1.3关联结构思想

关联结构思想
一．研究背景：
上世纪前、中期，包括数学在内的人类各个知识领域席卷结构主义思潮，硕果累累。

其基本观点是：任何事物都是多要素结合而成的整体，其要素的结合方式称为该事物的结构；事物的性质与功能，虽与其组成要素有关，但其结构特征的影响更大；组成要素不同、结构相同（即同构）的两个事物完全可能有相同的性质与功能；各类事物的结构及其演变不是乱七八糟而是相关有序的，可进行分类、分层、演变史研究，发现共性、发现演变规律。

结构主义教育学大师布鲁纳提出：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。

这是在运用知识方面的最低要求，这样才有助于学生解决在课堂外所遇到的问题和事件，或者日后课堂训练中所遇到的问题”，而各科的知识结构由其基本概念、基本原理联接而成。

北师大版初中数学新课标指出：“数学知识具有一定的结构，这种结构形成了数学知识所特有的逻辑序”，“所有的数学知识只有通过学生自身的‘再创造’活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为有效的和用得上的知识”。

北师大章建跃教授指出“只有当学生获得了结构化的知识时，才能对知识形成深刻的、真正的理解”。

实践证明，几乎所有的几何证明与计算都必须从结构出发，寻找结构中与结论相关联的有用的信息，再进行观察、比较与分析，从而找到方法，为解决几何问题提供了更为简便的思路。

在几何题中仅仅只看结构是不够的，最重要的是要看相关联的结构，才能快速找到解题思路。

二．具体实例分析：
1．例1．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED 。

(1)求证：△BEC ≌△DEC
(2)延长BE 交AD 于F ，当∠BED=1400，求∠EFD 的度数。

分析：第一小问比较容易证明。

第二小问就需要用到结构法才能解决。

要想求出∠EFD ，关键就是要找到与之有关联的三角形，求出各内角的度数。

于是有下面五种思路：
思路之一：
看△EFD 。

要求∠EFD ，只需求出∠FED 与∠FDE 即可。

而∠FED 很容易得到为600，因此关键就是要求∠FDE 。

接下来又要从结构出发，求最有关系（与之互余）的角∠EDC ，于是找到△EDC ，另外两个内角很容易得到，于是问题解决。

思路之二：
看△AFB 。

∠EFD 是外角，只需求出∠ABF 即可。

接下来与思路一的方法一样，从结构出发，求相关联（与之互余）的角∠EBC ，于是找到△EBC ，另外两个内角很容易得到，于是问题解决。

思路之三：
A B
C D E F
思路一
A
B
C D E F
思路二
A
B
C D
E F
思路三
A B
C D
E F
思路四
A B
C
D
E F
思路五
看△AFB 。

∠EFD 是外角，只需求出∠ABF 即可。

接下来与思路一的方法不同，从结构出发，看△AEB ，∠ABF 是△AEB 的外角，∠ABF=∠BEC —∠BAC 。

∠BAC 为易证为450，于是只需要求∠EBC 即可，由全等很容易得到∠EBC=700，于是问题解决。

思路之四：
找到∠EFD 的同旁内角∠EBC ，由思路之二可求出，于是问题解决。

思路之五：
看△AFE 。

∠EFD 是外角，∠CAD 为易证为450，于是只需要求∠AEF 即可，由对顶角相等可知∠AEF=∠BFC=700，于是问题解决。

说明：从以上五种不同的思路来看，在几何角度计算时，都采用了关联结构法，从所需求的角度相关联的三角形和角出发，寻找线索。

其中最为简便的方法是第五种思路，避免了绕圈子，直接把所求的角与易求的角∠BFC 联系起来，提高了解题的效率。

2．例2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 经过点C ，AD EF ⊥于点D ，.
DAC BAC =∠∠（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）求证：AB AD AC ⋅=2
分析：（1）思路之一：
连接OC ，要证明EF 为切线，只需要证明∠OCD=90°，再找其结构，它包含了∠OCA 与∠ACD ，需要证明它们互余；再分别找与这两个角相关的结构，∠OCA=∠OAC ，∠ACD+∠CAD=90°，再加上已知
.DAC BAC =∠∠从而命题得证。

