【推荐精选】2017年中考数学专项复习《一元二次方程的应用(1)》练习 浙教版
一元二次方程的应用【十大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
一元二次方程的应用【十大题型】【题型1 传播问题】 (1)【题型2 增长率问题】 (4)【题型3 营销问题】 (7)【题型4 工程问题】 (11)【题型5 行程问题】 (14)【题型6 图表信息题】 (19)【题型7 数字问题】 (21)【题型8 与图形有关的问题】 (24)【题型9 动态几何问题】 (27)【题型10 其他问题】 (36)【题型1 传播问题】【例1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。
(1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人?(2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价．【答案】(1)11人(2)11元【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出[40−10(y−12)]千克，根据总利润=每斤的利润销售×数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：1+x+x(1+x)=144，即(1+x)2=144解得：x1=11，x2=−13（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11人．（2）解：设玲玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出[40−10(y−12)]千克，依题意得：(y−8)[40−10(y−12)]=150，整理，得：y2−24y+143=0，解得：y1=11，y2=13∵最大限度的帮爷爷增加销量，∴小玲应该将售价定位11元，答：小玲应该将售价定为11元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（）A．11B．12C．22D．33【答案】B【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他(x−1)人握手，共握手次数为1x(x−1)，根据一共握了662次手列出方程求解．【详解】解：设参加会议有x人，依题意得：1x(x−1)=66，2整理，得x2−x−132=0，解得x1=12，x2=−11，(舍去)则参加这次会议的有12人．故选：B．【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为1x(x−1)．2【变式1-2】（2023春·黑龙江七台河·八年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出个小分支．【答案】10【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1+x+x×x=111即x2+x−110=0，(x−10)(x+11)=0解得：x1=10,x2=−11（舍去）故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式1-3】（2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？(2)写出比赛的总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式；(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？【答案】(1)6；(2)y=1x(x−1)2(3)8×4×(4−1)场；【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：12（2）直接根据题意列出函数关系式即可；（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：1×4×(4−1)=6场；2（2）总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式：y=1x(x−1)；2（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得：1x(x−1)=28，2解得：x1=8，x2=−7（舍去），这次比赛共有8个队参加．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．【题型2 增长率问题】【例2】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值.【答案】(1)20%(2)16【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（21200元列出方程，求出a%的值即可【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x，依题意得：15(1−x)2=9.6，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．答：商城每次降价的百分率为20%．（2）根据题意得，500×(1+3a%)×[15×80%−8(1+a%)]−500×(9.6−8)=1200整理得，2000a%−12000(a%)2=0，或a%=0（舍去）解得，a%=16故a%的值为16【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式2-1】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为400万元，2022年数字阅读市场规模为576万元.(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?【答案】(1)20%(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x，利用2022年该市数字阅读市场规模=2020年该市数字阅读市场规模×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）利用2023年该市数字阅读市场规模=2022年该市数字阅读市场规模×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率)，可预计出2023年该市数字阅读市场规模．【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x根据题意得：400(1+x)2=576解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不符合题意，舍去）答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%（2）576×(1+20%)=691.2（万元）∴预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．【变式2-2】（2023春·河北承德·八年级承德市第四中学校考期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2请说明理由．【答案】(1)10%(2)不会，理由见解析【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为5000(1−x)，5月份的房价为5000(1−x)2，然后根据5月份的4050元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和3000元/m2进行比较即可作出判断．【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x，5000(1−x)2=4050(1−x)2=4050 50001−x=±910x1=110=10%，x2=1910（舍）答：4、5两月平均每月降价的百分率是10%．（2）否，理由如下：∵4050×(1−110)2=3280.5（元）3280.5>3000，∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m2．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．【变式2-3】（2023春·山西太原·某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．(1)求该商店11，12两个月的月均增长率；(2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．【答案】(1)20%(2)2750元【分析】（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50(1+x)台，12月份售出50(1+x)2台，根据该商店去年第四季度累计售出182台，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为(y−2500)元，平均每天可售出(8+4×2900−y50)台，利用总利润=每台的销售利润×平均每天的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50(1+x)台，12月份售出50(1+x)2台，根据题意得：50+50(1+x)+50(1+x)2=182，整理得：25x2+75x−16=0，解得：x1=0.2=20%，x2=−3.2（不符合题意，舍去）．答：该商店11，12两个月的月均增长率为20%；)台，（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为(y−2500)元，平均每天可售出(8+4×2900−y50根据题意得：(y−2500)(8+4×2900−y)=5000，50整理得：y2−5500y+7562500=0，解得：y1=y2=2750．答：每台冰箱的售价为2750元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型3 营销问题】【例3】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润=销售价−进货价）(1)水果店第一次用720元购进A B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；(2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？【答案】(1)A中苹果购进10件，B中苹果购进20件(2)购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元(3)将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，列方程组求解即可．（2）设购进A种苹果m件，利润为w元，列出w关于m的函数关系式讨论最值即可．（3）设B种苹果降价a元销售，根据利润=90元，列出一元二次方程求出a，得到结果．【详解】（1）解：设A，B两种苹果分别购进x件和y件，由题意得：{x+y=3028x+22y=720，解得{x=10y=20，答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．（2）解：设购进A种苹果m件，则购进B种苹果(80−m)件，由题意得：28m+22(80−m)≤2000，∴m≤40，设利润为w元，则w=(42−28)m+(34−22)(80−m)=2m+960，∵2>0，∴w随m的增大额增大，∴当m=40时，w最大值=2×40+960=1040．故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．（3）解：设B种苹果降价a元销售，则每天多销售2a件，每天每件利润为(12−a)元，由题意得：(4+2a)(12−a)=90，解得，a=3或a=7，∵为了尽快减少库存，∴a=7，∴34−7=27，答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆．(1)当售价为13.5万元/辆时，求平均每周的销售利润．(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？【答案】(1)平均每周的销售利润是49万元(2)每辆汽车的售价定为12万元更合适【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为13.5万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润=一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．×2=14（辆)，【详解】（1）解：∵当售价为13.5万元/辆时，平均每周销量为：8+15−13.50.5∴平均每周利润为：(13.5−10)×14=49（万元），答：平均每周的销售利润是49万元；（2）解：设每辆汽车的售价是x万元，(x−10)(8+15−x×2)=40．0.5化简，得(x−10)(17−x)=10，x2−27x+180=0，解得：x1=12，x2=15，由于希望增大销量，定价12万元售价更合适，答：每辆汽车的售价定为12万元更合适．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意找准数量关系与等量关系是解题的关键．【变式3-2】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：a(1+x)2=b，列式计算即可；（2）利用总利润=单件利润×销售数量，列方程求解即可．