阳明区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

阳明区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 函数
是（
）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
2． 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（
）
A ．5
B ．4
C ．4
D ．2
3． 已知实数x ，y 满足约束条件，若y ≥kx ﹣3恒成立，则实数k 的数值范围是（ ）
A ．[﹣
，0]B ．[0
，
]C ．（﹣∞，0]∪[
，+∞）D ．（﹣∞，﹣
]∪[0，+∞）4． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则
+
+…
+
=（
）
A ．
B ．
C ．
D
．
5． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ）
A ．（0，e ﹣2）
B ．（e ﹣2，+∞）
C ．（﹣∞，e ﹣2）
D ．（e ﹣2，+∞）
6． 已知偶函数f （x ）=log a |x ﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f （a+1）与f （b+2）的大小关系是（ ）
A ．f （a+1）≥f （b+2）
B ．f （a+1）＞f （b+2）
C ．f （a+1）≤f （b+2）
D ．f （a+1）＜f （b+2）
7． 设命题p ：函数
的定义域为R ；命题q ：3x ﹣9x ＜a 对一切的实数x 恒成立，如果
命题“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜2
B ．a ≤2
C ．a ≥2
D ．a ＞2
8． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ）
A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
9． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin 2，则该数列的前10项和为（
）
A ．89
B ．76
C ．77
D ．35
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
10．已知二次曲线+=1，则当m∈[﹣2，﹣1]时，该曲线的离心率e的取值范围是（）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3
A．πB．2πC．3πD．4π
12．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a=（）
A．B．2C．或2D．2
二、填空题
13．已知（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n= ．
14．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是.（注：结果请用数字作答）
【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.
15．log3+lg25+lg4﹣7﹣（﹣9.8）0= ．
16．设p：实数x满足不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足不等式x2﹣x﹣6≤0，已知￢p是￢q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ．
17．如图：直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B﹣APQC 的体积为 ．
18．设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是 ．
三、解答题
19．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线2
2:14
x C y +=,A B P ,A B ,AP BP 与直线分别交于点，
:2l y =-,M N （1）设直线的斜率分别为，求证：为定值；,AP BP 12,k k 12k k ⋅（2）求线段的长的最小值；
MN （3）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
P MN
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.
20．已知函数f （x ）=2cosx （sinx+cosx ）﹣1（Ⅰ）求f （x ）在区间[0，
]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f （B ）=1，a+c=2，求b 的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；
（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．　
22．对于任意的n ∈N *，记集合E n ={1，2，3，…，n}，P n =
．若集合A 满足下
列条件：①A ⊆P n ；②∀x 1，x 2∈A ，且x 1≠x 2，不存在k ∈N *，使x 1+x 2=k 2，则称A 具有性质Ω．
如当n=2时，E 2={1，2}，P 2=．∀x 1，x 2∈P 2，且x 1≠x 2，不存在k ∈N *，使x 1+x 2=k 2，所
以P 2具有性质Ω．
（Ⅰ）写出集合P 3，P 5中的元素个数，并判断P 3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使E 15=A ∪B ．（Ⅲ）若存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使P n =A ∪B ，求n 的最大值．
23．2()sin 2f x x x =+
.（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(12
A f =，ABC ∆的面积为.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数，．
()f x x a =-()a R ∈（Ⅰ）若当时，恒成立，求实数的取值；04x ≤≤()2f x ≤a （Ⅱ）当时，求证：．
03a ≤≤()()()()f x a f x a f ax af x ++-≥-
阳明区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos（2x+）=﹣sin2x．
所以函数的周期为：=π．
因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．
故选B．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
2．【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，
则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），
∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，
∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，
PE取最小值，
此时，P（2，2，4），E（4，2，0），
∴|PE|min==2．
故选：D．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
3．【答案】A
【解析】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得B（3，﹣3）．
联立，解得A（）．
由题意得：，解得：．
∴实数k的数值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
4．【答案】D
【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，可得x＞e﹣2，
∴函数f（x）的单调增区间是（e﹣2，+∞）
故选B．
【解析】解：∵y=log a|x﹣b|是偶函数
∴log a|x﹣b|=log a|﹣x﹣b|
∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|
∴x2﹣2bx+b2=x2+2bx+b2
整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0
由此函数变为y=log a|x|
当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，
又偶函数y=log a|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增
故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1
综上得0＜a＜1，b=0
∴a+1＜b+2，而函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减
∴f（a+1）＞f（b+2）
故选B．
7．【答案】B
【解析】解：若函数的定义域为R，
故恒成立，
故，
解得：a＞2，
故命题p：a＞2，
若3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，
