高中数学人教A版选修2-12.2.2椭圆的简单几何性质.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2.2.2椭圆的简单几何性质
一、选择题
1.椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A ．5,3，45
B ．10,6，45
C ．5,3，35
D ．10,6，35
2.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B ．x 225＋y 216＝1
C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对
3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的短轴长与椭圆 y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )
A ．a 2＝25，b 2＝16
B ．a 2＝9，b 2＝25
C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25
D ．a 2＝25，b 2＝9
4.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程
为( )
A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1
5.过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.22B ．33C ．12 D ．13
6.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0，12]
C ．(0，22)
D ．[22
，1) 二、填空题
7.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________．
8.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 2
3＝1的外部，则a 的取值范围为________.
9.椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________
10.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的
标准方程为________．
三、解答题
11.椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
12.已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1(－
c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是椭圆的两个顶点．若F 1到直线AB 的距离为
b 7，求椭圆的离心率．
1.【解析】选
B
2.【解析】选C.2a ＋2b ＝18，a ＋b ＝9，2c ＝6，c ＝
3.c 2＝a 2－b 2＝9，a －b ＝1，a ＝5，b ＝4，故x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.故选C .
3.【解析】选D. 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．
4.【解析】选A.因为c a ＝6
3，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1,故选A.
5.【解析】选B.把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2
a
， ∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 2|＝2b 2a ，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2
a ＝2a ，即3
b 2＝2a 2.
又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33，故选B.
6.【解析】选C.依题意得，c <b ，即c 2<b 2，
∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22，故选C.
7.【解析】依题意，△BF 1F 2是正三角形，
∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，
∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12
答案:12
8.【解析】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233
答案:(233，＋∞)∪(－∞，－233) 9.【解析】当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m
＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163．
答案:3或163.
10.【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，
解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝4 2. 由于焦点位置不确定，方程有两种形式．
x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝1
答案:x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝1
11.【解析】设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．① 又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2
b 2＝1．②
把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，
∵x ≠a ，x ≠0，∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2． 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22．
又∵0<e <1，∴22<e <1．．
12.【解析】依题意，直线AB 的方程为x －a
＋y b ＝1， 即bx －ay ＋ab ＝0.
所以焦点F 1到AB 的距离d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2
， 所以b |a －c |a 2＋b 2＝77
b . 两边平方，整理得8
c 2－14ac ＋5a 2＝0.
两边同除以a 2，得8e 2－14e ＋5＝0，
所以e ＝12或e ＝54(舍去)．因此离心率为12。