【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：256×(1+x)2=400，解得：x=0.25或x=−2.25（舍）；∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；（2）解：设降价y元，由题意得：(40−y−25)(400+5y)=4250，整理得：y2+65y−350=0，解得：y=5或y=−70（舍）；∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．【变式3-3】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【答案】(1)总共生产了9000袋手工汤圆(2)促销时每袋应降价3元【分析】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．【详解】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，依题意得，0.3a450+0.5a300=21解得a=9000，经检验a=9000是原方程的解，答：总共生产了9000袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价x元，当刚好10天全部卖完时，x)=40500依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+752整理得：x2−6x+45=0Δ=62−4×45<0，∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为(15−13)[9000−x)]=12600−600x2×225−8(225+752∴依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+75x)+12600−600x=405002解得x1=1,x2=3∵要促销∴x=3即促销时每袋应降价3元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2【题型4 工程问题】【例4】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米(2)18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：32x+32(2x+30)=4800，解方程即可解得答案；（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，由题意得：32x+32(2x+30)=4800，解得x=40，2x+30=80+30=110米，所以A型设备每小时铺设的路面110米；（2）根据题意得：40(32+m+25)+(110−3m)(m+32)=4800+1000，解得m=18，m=0（舍去），答：m的值是18．【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．【变式4-1】（2023春·宁夏中卫·八年级校考期中）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．（2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可．（2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解．【详解】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，根据题意，得x(x+5)=6(x+x+5)，即x2−7x−30=0，解得x1=10，x2=−3（不合题意，舍去）．∴x+5=15．答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．m个月，（2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为12m≤1500，由题意得，100m+（100+50）12解得：m≤847∵施工时间为整数，∴m≤8，答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解．【变式4-2】（2023春·重庆云阳·八年级校联考期中）2020年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线A,B．原计划A生产线每小时生产护目镜400个，B生产线每小时生产护目镜500个．（1）若生产线A,B一共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于5500个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？（2）原计划A,B生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，A生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少15个．这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．【答案】（1）B生产线至少生产口罩7小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ．【分析】（1）设B生产线至少生产口罩x小时，根据生产护目镜的总数量不少于5500个列出不等式求解即可；（2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多3300个列出方程求解即可．【详解】（1）解：设B生产线至少生产口罩x小时(12−x)400+500x≥5500解得：x≥7答：B 生产线至少生产口罩7小时.（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t(400−10t)(8+t)+(500−15t)(8+t)=8×400+8×500+3300 解得：t 1=22,t 2=6 生产时间：6+8=14ℎ答：设该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ.【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程．【变式4-3】（2023春·重庆合川·八年级校考期中）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m 万元时，则每天可多挖12m 米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m 米，若最终每天实际总成本比计划多（11m -8）万元，求m 的值．【答案】（1）1000米；（2）4【分析】（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（2000-x ）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m -8）万元，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（2000-x ）米， 依题意，得：8（2000-x ）≥43×6x ， 解得：x ≤1000．答：甲最多施工1000米．（2）依题意，得：（6+m ）（6+12m ）+8（6-14m ）=6×（6+8）+11m -8，整理，得：m 2-8m +16=0，解得：m1=m2=4．答：m的值为4．【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【题型5 行程问题】【例5】（2023春·重庆云阳·八年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)480m/min；400m/min(2)70min【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．【详解】（1）解：设小红的速度为xm/min，则小明的速度为1.2xm/min，依据题意列方程得，12000x −120001.2x=5，∴12000×1.2−12000=5×1.2x，∴x=400，经检验，x=400是原式方程的解．∴1.2×400=480m/min．∴小红的速度为400m/min，小明的速度为480m/min．故答案为：480m/min；400m/min．。
浙教版初中数学第二章 一元二次方程专题复习1-一元二次方程的解法与应用(含答案)
专题复习一一元二次方程的解法与应用重点提示：一元二次方程的解法有四种：因式分解法；直接开平方法；配方法；公式法.对于不同的一元二次方程，要选择合适的方法以求快速并准确的解出方程，并注意配方法、整体换元、转化化归等数学方法和数学思想在解决问题中的应用.【夯实基础巩固】1．下面是小明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（C）A．若x2=4，则x=2B．方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1C．若方程（m﹣2）x|m|+3mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m=﹣2D．若分式的值为零，则x=1或x=22．已知三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周长为（A）3．方程x2﹣（+）x+=0的根是（A）A．x1=，x2=B．x1=1，x2=C．x1=﹣，x2=﹣D．x=±4．方程（x+）2+（x+）（2x﹣1）=0的较大根为（B）A．﹣B．C．D．5．一元二次方程（2x﹣1）2=（3﹣x）2的根是x1=，x2=﹣2．6．已知实数a≠b,且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2,则__-23___. 7．如图所示，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x ﹣3=0的根，则▱ABCD的周长是4+2．8．已知a为实数，且满足（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣15=0，则代数式a2+b2的值为3．9．用适当的方法解下列方程：（1）2（x﹣1）2﹣4=0 （2）x2﹣4x+1=0（3）x2﹣8x+17=0 （4）x（x﹣2）+x﹣2=0．（1）x1=1+，x2=1﹣（2）x1=2+，x2=2﹣（3） =（﹣8）2﹣4×17＜0，∴方程没有实数根.（4）x1=2，x2=﹣110．如图所示，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成.为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x（m），可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m.由题意得x（25﹣2x+1）=80，解得x1=5，x2=8.当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去）.当x=8时，26﹣2x=10＜12.∴所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m．【能力提升培优】11．利用墙为一边，用长为13m的材料作另三边，围成一个面积为20m2的长方形小花园，这个长方形的长和宽各是（D）12．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（C）．13．在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a+b2，根据这个规则，方程x*（x+1）=5的解是（B）14．如果关于x的一元二次方程x2+（k2﹣3）x+k=0的两个实数根互为相反数，则k15．已知非零实数x，y满足等式x2﹣2xy﹣3y2=0，则的值为3或﹣1．16．已知x为实数，（x2+4x）2+5（x2+4x）﹣24=0，则x2+4x的值为3．17．用适当的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2=36 （2）（3）（3x﹣1）（x+1）=4 （4）（2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）+2=0（5）x2﹣（1+2）x++3=0 （6）3x2-10x+6=0（1）x1=4，x2=﹣2（2）x1=+2，x2=﹣2（3）x1=，x2=﹣1（4）x1=2，x2=（5）x1=，x2=1+18．如图所示，在下列n×n的正方形网格中，请按图形的规律，探索以下问题：（1）第4个图形中阴影部分小正方形的个数为.（2）是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形个数的？如果存在，是第几个图形；如果不存在，请说明理由．…（1）22（2）存在.理由如下：由题意得，解得个图形阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形的个数的．【中考实战演练】19．【哈尔滨】今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x（m），则下面所列方程正确的是（A）A．x（x﹣60）=1600 B．x（x+60）=1600C．60（x+60）=1600 D．60（x﹣60）=160020．【泰安】方程（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为﹣8或．【开放应用探究】21．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=.问题：（1）计算（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（++++…+）.（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．（1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t=. （2）设x2+5x+1=t，则原方程化为t（t+6）=7，即t2+6t﹣7=0，解得t=﹣7或1.当t=1时，x2+5x+1=1，解得x1=0，x2=﹣5.当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，即x2+5x+8=0，= 52﹣4×1×8＜0，此时方程无解.∴原方程的解为x1=0，x2=﹣5．。
