第八章期权定价的数值方法PPT课件

（二）证券价格的树型结构
4.证券价格的树型结构
（三）倒推定价法
5. 倒推定价法
二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例
6.一般定价过程
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无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头
当 Su u Sd fd 则组合为无风险组合 此时 fu fd
表示结点 (i, j) 处的证券价格可得： fN，j max(X Su jd N j ,0)
，
其中j 0,1,L L , N
t 假定期权不被提前执行，
后，则：fij ert[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ]
fij (0 i N ,0 j i)
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Su dj i j , j 0,1, , i
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1,L L ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格为：
1 p 。
Su p
S
相应地，期权价值也会有所不同，分
别为 fu 和 fd 。
1-p
Sd 图8.1 t 时间内资产价格的变动
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二叉树模型实际上是 在用大量离散的小幅 度二值运动来模拟连 续的资产价格运动
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二叉树模型可分为以下几种方法：
（一）单步二叉树模型
1.无套利定价法
2.风险中性定价法
3.风险中性定价法
熟悉 熟悉 了解 熟悉
熟悉 熟悉 了解 了解
熟悉
熟悉
了解
了解
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把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，
并假t设在每一个时间间隔 内证券t
价格只有两种运动的可能：
1、从开始的 S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；
2、下降到原先的 d 倍，即 Sd 。
其中 u 1 . d 1 如图8.1所示。价格上升的概率假设为p ，下降的概率假设为
再设定： u 1 用的条件） d
（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和Rubinstein所
t 由以上三式可 t
d e t
从而 f ert pfu 1 p fd
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。 6
Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S f Su fu ert
将 fu fd 代入上式就可得到：
Su Sd
f ert pfu 1 p fd
其中
p e rt d ud
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在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,
参数值满足条件：
Sert pSu (1 p)Sd e rt pu (1 p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则： S 2 2t pS 2u 2 (1 p)S 2d 2 S 2[ pu (1 p)d]2
2 t pu 2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
r q 因此：
e (rq)t pu (1 p)d
e (r q)t d p
ud
u e t d e t
q 对于股价指数期权来说， 为股票组合的红利收益率； q 对于外汇期来说， 为国外无风险利率，
因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。
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支付已知红利率资产的期权定价
（表示在时间 it 时第j个结点处的美式看跌期权的价值）
若有提前执行的可能性，则：fij max{X Su jdi j ,ert[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ]}
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q 当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，
Su4 Su3
Su2
Su2
Su
Su
S
S
S
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
Sd4
一般而言，在 it 时刻，证券价格有 i 1 种可能，它们可用符号表示为：Su j d i j 其中
j 0,1,L L ,i
注意：由于
u 1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
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得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
如果是欧式期权，可通过将 T 时刻的期权价值的预期值在t 时间长
度内以无风险利率r 贴现求出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提 前执行期权和继续再持有 t 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较 大者作为本结点的期权价值。
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假设把该期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用Su j d i j
当 it 时（表示红利）
S (1 i )u j d i j
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
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已知红利额 将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红
利的现值。
假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在到之间，则在时刻不确定部分的价值为：
S*(it) S(it) 当 it 时 S* (it) S (it) Der( it)
8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4
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