思路之二：
要证明EF 为切线，只需要证明∠OCD=90°，因为AD EF ⊥，所以只需要证明OC//AD 即可，找到内错角∠CAD 与∠OCA 。

由已知.DAC BAC =∠∠可得只要证明∠OCA=∠BAC 即可，也就是半径OC=OA ，从而命题得证。

附思路图：
（2）首先把等积式变为比例式：AC AD AB AC =，再找到需要证明
的相似三角形——△ACD 与△ABC 。

我们只要找到两个角对应相等即可。

已知有一个角.DAC BAC =∠∠还缺一个角，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCA=∠ADC=90°，从而命题得证。

附思路图：
O
A B
D
E
F
O
A B
D
E
F
3
2
O
A B
D
E
F
2
3
1
说明：此题虽然难度不大，但是如果能用关联结构法，从结论入手找到相关联的结构，将会事半功倍。

3．例3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连结DE ．
证明DE ∥CB 。

分析：思路之一：
要证明DE//CB ，我们从结构出发，只需AC ⊥DE 或者F 为AC 的中点（三角形中位线性质），也就只要证明∠1=∠2即可
（三线合一）。

接下来，我们找这两个角所在的结构，∠1在△ADF 和△ADE 中，∠2只在△DCF 中，而△ADF 与△DCF 全等正好是要证的，可以排除，那么∠1就只剩下最后的希望△ADE 了。

接下来见证奇迹的时刻到了！∠2已经没有了组织，怎么办？请大家观察，包含∠2的三角形与△ADE 看上去全等的三角形能否找到？此时只能连接CE ，看看△DCE 是否与△ADE 全等。

等边可得AD=DC ，AC 为公共边，万事俱备，只欠什么呢？我想大家都应该知道此题我们的最为关键．最为具体的目标就是AE=CE 。

恰好由直角三角形斜边中线性质可以得到CE=AE=EB ，从而命题得证。

（原来命题者就是希望大家找到AE=CE ，连接辅助线CE 。

）
附思路图：
思路之二：
要证DE//CB ，我们只需要证明FE 是△ACB 的中位线（即证明F 为AC 中点），或者证明DE 是某个三角形的中位线。

我们选第二条路，但是这条路并不好走，因为连三角形都没有，何谈中位线啊？这是逆向思维，的确有一定的难度，但是可以启发同学们的思维。

没有我们就来构造，于是我们就延长AD 、BC ，交于点G ，这样就出现了△AGB ，只要
证明AD=DG 就搞定了。

由等边三角形，就只用证明GD=DC ，或者AG=2AC 即可。

开心吧！是不是有点意犹未尽的感觉，才刚刚开始思维，却结束了。

附思路图：
1
2
A
B
F
E
D
G
A
B
F
E
D
思路之三：
首先我们一起来回顾一个很少用的定理——线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

其实这道题目的核心就是要得到DE 为线段AC 的垂直平分线，也就是说只要D 到线段AC 两个端点A 、C 的距离相等，并且E 也一样，那么我们的问题就解决了。

此题的目标依然是要证EA=EC ，因此必须连接EC 。

说明：此题的这几种方法的共通之处，在于分析几何问题都是从结论入手，并且紧紧围绕着结构，始终不离开关键的结构，从而找到突破口，将题目要证明的结论逐步拉近，直至拉到我们的眼前。

事实上我们对于定理的熟练程度直接影响了我们做题的速度，第三种思路若能想到，将会是最简便的方法。

综上所述，我们不难看出关联结构思想在数学教学中具有很好的普遍意义与概括意义，能指导老师和学生有效地发现问题、解决问题，它具有方法论意义，可作为一般的模式加以运用，应该将此模式养成一种习惯，形成一种素养，以便学生在学习中自觉地加以充分运用。

尤其在几何难题的证明与计算时，只要灵活运用关联结构法，定能顺藤摸瓜，找到我们所想要达到的目标。

三．最简便的几何解题方法：
以下给大家介绍一种迄今为止最为简单的解决几何难题的简便方法，请各位读者认真研究。

解决几何难题的三步曲：
1．倒推（从结论入手）；
2．关联结构（找到与结论相关联的三角形或四边形）；3．快速边动角动。

第二章的几何模型中将会作进一步深入地解析。

当各位读者掌握了所有的几何模型以后，相信你运用三步曲可以轻松搞定几何难题。

笔者有一个观点仅供大家参考：几何是世界上最简单的学科，所有的几何难题运用几何三大变换再加上三步曲都能直接秒杀，因此解几何难题是一件非常轻松快乐的事情。