浙江省2017届中考数学第一轮复习3.3一元二次方程及其应用练习无答案浙教版
一元二次方程及其应用【牛刀小试】1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n xn x n +++-+=中，则一次项系数是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 .4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .5. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．1-【考点梳理】1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,24(40)b b ac x b ac -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.【典例分析】例1 选用合适的方法解下列方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+；（3）22)21()3(x x -=+； （4）31022=-x x .例2 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？【真题演练】1．方程 (5x －2) (x －7)＝9 (x －7)的解是_________.2．已知2是关于x 的方程23x 2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________. 3．关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23x p -=的解为_____. 4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x 2-2y+6=0 ⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥ 24x-x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤5. 一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x 2＋1化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后a,b,c 的值为（ ）A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2C. 8，－10，－2D. 8，－12，46．一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ）A. －1B. 1C. －2D. 27．解方程(1) x 2－5x －6＝0 ； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 222x+1=0．8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．。
完整版)一元二次方程的应用练习题及答案
完整版)一元二次方程的应用练习题及答案1.这道题目需要求出某地区在20XX年至20XX年期间投入教育经费的年平均增长率，以及预计20XX年该地区投入教育经费的金额。
首先，我们可以通过计算两个年份的投入教育经费差值，再除以两年的平均值，得出年平均增长率。
其次，通过使用年平均增长率，我们可以预测20XX年该地区的投入教育经费金额。
2.这道题目需要求出白溪镇在2012年至20XX年期间绿地面积的年平均增长率，以及预测20XX年该镇绿地面积是否能够达到100公顷。
首先，我们可以通过计算两个年份的绿地面积差值，再除以两年的平均值，得出年平均增长率。
其次，通过使用年平均增长率，我们可以预测20XX年该镇绿地面积是否能够达到100公顷。
3.这道题目需要求出某商品的销售单价，以便商家在满足顾客实惠的前提下获得6080元的利润。
首先，我们可以通过计算商品的总成本和总销售额之间的差值，除以销售件数，得出商品的平均利润。
然后，我们可以通过不断降低销售单价，直到平均利润达到所需利润的目标。
4.这道题目需要求出将某种水果的售价降低x元后，每天的销售量是多少斤，以及降价多少元才能每天盈利300元。
首先，我们可以通过不断降低售价，直到每天销售量达到260斤，得出售价和销售量之间的关系。
然后，我们可以通过计算每天销售量和售价之间的总收入和总成本之间的差值，得出每天的利润。
最后，我们可以通过不断降低售价，直到每天利润达到300元的目标。
5.这道题目需要求出每件衬衫应该降价多少元，以便商场平均每天赢利1200元，并且降价多少元时商场平均每天赢利最多。
首先，我们可以通过计算每件衬衫降价1元所带来的额外销售量和额外利润，得出降价和利润之间的关系。
然后，我们可以通过计算商场每天的总销售额和总成本之间的差值，得出商场每天的利润。
最后，我们可以通过比较不同降价方案的利润，得出商场平均每天赢利最多的降价方案。
6.这道题目需要求出某种品牌玩具的销售单价，以便商场获得元的销售利润。
浙教版七年级数学一元二次方程的应用(含答案)
2．3 一元二次方程的应用（1）解题示范例某农户种植花生，老品种花生的每公顷产量为2 000千克，出油率为50%（•即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工成花生油1 320千克，其中花生出油率的增长率是每公顷产量增长率的一半，•求新品种花生每公顷产量的增长率．审题本题已知老品种花生的每公顷产量与出油率、新品种花生每公顷可出油1 320千克，以及新品种花生的出油率的增长率与产量增长率的关系．•未知新品种花生的每公顷产量及出油率．方案从表中可寻找到相同对象的等量关系，从而可列出方程求解．实施设新品种花生每公顷产量的增长率为x，则新品种花生出油率的增长率为x．根据题意，得2 000（1+x）·50%（1+12x）=1 320．解得x1=0.2，x2=-3.2（不合题意，舍去）．∴x=0.2=20%．答：新品种花生公顷产量的增长率为20%．反思（1）当题中牵涉的量较多时，可通过列表的方式来分析、理解题意．（2）列方程解应用题时，检验是必不可少的环节，我们需检验两个方面：一是检验未知数的值是否是原方程的解，二是未知数的值是否符合实际意义．课时训练1．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番．在本世纪的前20年（2001～2020年），要实现这一目标，以10年为单位计算，设每10年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（）．（A）（1+x）2=2 （B）（1+x）2=4（C）1+2x=2 （D）（1+x）+2（1+x）=42．某超市1月份的营业额是0.2亿元，第一季度的营业额共1亿元．•如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）．（A）0.2（1+x）2=1 （B）0.2+0.2×2x=1（C）0.2+0.2×3x=1 （D）0.2×[1+（1+x）+（1+x）2]=13．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手．这次会议到会的人数是多少？•4．•我国是世界上受沙漠化危害最严重的国家之一，•沙化土地面积逐年增长．2000年初我国沙化土地面积约为261.5万km2，到2002•年初沙化地面积已达近262•万km2．假设沙化土地面积每年的增长率相同，那么增长率是多少？5．一批彩电，经过两次降价后价格由原来的每台2 250元降为1 440元．问平均每次降价的百分率是多少？6．某商人将每件进价为80元的商品按100元出售，每天可售出30件．•现在他为了尽快减少库存，决定采取适当降价措施来扩大销售量，增加日盈利．经市场调查发现，如果该商品每降价2元，那么平均每天可多售出10件．要想在销售这种商品上平均每天盈利800元，问每件商品应降价多少元？答案:1．B 2．D3．设有x 人参加会议．(1)2x x =66，x 1=12，x 2=-11（舍去）， ∴这次到会的人数为12人4．设增长率为x ．261.5（1+x ）2=262，解得x=0.000 96（负值舍去）•，•∴增长率为0.096%人5．设降价的百分率为x ．2 250（1-x ）2=1 440，x 1=0.2，x 2=1.8（舍去），•∴每次降价的百分率为20%6．设每件应降价x 元．（100-x-80）·（30+10×2x ）=800，解得x 1=4（舍去），x 2=10． 为了尽快减少库存，每件商品应降价10元2．3 一元二次方程的应用（2）解题示范例要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，•鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am，另外三边用竹篱笆围成．（1）若篱笆长35m，养鸡场的长和宽各为多少？（2）题中墙的长度a对此题的解起着怎样的作用？审题已知长方形的面积为150m2，且这个长方形的三边和为35m，•需求的是长方形的长与宽．方案可先设这个长方形靠墙的一边长为xm，则可用含x的代数式表示出另一边的长，利用长方形的面积公式列出方程求解．实施（1）设养鸡场的长（靠墙的一边）为xm，则宽为352x-m．根据题意得x·352x-=150．解得x1=15，x2=20．当x=15时，352x-=10（m）；当x=20时，352x-=7.5（m）．答：养鸡场的长和宽分别为15m、10m或20m、7.5m．（2）由（1）可知，当a<15时，无解；当15≤a<20时，只有一解，即长15m，宽10m．当a≥20时，有两解．反思a的取值对本题起着较大作用，从中我们也可以看出在列方程解应用题时，检验是必不可少的步骤．课时训练1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（）．（A）x（x+1）=182 （B）x（x+1）=182×1 2（C）x（x-1）=182 （D）x（x-1）=182×22．两个数的差为5，这两个数的积为84．设较小数为x，则可列方程_________，•这两个数为___________．3．要做一个高是8cm，底面长比宽多7cm，体积是624cm3的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？4．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，•十位上的数字与个位上的数字对调后所得的数与原数相乘，得736，求这个两位数．5．将一块长比宽多3cm的长方形铁皮四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，•做成一个无盖的盒子．已知盒子的体积是280cm3，求原铁皮的边长．6．如图，AB⊥BC，AB=10cm，点M以1cm/s的速度从点A开始沿AB边向点B运动，点N同时以2cm/s的速度从点B开始沿BC边向点C运动，则当点M运动多少时间时，△BMN•的面积等于24cm2？7．如图，要在长100m，宽90m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6•块绿地面积共8 448m2，求道路的宽．答案:1．D 2．x（x+5）=84；7与123．设底面底为xcm，则长为（x+7）cm，由题意可得8x（x+7）=624．解得x1=-13（舍去），x2=6．∴底面宽为6cm，长为13cm4．设这个两位数的个位数为x，则十位数字为（5-x），由题意得[10（5-x）+x]·[10x+（5-x）]=736．x1=2，x2=3．∴这个两位数为23或32 5．设原铁皮的宽为xcm，则长为（x+3）cm，由题意得4（x-8）（x+3-8）=280．解得x1=3（舍去），x2=10．∴原铁皮的宽为10cm，长为13cm6．设点M运动xs后，△BMN面积为24cm2．由题意得12×2x·（10-x）=24．解得x1=4，x2=6．∴当点M运动4s或6s后，△BMN的面积为24cm27．设道路宽为xcm．由题意得（100-2x）（90-x）=8 448．解得x1=2，x2=138（舍去）．•∴道路的宽为2m。
2017年中考数学专项复习《二次函数的应用(1)》练习(无答案) 浙教版