则t﹣t2＜a对一切的正实数t恒成立，
故a＞，
故命题q：a＞，
若命题“p且q”为真命题，则a＞2，
故命题“p且q”为假命题时，a≤2，
故选：B
8．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin2=a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故选：C．
10．【答案】C
【解析】解：由当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线，
双曲线+=1即为﹣=1，
且a2=4，b2=﹣m，则c2=4﹣m，
即有，
故选C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，
∴此几何体的体积==2π．
故选：B．
12．【答案】C
【解析】解：∵b=，c=3，B=30°，
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：3=9+a2﹣3，整理可得：a2﹣3a+6=0，
∴解得：a=或2．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】　5　．
【解析】二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利用（x）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．
【解答】解：设（x）n（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n﹣r x﹣3r=x n﹣4r，2≤n≤8，
当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；
当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；
当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；
当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；
当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
综上所述，n=5时，满足题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．14．【答案】48
【解析】
15．【答案】 ．
【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=，
故选：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵x 2﹣4ax+3a 2＜0（a ＜0），∴（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0，则3a ＜x ＜a ，（a ＜0），由x 2﹣x ﹣6≤0得﹣2≤x ≤3，∵￢p 是￢q 的必要非充分条件，∴q 是p 的必要非充分条件，即，即
≤a ＜0，
故答案为：　
17．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B ﹣APQC 的体积，底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，B 到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B ﹣APQC 的底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，不妨把P 移到A ′，Q 移到C ，所求四棱锥B ﹣APQC 的体积，转化为三棱锥A ′﹣ABC 体积，就是：故答案为：
18．【答案】 ．
【解析】解：∵f （x ）=cos 2x+sinx=1﹣sin 2x+sinx=﹣
+，
故当sinx=时，函数f （x ）取得最大值为，故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）易知，设，则由题设可知 ，
()()0,1,0,1A B -()00,P x y 00x ≠ 直线AP 的斜率，BP 的斜率，又点P 在椭圆上，所以∴0101y k x -=
020
1
y k x +=，，从而有.（4分）
20014x y +=()00x ≠2
00012200011114
y y y k k x x x -+-⋅===-
20．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1 =sin2x+2×﹣1
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴当2x+=，即x=时，f（x）min=…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=sin（+）=1，
∴sin（+）=，
∴+=，
∴B=，
由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），
则即=，
∴M=．
又det（M）=﹣3，
∴M﹣1=；
（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），
则=M﹣1=，
即，
∴代入4x+y﹣1=0，得，
即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．
【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．
∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，
∵集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，
∴P 3不具有性质Ω．…..
证明：（Ⅱ）假设存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使E 15=A ∪B ．其中E 15={1，2，3，…，15}．因为1∈E 15，所以1∈A ∪B ，
不妨设1∈A ．因为1+3=22，所以3∉A ，3∈B ．
同理6∈A ，10∈B ，15∈A ．因为1+15=42，这与A 具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使E 15=A ∪B ．…..
解：（Ⅲ）因为当n ≥15时，E 15⊆P n ，由（Ⅱ）知，不存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使P n =A ∪B ．若n=14，当b=1时，
，
取A 1={1，2，4，6，9，11，13}，B 1={3，5，7，8，10，12，14}，则A 1，B 1具有性质Ω，且A 1∩B 1=∅，使E 14=A 1∪B 1．
当b=4时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，
令
，
，
则A 2，B 2具有性质Ω，且A 2∩B 2=∅，使．
当b=9时，集
中除整数外，其余的数组成集合
，
令
，
．
则A 3，B 3具有性质Ω，且A 3∩B 3=∅，使
．
集合
中的数均为无理数，
它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A 1∪A 2∪A 3∪C ，B=B 1∪B 2∪B 3，则A ∩B=∅，且P 14=A ∪B ．综上，所求n 的最大值为14．…..
【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．　
23．【答案】（1）（）；（2）.5,3
6k k π
πππ⎡⎤
++
⎢⎥⎣
⎦
k ∈Z 【解析】
试题分析：（1）根据可求得函数()f x 的单调递减区间；（2）由32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤+
12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
可得，再由三角形面积公式可得，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1
3
A π
=
12bc =
试题解析:（1）111()cos 22sin(2)2262
f x x x x π=
-=-+，
令3222262k x k π
π
πππ+
≤-
≤+
，解得536
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，
∴()f x 的单调递减区间为5[,36
k k ππ
ππ++（k Z ∈）.
考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．24．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）得，()2x a f x -=≤22a x a -≤≤+由题意得，故，所以 …… 5分
20
42a a -≤⎧⎨
≤+⎩
22a ≤≤2a =（Ⅱ），，，
Q 03a ≤≤∴112a -≤-≤∴12a -≤()()2f ax af x ax a a x a ax a ax a -=---=---()()2212ax a ax a a a a a a ≤---=-=-≤，
Q ()()()2222f x a f x a x a x x a x a a -++=-+≥--==．…… 10分
∴()()()(f x a f x a f ax af x -++≥-。