C 2M 与l 1垂直， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝
kx －k ，y －4＝－1
k －得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2
＋2k 1＋k 2，
∴|AM|·|AN|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2
＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2
＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝⎛⎭⎫－3k 2k ＋12＝
2|2k ＋1|1＋k 2·1＋k 2·31＋k 2
|2k ＋1|
＝6(定值)．。