二次函数的应用（01）一、选择题1．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=42．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＜x13．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞44．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧5．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣7．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=58．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A． B． C． D．9．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③ B．③④ C．①② D．①④10．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b12．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d13．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x214．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4二、填空题15．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．16．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为．19．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．20．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是．三、解答题21．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P （a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．22．已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．23．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）25．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．26．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．27．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．28．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．29．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME ⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．30．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？。
浙教版数学八年级下册2.3.1一元二次方程的应用(1)(教案+练习)一元二次方程的应用(1) 教案
课题：一元二次方程的应用——第一课时分钟）平均单株盈利×株数=每盆盈利;平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数.设未知数:解：设每盆增加x株.间接设元法在应用题的求问什么未知量时，但因该未知量较隐含，不易直接设元，则用间接设元法，设其它未知元为x，而所要求知的未知量可用含其它未知元x的代数式株数×平均每株盈利=每盆盈利列方程解应用题的步骤有:练习1：雁荡山大龙湫景区，经过试验发现每天的门票收益与门票价格成一定关系.票价为40元/人时，平均每天来的人数是380人，当票价每增加1元，平均每天就减少2人。
要使每天的门票收入达到24000元，票价应定多少元？（列出方程即可）分钟）1、去年的产量为5万吨，今年比去年增长了20%， 今年的产量是多少今年比去年增长了20%，应理解为； 今年是去年的（1+20%）倍所以:今年的产量=去年的产量x(1+20%)2、一件价格为200元的商品连续两次两次降价，每次降价的百分数为15%，降 价后的商品价格是多少？列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及 增长或降低的次数之间的数量关系. (1)增长率问题: 平均增长率公式为(2)降低率问题：平均降低率公式为(a 为原来数，x 为平均增长或降低率，n 为增长或降低次数，b 为增长或降低后的量.)年增长率(精确到0.1 % ).解：设2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为x()2066113802=+x不合题意，舍去）(138020661%4.22138020661解这个方程，得11--=≈+-=x x答：设2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为22.4% 练习2：（1）某公司今年的销售收入是a 万元，如果每年的增长率都是x ，那么一年后的销售收入将达到_ )1(x a+∙__万元（用代数式表示）（2）某公司今年的销售收入是a 万元，如果每年的增长率都是x ，那么两年后的销售收入将达到_ 2)1(x a +∙__万元（用代数式表示）51、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，5学有余力的同学可以仔细某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元。
浙教版八年级数学下册《2.3一元二次方程的应用(1)》同步练习(含答案)
2.3 一元二次方程的应用(1)A 练就好基础 基础达标1．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长，若月平均增长率为x ，则该文具店五月份销售铅笔的支数是( B )A ．100(1＋x )B ．100(1＋x )2C ．100(1＋x 2)D ．100(1＋2x )2．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程( D )A ．48(1－x )2 ＝36B ．48(1＋x )2 ＝36C ．36(1－x )2 ＝48D ．36(1＋x )2 ＝483．2018·绵阳在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( C )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 设参加酒会的人数为x ，根据题意，得12x (x －1)＝55， 整理，得x 2－x －110＝0，解，得x 1＝11，x 2＝－10(不合题意，舍去)．所以参加酒会的人数为11.4．每个花盆植3株花卉，则每株盈利4元；每个花盆增加1株花卉，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆盈利为15元，设每盆多植x 株，则x 满足方程( A )A ．(3＋x )(4－0.5x )＝15B ．(x ＋3)(4＋0.5x )＝15C ．(x ＋4)(3－0.5x )＝15D ．(x ＋1)(4－0.5x )＝155．2018·眉山我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4 860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( C )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%【解析】 设平均每次下调的百分率为x ，由题意，得6 000(1－x )2＝4860，解，得x 1＝0.1，x 2＝1.9(舍去)．所以平均每次下调的百分率为10%.6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为__x (x －1)＝2_070__．7．某工厂一月份产值是5万元，二、三月份的月平均增长率为x .(1)若三月份的产值是11.25万元， 则可列方程__5(1＋x )2＝11.25__；(2)若前三月份的总产值是11.25万元， 则可列方程：__5＋5(1＋x )＋5(1＋x )2＝11.25__．8．某镇2015年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2017年达到82.8公顷．(1)求该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率；(2)若年增长率保持不变，2018年该镇绿地面积能否达到100公顷？【答案】 (1)20% (2)不能【解析】 (1)设年平均增长率为x .57．5(1＋x )2＝82.8，(1＋x )2＝1.44x ＋1＝±1.2∴x 1＝0.2＝20%x 2＝－2.2(舍去)答：年平均增长率为20%.(2)82.8×(1＋20%)＝99.36<100，故2018年该镇绿地面积不能达到100公顷．B 更上一层楼 能力提升9．小芳家今年添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据去年5至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时．假设今年5至6月用电量月增长率是6至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时？【答案】 180千瓦时【解析】 设今年6月至7月用电量月增长率为x ，则今年5月至6月用电量月增长率为1.5x ，得120(1＋x )(1＋1.5x )＝240，∴3x 2＋5x －2＝0，∴x 1＝13，x 2＝－2(不合题意，舍去)， ∴小芳家6月份的用电量：120×(1＋1.5x )＝120×⎝⎛⎭⎫1＋1.5×13 ＝180(千瓦时)．答：小芳家6月份用电量为180千瓦时．10．2018·德州为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y (单位：台)和销售单价x (单位：万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？解：(1)设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550，解，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1000. ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.(2)设此设备的销售单价为x 万元，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售数量为(－10x ＋1 000)台，根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000，整理，得x 2－130x ＋4 000＝0，解，得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x ＝50.答：该设备的销售单价应是50万元．C 开拓新思路 拓展创新11．某汽车销售公司4月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．(1)若该公司当月售出5辆汽车，则每辆汽车的进价为__29.6__万元；(2)如果汽车的售价为31万/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利＝销售利润＋返利)【答案】 需要售出6辆汽车．【解析】 设需售出a 辆汽车，则a [31－(30－(a －1)×0.1)]＋0.5a ＝12，整理，得(a ＋7)2＝169，解得a 1＝6，a 2＝－20(舍去)，∴需售出6辆．12．某草莓园的采摘套票售价为100元/人，成本为60元/人，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，现在草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票便可多售出2张．已知草莓园降价后，平均每天多销售了 1 000 元．(1)降价后，草莓园平均每天的总销售价为多少元？(2)草莓园采摘套票降价了多少元？【答案】(1)总销售价为8 000＋1 000＝9 000(元)．(2)10元【解析】(1)∵原来的售价为80×100＝8 000元，增加了1 000元，∴总销售价为8 000＋1 000＝9 000元；(2)设草莓园采摘套票降价了x元，则(100－x)(80＋2x)＝9 000.整理，得x2－60x＋500＝0.解得x1＝10，x2＝50，经检验，x2＝50不合题意，舍去，因为此时票价为50，小于成本，降价措施不合理．答：降价了10元．。
中考数学专项复习《一元二次方程的应用(1)》练习 浙教版(2021年整理)
