人教A版新教材高中数学第二册课时作业13：6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例

6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( ) A ．10 km B ． 3 km C ．10 5 km
D ．107 km
2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A ．γ，c ，α
B ．b ，c ，α
C ．c ，α，β
D ．b ，α，γ
3．如图，从气球A 测得济南全运会东荷、西柳两场馆B ，C 的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h (A ，B ，C 在同一铅垂面内)，则两个场馆B ，C 间的距离为( )
A ．h sin αsin β
sin (α－β)
B ．h sin (β－α)sin αsin β
C ．h sin α
sin βsin (α－β)
D ．h sin β
sin αsin (α－β)
4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( ) A ．5 n mlie B ．5 3 n mlie C ．10 n mlie
D ．10 3 n mlie
5．(多选)某人向正东方向走了x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他恰好离出发地 3 km ，那么x 的值为( ) A ．3
B ．2
C．23D．5
二、填空题
6．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是_________km.
7．一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝_______cm.
8．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长__________m. 三、解答题
9．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝
6 000 m.∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)
10．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A 、B 两船的距离为( ) A ．2 3 km B ．3 2 km C ．15km
D ．13 km
2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( ) A ．176
2 n mile/h
B ．34 6 n mile/h
C ．1722
n mile/h
D ．34 2 n mile/h
3．如图，飞机的航线和山顶C 在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员到达A 点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后到达B 点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )
A ．11.4 km
B ．6.6 km
C ．6.5 km
D ．5.6 km
4．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( )
A ．500 2 m
B ．200 m
C ．1 000 2 m
D ．1 000 m
二、填空题
5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站107 n mile，20 min 后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过_________min，海盗船到达商船.
6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝__________ m .
三、解答题
7．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinα的值.
8．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6 km的速度步行了1 min以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.
(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)
——★ 参*考*答*案 ★——
A 组·素养自测
一、选择题 1．『『答 案』』D
『『解 析』』在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－1
2)＝700，
∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107 km. 2．『『答 案』』D
『『解 析』』本题中a 、c 、β这三个量不易直接测量，故选D ． 3．『『答 案』』B
『『解 析』』在Rt △ADC 中，AC ＝h sin β，在△ABC 中，由正弦定理，
得BC ＝AC sin (β－α)sin α＝h sin (β－α)
sin αsin β.
4．『『答 案』』C
『『解 析』』如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，
∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是5
0.5
＝10(n mlie/h).
5．『『答 案』』AC
『『解 析』』本题考查余弦定理的应用.由题意得(3)2＝32＋x 2－2×3x cos30°，解得x ＝3或23，故选AC ． 二、填空题 6．『『答 案』』 6
『『解 析』』如图所示，由题意易知C ＝45°，
由正弦定理得AC sin60°＝2sin45°，从而AC ＝222·32
＝6(km).
7．『『答 案』』106
3
『『解 析』』如图，
由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°， 由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin ∠B
，
∴x ＝10sin ∠ACB sin ∠B ＝10×sin45°sin60°＝1063.
8．『『答 案』』50(6－2)
『『解 析』』如图，BD ＝100，∠BDA ＝45°，∠BCA ＝30°， 设CD ＝x ，所以(x ＋DA )·tan 30°＝DA ·tan 45°， 又DA ＝BD ·cos 45°＝100×
2
2
＝502， 所以x ＝DA ·tan 45°
tan 30°－DA ＝502×13
3
－502＝50(6－2)m.
三、解答题
9．解：在△ACD 中，∠CAD ＝60°， AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63
CD .
在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝2
2CD ，
∠ADB ＝90°.
在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝42
6
CD ＝1 00042(m).
10．解：设建筑物的高度为h ，
由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝23
3
h ，
∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 2
2×60×2h ，①
cos ∠PBC ＝602＋2h 2－4
3
h 2
2×60×2h
.②
∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0．③
由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.
B 组·素养提升
一、选择题 1．『『答 案』』D
『『解 析』』如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，
AC ＝2，BC ＝3，
∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC 、BC 、cos150°＝13， ∴AB ＝13. 2．『『答 案』』A
『『解 析』』如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MN
sin120°
，
∴MN ＝68×
322
2＝346，∴v ＝MN 4＝176
2(n mile/h).
3．『『答 案』』B
『『解 析』』本题考查正弦定理的实际应用. ∵AB ＝1 000×160＝50
3(km)，
∴BC ＝AB sin45°·sin30°＝50
32
(km).
∴航线离山顶的距离为5032×sin75°＝50
32×sin(45°＋30°)≈11.4(km).
∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km).故选B ． 4．『『答 案』』D
『『解 析』』∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，
∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°
sin30°＝1 000×
2
21
2
＝1 0002，
∴BC ＝AB ·sin45°＝1 0002×2
2
＝1 000(m). 二、填空题 5．『『答 案』』403
『『解 析』』如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20 min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得
cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝1
2.
∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°，
∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝40
3(min).
6．『『答 案』』150 『『解 析』』如图，
在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，∴AC ＝100 2. 在△AMC 中，∠CAM ＝75°，∠ACM ＝60°， ∴∠AMC ＝45°.
由正弦定理知AM sin60°＝1002
sin45°，∴AM ＝100 3.
在Rt △AMN 中，∠NAM ＝60°， ∴MN ＝AM ·sin60°＝1003×3
2
＝150(m). 三、解答题
7．解：(1)依题意可得，在△ABC 中，∠BAC ＝180°－60°＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.
由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784．解得BC ＝28． 所以渔船甲的速度为BC
2
＝14 n mile/h.
(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin120°.
即sin α＝AB sin120°
BC ＝12×
3228＝3314
.
8．解：(1)依据题意知，在△DBC 中，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°， CD ＝6 000×1
60＝100(m)，
∠BDC ＝45°－30°＝15°，
由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠BDC
，
高中数学人教A 版(新教材)第二册(必修2)
11 ∴BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠DBC ＝100×sin15°sin135°＝100×6－2422
＝50(6－2)2
＝50(3－1)(m)， 在Rt △ABE 中，tan α＝AB BE
， ∵AB 为定长，当BE 的长最小时，α取最大值60°，
这时BE ⊥CD ，当BE ⊥CD 时，
在Rt △BEC 中，EC ＝BC ·cos ∠BCE ＝50(3－1)·32
＝25(3－3)(m)， 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min ，
则t ＝EC 6 000×60＝25(3－3)6 000×60＝3－34
(min). (2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE ⊥CD ，在Rt △BEC 中，BE ＝BC ·sin ∠BCD ， 所以AB ＝BE ·tan60°＝BC ·sin ∠BCD ·tan60°＝50(3－1)×12
×3＝25(3－3)(m)， 即所求塔高为25(3－3)m.。