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一元二次方程的应用（01）一、选择题1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得( ）A．168（1+x）2=128 B．168（1﹣x）2=128C．168（1﹣2x）=128 D．168（1﹣x2）=1282．近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平,国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（）A．2016(1﹣x)2=1500B．1500（1+x)2=2160C．1500（1﹣x）2=2160D．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=21603．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x)2=100 D．100(1+x）2=1444．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81 B．100（1﹣x）2=81 C．100（1﹣x％）2=81 D．100x2=815．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm,则可列方程为( ）A．x（20+x)=64 B．x（20﹣x）=64 C．x（40+x)=64 D．x（40﹣x）=646．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元,2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（) A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500(1+x）2=35007．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌,叫做跌停．已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．(1+x)2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=8．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（）A．x(x﹣11)=180 B．2x+2（x﹣11）=180 C．x（x+11)=180 D． 2x+2(x+11）=1809．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地,它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x m,下面所列方程正确的是（）A．x(x﹣60）=1600 B．x（x+60)=1600 C．60（x+60)=1600 D．60（x﹣60）=1600 10．我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4。
《一元二次方程》专项练习和中考真题(含答案解析及点睛)
《一元二次方程》专项练习1．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案.【解析】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，∴210a -=，10a -≠，则a 的值为：1a =-．故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 2．用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0 【答案】A 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y 2-2y+1=0即可求解． 【解析】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0．故选：A ． 【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3．如果关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．94k …B ．94k -…且0k ≠C ．94k …且0k ≠D ．94k -… 【答案】C【分析】根据关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【解析】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤94且k≠0，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ）A ．1B ．3C ．1+D ．3【答案】C【分析】先求得2=+1x x ，代入4323x x x -+即可得出答案．【解析】∵210x x --=，∴2=+1x x ，x == ∴4323x x x -+=()()21213x+-x x++x =2221223x +x+-x -x+x =231-x +x+=()131-x++x+=2x ，∵x =，且0x >，∴x =，∴原式=2，故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．5．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得：12x （x ﹣1）＝36， 化简，得x 2﹣x ﹣72＝0，解得x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 6．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为( )A ．()5000127500x +=B ．()5000217500x ⨯+=C ．()2500017500x +=D ．()()2500050001500017500x x ++++=【答案】C【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元即2019年我国快递业务收入为7500亿元，∴可列方程：()2 500017500x +=，故选C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．7．如图是一张长12cm ，宽10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积224cm 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm ．【答案】2【分析】根据题意设出未知数,列出三组等【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为解得a =10－2x ,b =6－x ,代入ab =24中得:整理得:2x 2－11x +18=0．解得x =2或x 【点睛】本题考查一元二次方程的应用8．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个A ．2023B ．2021 【答案】A【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1解.【解析】a ，b 是方程230x x +-=的两∴222201932019a b a b -+=-++【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数9．一个三角形的两边长分别为2和5，【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x 2-8周长可求．【解析】解：∵x 2-8x +12=0，∴()x -∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式10．若关于x 的一元二次方程22x x ﹣A ．1m ＜ B ．1m £三组等式解出即可．边长为x,由题意得:2()1221024x b a x ab +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,(10－2x )(6－x )=24,=9(舍去)．故答案为2．,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程的两个实数根，则22019a b -+的值是( )C ．2020D ．2019，ab =-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，ab9()2220161620162023a b ab =+-+=++=；与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行，第三边长是方程28120x x -+=的根，则该三角形x +12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的()260x -=，∴x 1=2，x 2=6，三边长是方程x 2-8x +12=0的根，当x =2时，2+2＜5形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性0m +＝有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）C ．1m ＞D ．m 1≥出方程．019=（a+b ）2-2ab+2016即可求-3b =， 3；故选A ． 子进行化简代入是解题的关键．三角形的周长为_______． 三边的长，则该三角形的 ，不符合题意，相关性质及定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式0≥V ，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．【解析】Q 关于x 的一元二次方程220x x m +﹣＝有实数根，2240m ∴=≥-V （-），解得： 1m ≤．故选B ． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0≥V 时，方程有实数根”是解题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关【答案】A【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【解析】解：∵△＝b 2﹣4×（﹣1）＝b 2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ） A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】通过根与系数之间的关系得到22m αβ+=-+，2m m αβ=-，由()2222αβαβαβ+=+-可求出m 的值，通过方程有实数根可得到[]()222(1)40m m m --≥-，从而得到m 的取值范围，确定m 的值． 【解析】解：∵方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，∴()21221m m αβ-+=-=-+，221m m m m αβ-==-， ∵()2222αβαβαβ+=+-，2212αβ+=∴()()2222212m m m -+-=-， 整理得，2340m m --=，解得，11m =-，24m =，若使222(1)0x m x m m +-+-=有实数根，则[]()222(1)40m m m --≥-， 解得，1m £，所以1m =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．13．关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0，则k 的值是_______．【答案】1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=，解得k 的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【解析】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程，∴k+2≠0，即k ≠-2；又0是该方程的一个根，∴220k k +-=，解得，11k =，22k =-，由于k ≠-2，所以，k=1．答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．14．已知1x ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，则12(4)(4)x x ++的值是_____．【答案】16【分析】由根与系数的关系可得121x x =+， 124x x =-，然后把所求式子利用多项式乘法法则展开后代入进行计算即可.【解析】1x Q ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，121x x ∴+=， 124x x =-，12(4)(4)x x ∴++12124416x x x x =+++12124()16x x x x =+++44116=-+⨯+4416=-++16=， 故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 15．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．【答案】-2017【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【解析】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-2017．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 16．已知12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是_________．【答案】2【分析】由已知结合根与系数的关系可得：12x x +=4，12x x ⋅= -7，2211224x x x x ++=()212122x x x x ++，代入可得答案.【解析】解：∵12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，∴12x x +=4，12x x ⋅= -7，∴2211224x x x x ++=()212122x x x x ++=()2427+⨯-=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题17．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A．12x（x+1）＝110 B．12x（x﹣1【答案】D【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足【解析】解：设有x个队参赛，则x（x 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为___【答案】x＝2或x＝﹣或x＝﹣1【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣于x的方程求解可得．【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用19．若菱形ABCD的一条对角线长为8，A．16 B．24【答案】B【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABC【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次键．）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比﹣1）＝110．故选：D．的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．_____．．x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形C．16或24 D．48分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成的周长．BCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，+4＝8，不能构成三角形；ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌110共要比赛110场，可列出方程．的关键．：）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．x2+nx﹣1＝0，1]＝0，据此得到两个关1）＝0，或x＝﹣1．方法．该菱形ABCD的周长为（ ）能构成三角形；②当AB＝AD＝熟练掌握并灵活运用是解题的关21．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于_______． 【答案】2. 【分析】根据“关于x 的一元二次方程ax 2+2x+2﹣c ＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a 和c 的等式，整理后即可得到的答案．【解析】解：根据题意得：△＝4﹣4a （2﹣c ）＝0，整理得：4ac ﹣8a ＝﹣4，4a （c ﹣2）＝﹣4，∵方程ax 2+2x+2﹣c ＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a 得：12c a -=-，则12c a+=，故答案为2． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．22．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为____________．【答案】x(x+12)=864【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．【解析】因为宽为x ，且宽比长少12，所以长为x+12，故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，故答案：x(x+12)=864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．23． 1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b =（ ）A ．2-B ．3-C ．4D ．6-【答案】A【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值【解析】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键24．已知1x ，2x 是方程2320x x --=的两根，则2212x x +的值为（ ）A ．5B ．10C ．11D ．13【答案】D 【分析】先利用完全平方公式，得到2212x x +21212)2x x x x =+-（，再利用一元二次方程根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=即可求解．【解析】解：2212x x +()221212)232213x x x x =+-=-⨯-=（故选：D ． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．25．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．【答案】2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x 12-4x 1=2020，x 1+x 2=4，代入原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2（x 1+x 2）计算可得．【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 12﹣4x 1﹣2020＝0，即x 12﹣4x 1＝2020，则原式＝x 12﹣4x 1+2x 1+2x 2＝x 12﹣4x 1+2（x 1+x 2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 26．解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【解析】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.27．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论．【解析】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴2(2)4(2)0k ∆=--+…解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-，∴1212222x x k x x k +==-+即(2)(2)2k k +-=，解得k =．又由（1）知：1k ≤-，∴k =【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 28．已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.【答案】（1）2m ≤.（2）1m =.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程．29．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1. 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m=2代入原方程可得：x 2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥解得134m ≤ （2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 30． 2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x 元，每个月的销量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？【答案】（1）y ＝220﹣2x ；（2）当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【分析】（1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可得；（2）月销售量乘以每件的利润等于利润2250，解方程即可；（3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．【解析】（1）由题意得，月销售量y ＝100﹣2（x ﹣60）＝220﹣2x （60≤x ≤110，且x 为正整数）答：y 与x 之间的函数关系式为y ＝220﹣2x ．（2）由题意得：（220﹣2x ）（x ﹣40）＝2250化简得：x 2﹣150x +5525＝0解得x 1＝65，x 2＝85答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．（3）设每个月获得利润w 元，由（2）知w ＝（220﹣2x ）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800∴w ＝﹣2（x ﹣75）2+2450 ∴当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程. 31．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x （元），日销量为y （件），日销售利润为w （元）．（1）求y 与x 的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w （元）与销售单价x （元）的函数关系式，当x 为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）10280y x =-+；（2）10元；（3）x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意得到()()()26128010171210w x x x =--+=--+，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】解：（1）根据题意得，()20010810280y x x =--=-+，故y 与x 的函数关系式为10280y x =-+；（2）根据题意得，()()610280720x x --+=，解得：110x =，224x =（不合题意舍去），答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；（3）根据题意得，()()()261028010171210w x x x =--+=--+， 100-<Q ，∴当17x <时，w 随x 的增大而增大，当12x =时，960w =最大，答：当x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元．【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．32．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】销售单价为180元时，公司每天可获利32000元【分析】根据题意设降价后的销售单价为x 元，由题意得到1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，则可得到答案. 【解析】解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出3005200[]x +-（）个， 依题意，得：1003005200[32000]x x -+-（）（）＝， 整理，得：2360324000x x +﹣＝，解得：12180x x ＝＝．180200＜，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.《一元二次方程》中考真题1．已知2是关于x 的一元二次方程240x x m -+=的一个实数根，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．1C ．−3D ．−1【答案】B【分析】把x ＝2+代入方程就得到一个关于m 的方程，就可以求出m 的值．【解析】解：根据题意得2(24(20m -⨯++=，解得1m =；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2．定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．只有一个实数根 【答案】A【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【解析】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-Q ()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=， 解得： 17x =-（舍去），26x =．故选C ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程4．关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解析】△=(k-3)2-4(1-k)=k 2-6k+9-4+4k=k 2-2k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m≤2 C ．m ＜2且m≠1 D ．m≤2且m≠1【答案】D【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解析】解：因为关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4ac ＝22－4(m －1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m －1)x 2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，所以m －1≠0．综合知，m 的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．6．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x 【答案】B【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的180万只，4月份的利润将达到461万只【解析】解：从2月份到4月份，该厂家口故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应7．关于x 的一元二次方程22x mx +A ．2m =- B ．3m = 【答案】A【分析】设1x ，2x 是2220x mx m ++再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可【解析】设1x ，2x 是222x mx m ++∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴1x +∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅4=∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的8．已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣A ．﹣7 B ．7【答案】A【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解析】解：设另一个根为x ，则x +2【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系9．设1x ，2x 是方程2234x x +-=的两）2=461 C ．368（1﹣x ）2=442 D ．368（1+x 增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增万只”，即可得出方程．厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方实际应用，理解题意是解题关键．20m m ++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值C ．3m =或2m =- D ．3m =-或m =m +=的两个实数根，由根与系数的关系得12x x +=入即可. 0m +=的两个实数根，22x m =-，212x x m m ⋅=+，222222212m m m m m --=-=，A ．系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式m ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） C ．3D ．﹣3出答案．＝﹣5，解得x ＝﹣7．故选：A ．根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的0的两个实数根，则1211+x x 的值为______． ）2=442 设这个增长率为x ，根据“2月份可得方程：180（1+x ）2=461，的值为（ ） 22m -，212x x m m ⋅=+，方公式是解题的关键． 系数的关系是解题关键．【答案】34【分析】由韦达定理可分别求出1x +【解析】解：由方程2234x x +-=12121231132·24x x x x x x -++===-．故答案为【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的10．如图，在一块长15m 、宽10m 的矩形空面积为126m 2，则修建的路宽应为_____【答案】1【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形式列方程求解即可．【解析】解：设道路的宽为x m ，根据题意解得：x 1＝1，x 2＝24（不合题意，舍去【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应本题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程2x 【答案】1【分析】利用因式分解法求出x 1,x 2，再根【解析】解22430(0)x mx m m -+=解得x 1=3m,x 2=m ，∴3m-m=2解得m=1【点睛】此题主要考查解一元二次方程，12．一元二次方程()()32x x --=的根【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-【解析】解：30x -=或20x -=，所以2x 与12x x g 的值，再化简要求的式子，代入即可得解0可知1232x x +=-，124·22x x -==- 案为：34 系数的关系，利用韦达定理可简便运算．矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，___米． 到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方据题意得：（10﹣x ）（15﹣x ）＝126， ），则道路的宽应为1米；故答案为：1．程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地2430(0)mx m m -+=>的一个根比另一个根大2，再根据根的关系即可求解．> （x-3m ）（x-m ）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 =1故答案为：1． ，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 0的根是_____． -3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可． 所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．可得解． ，剩余分栽种花草，要使绿化个长方形，根据长方形的面积公矩形地面的最上边和最左边是做，则m 的值为_____．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程28120x x -+=的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】17【分析】先利用因式分解法求解得出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【解析】解：解方程28120x x -+=得x 1=2，x 2=6，当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.故答案为：17．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____． 【答案】x （x ﹣12）＝864．【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解析】解：∵长为x 步，宽比长少12步，∴宽为（x ﹣12）步．依题意，得：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．【答案】1x 2x ． 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x-34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 【解析】原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝，29x x 172﹣＝，298181x x 1721616-++，29353x 416-（＝，9x 4-±＝，所以12x ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．。
浙教版初中数学《实际问题与一元二次方程》同步拓展(含答案)
21.3实际问题与一元二次方程基础闯关全练拓展训练1.(2017江苏无锡滨湖期中)商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出,平均每天能售出8台.为了促销,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元,同时又要使消费者得到更多实惠,每台冰箱应降价()A.100元B.200元C.300元D.400元2.如图是一张月历表,在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置相邻的数(如2,3,9,10).如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128,则这4个数中最小的数是.3.(2016山西一模)如图,某工厂的师傅要在一个面积为15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面,且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m,则裁剪后剩下的阴影部分的面积为.能力提升全练拓展训练1.我们都知道从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线.现有一个多边形所有对角线的总条数为90,则这个多边形的边的条数是()A.14B.15C.16D.172.(2017陕西宝鸡渭滨期中)如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2 cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时出发,其中一点到终点,另一点也随之停止.过了秒钟后,△PBQ的面积等于8 cm2.3.(2016江苏徐州撷秀中学月考)如图,每个正方形由边长为1的正方形组成,正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示,在边长为n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,当偶数n=时,P2=5P1.三年模拟全练拓展训练1.(2017四川自贡期中,8,★★☆)如图,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中有两横两竖的,则竖彩条的宽度为彩条,横竖彩条的宽度比为2∶1,如果要使彩条所占面积是图案面积的1975()A.1 cmB.2 cmC.19 cmD.1 cm或19 cm2.(2016黑龙江齐齐哈尔一模,17,★★☆)某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元,每星期可卖出1 000个.市场调查反映,每涨价1元,每星期要少卖出100个;每降价1元,则多卖出100个.已知进价为每个20元,当鼠标垫售价为元/个时,这星期利润为9 600元.3.(2016江苏淮安相城期末,16,★★☆)如图,张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱,且此长方体运输箱底面的长比宽多2米(如图).现已知购买这种铁皮每平方米需20元,算一算张大叔购回这张矩形铁皮共花了元.五年中考全练拓展训练1.(2017甘肃兰州中考,10,★★☆)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为()A.(80-x)(70-x)=3 000B.80×70-4x2=3 000C.(80-2x)(70-2x)=3 000D.80×70-4x2-(70+80)x=3 0002.(2016台湾中考,15,★★☆)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成的,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和.若丙的一股长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的一股长为何?()A.12B.35C.2-√3D.4-2√33.利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地,求矩形的长和宽.核心素养全练拓展训练1.如图,在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分),余下的部分为草坪,要使草坪的面积为510平方米,则道路的宽为()A.1米B.2米C.3米D.4米2.(2016安徽安庆桐城期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向C点匀速运动,其速度为2 m/s,s后△PCQ的面积是△ABC面积的一半.()A.1.5B.9C.1.5或9D.1021.3实际问题与一元二次方程基础闯关全练拓展训练×4) 1.答案B设每台冰箱应降价x元,每台冰箱的利润是(2 400-2 000-x)元,每天卖(8+x50×4)=4 800,整理得x2-300x+20 000=0,解得x1=200,x2=100.台,列方程得(2 400-2 000-x)(8+x50因为要使消费者得到更多实惠,所以x=200.故选B.2.答案8解析设这4个数中最小的数是x,则最大的数为x+8,根据题意可得x(x+8)=128,整理得x2+8x-128=0,(x-8)·(x+16)=0,解得x1=8,x2=-16(舍去),则这4个数中最小的数是8.3.答案 2 m2解析设大正方形的边长为x m,则小正方形的边长为(x-1)m,根据题意得x(2x-1)=15,解得x1=3,x2=-5(不合题意,舍去),∴小正方形的边长为x-1=3-1=2(m),裁剪后剩下的阴影部分的面积2为15-22-32=2(m 2),即裁剪后剩下的阴影部分的面积为2 m 2.能力提升全练 拓展训练1.答案 B 由题意可得12n (n -3)=90,解得n 1=-12(不合题意,舍去),n 2=15.故选B. 2.答案 2或103解析 设经过x 秒,△PBQ 的面积等于8 cm 2,当0<x ≤3秒时,Q 点在BC 上运动,P 在AB 上运动,PB =6-x ,BQ =2x ,所以S △PBQ =12PB ·BQ =12×(6-x )×2x =8,解得x =2或4.又x ≤3,故x =2;当3<x <6秒时,Q 点在CD 上运动,P 在AB 上运动,S △PBQ =12(6-x )×6=8,解得x =103. 3.答案 12解析 观察图形可知:当n 为奇数时,黑色小正方形的个数分别为1,5,9,13,…,2n -1;当n 为偶数时,黑色小正方形的个数分别为4,8,12,16,…,2n .由上可知n 为偶数时,P 1=2n ,白色与黑色的总数为n 2,∴P 2=n 2-2n .根据题意假设存在P 2=5P 1,则n 2-2n =5×2n ,n 2-12n =0,解得n 1=12,n 2=0(不合题意,舍去).故存在偶数n =12,使得P 2=5P 1.三年模拟全练 拓展训练1.答案 A 设竖彩条的宽度为x cm ,则横彩条的宽度为2x cm ,则(30-2x )(20-4x )=30×20×(1-1975), 整理得x 2-20x +19=0,解得x 1=1,x 2=19(不合题意,舍去). 故竖彩条的宽度为1 cm .故选A. 2.答案 32或28解析 涨价时,设涨价x 元,根据题意得:涨价时,有9 600=(30-20+x )(1 000-100x ),整理得x 2=4,解得x 1=2,x 2=-2(不合题意,舍去),故售价为32元;降价时,设降价y 元,有9 600=(30-20-y )·(1 000+100y ),整理得y 2=4,解得y 1=2,y 2=-2(不合题意,舍去),故售价为28元.综上,当鼠标垫售价为32元/个或28元/个时,这星期利润为9 600元. 3.答案 700解析 设箱子的底面的宽为x 米,则长为(x +2)米,由题意,得x (x +2)×1=15,解得x 1=-5(舍去),x 2=3. ∴x +2=5.箱子的底面长为5米,宽为3米. 由长方体表面展开图知,矩形铁皮的面积为(5+2)×(3+2)=35(平方米), ∴购回这张矩形铁皮要花35×20=700(元).五年中考全练 拓展训练1.答案 C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x )cm ,宽为(70-2x )cm 的矩形,由题意可得方程(80-2x )(70-2x )=3 000.2.答案 D 设丁的一股长为a ,且a <2,∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积,∴2a +2a =12×22+12×a 2,∴4a =2+12a 2,∴a 2-8a +4=0,∴a =8±√(-8)2-4×1×42=8±4√32=4±2√3,∵4+2√3>2,不合题意,4-2√3<2,合题意,∴a =4-2√3.故选D.3.解析 设垂直于墙的一边长为x m ,则其邻边长为(58-2x )m ,得x (58-2x )=200. 解得x 1=25,x 2=4.∴其邻边长为8 m 或50 m .答:矩形长为25 m ,宽为8 m 或矩形长为50 m ,宽为4 m .核心素养全练 拓展训练1.答案 C 设道路的宽为x 米,根据题意得20x +33x -x 2=20×33-510,整理得x 2-53x +150=0, 解得x =50(舍去)或x =3,所以道路宽为3米.故选C.2.答案 A 设t s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半, 此时PC =AC -AP =(12-2t )m ,CQ =BC -BQ =(9-2t )m ,∴△PCQ 的面积为12×PC ·CQ =12(12-2t )(9-2t )=(6-t )(9-2t )m 2,∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半,又△ABC 面积为12×AC ·BC =12×12×9=54(m 2),∴(6-t )·(9-2t )=12×54,解得t 1=1.5,t 2=9(不合题意,舍去),即1.5 s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半.故选A.。
浙教版数学八年级下册2.3一元二次方程的应用(1)同步练习.docx
2.3一元二次方程的应用（1）同步练习A 组1、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．225003600x =B ．22500(1)3600x +=C ．22500(1%)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++=2、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是( )A 、256)x 1(2892=-B 、289)x 1(2562=-C 、256)x 21(289=-D 、289)x 21(256=-3、两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x ，则所列方程为__________.4、某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为__________________，解得年利率是_________．5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?6.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，•商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193．6万元，求这两个月的平均增长率．B 组1、一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x ，则所列方程为（ ）A.x2+(x+4)2=10(x－4)+x－4B.x2+(x+4)2=10x+x+4C.x2+(x+4)2=10(x+4)+x－4D.x2+(x－4)2=10x+(x－4)－42、某市2002年底人口为20万人，人均住房面积9m2，计划2003年、2004年两年内平均每年增加人口为1万，为使到2004年底人均住房面积达到10m，则该市两年内住房平均增长率必须达到_________．（10=3.162，11=3.317，精确到1%）3、汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？参考答案A组1.B2.A3. (x+5)·x=844. 400（1+x）2=484，10%5.解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得（3-2-x）（200+400.1x）-24=200．解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．6.解：设这两个月的平均增长率是x，依题意列方程，得200（1-20%）（1+x）2=193.6，（1+x）2=1.21，1+x=±1.1，x=-1±1.1，所以x1=0.1，x2=-2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．B组1.A2. 11%3. （1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1﹢x）2 =2160解得x1= 0.2，x2=－2.2（不合题意，舍去）∴1500（1 + x）=1500（1+0.2）=1800答：2006年该公司盈利1800万元.（2） 2160（1+0.2）=2592答：预计2008年该公司盈利2592万元.4.解：设销售单价应定为x元(1000－10x)(x－40)=8000x1=60，x2=80x=60时，［500－10(x－50)］×40=16000＞10000不合题意舍去而x=80时，［500－10(x－50)］×40=8000＜10000故销售单价定为80元初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
浙教版初中数学2.2 一元二次方程的解法(1)同步练习(含答案)
2.2 一元二次方程的解法（1）重点提示：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边为零；②将方程的左边因式分解，使方程化为A×B=0；③将方程转化为A=0或B=0两个一元一次方程. 【夯实基础巩固】1．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（D）2．使分式的值等于零的x是（A）3．一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（C）4．我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（A）5．方程（5x﹣2）（x﹣7）=9（x﹣7）的根是x1=，x2=76．当x=1或5时，代数式x（x﹣1）的值与代数式5（x﹣1）的值相等．7．若|m﹣1|=2，则关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（m+5）x+4=0的根是x1=x2=1．8．已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣1）=0，则x2+y2=1或2．9．解方程：（1）x2﹣2x﹣3=0. （2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0（1）x1=3，x2=﹣1（2）x1=1，x2=10．阅读后解答问题．解方程：2x2﹣3x﹣2=0.解：2x2﹣3x﹣2=0，拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2=0，提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）=0，再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）=0，∴x﹣2=0或2x+1=0，解得x1=2，x2=﹣．运用上述因式分解法解方程：6x2+7x﹣3=0．6x2+7x﹣3=0，拆项，分组得6x2+9x﹣2x﹣3=0，提公因式，得3x（2x+3）﹣（2x+3）=0，再提公因式，得（2x+3）（3x﹣1）=0，∴2x+3=0或3x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=．【能力提升培优】11．如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（C）12．对于任意实数a，b，规定f（a，b）=a2+5a﹣b，如：f（2，3）=22+5×2﹣3.若f（x，2）=4，则实数x的值是（A）13．已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11=0，a2﹣5b﹣5=0，则b的值是（B）14．若点P（a+b，3）与P′（﹣7，3a﹣b）关于原点对称，则关于x的方程x2﹣2ax﹣=0的根是x1=3，x2=﹣1．15．若x+2是x2﹣mx﹣8的一个因式，我们不难得到x2﹣mx﹣8=（x+2）（x﹣4），易知m=2．现在我们用另一种方法来求m的值：观察上面的等式，可以发现当x=﹣2时，x2﹣mx﹣8=（x+2）（x﹣4）=（﹣2+2）（﹣2﹣4）=0，也就是说x=﹣2是方程x2﹣mx﹣8=0的一个根，由此可以得到（﹣2）2﹣m×（﹣2）﹣8=0，解得m=2．若x+1是2x3+x2+mx﹣6的一个因式，用上述方法可求得m=﹣7．16．已知x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，则x+y的值为﹣7或6．17．用因式分解法解方程：（1）（x﹣3）2=3﹣x（2）（x+3）2=（2x﹣5）2（3）x2-1=2(x+1) （4）（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）（1）x1=3，x2=2（2）x1=8，x2=（3）x1=-1，x2=3（4）x1=1，x2=﹣218．观察下面方程的解法：x4﹣13x2+36=0.解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）=0，∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）=0.∴x+2=0或x﹣2=0或x+3=0或x﹣3=0.∴x1=﹣2，x2=2，x3=﹣3，x4=3.你能否求出方程x2﹣3|x|+2=0的解？原方程可化为|x|2﹣3|x|+2=0，∴（|x|﹣1）（|x|﹣2）=0.∴|x|=1或|x|=2.∴x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2.【中考实战演练】19．【广州】已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（B）20．若a2+2a=0，则（a+1）2014的值为1．【开放应用探究】21．解关于x的方程：x2－2x＋1－k(x2－1)＝0．原方程可化为(1-k)x2-2x+(k+1)=0.。
一元二次方程的应用(1)[下学期]--浙教版4
![一元二次方程的应用(1)[下学期]--浙教版4](https://img.taocdn.com/s3/m/7ff656bdf111f18583d05adc.png)
（4）解：解方程； （5）检验并作答：注意根的准确性及是否 符合实际意义。
了四只仿佛排骨般的纯蓝色手臂。接着忽悠了一个，舞贝柴刀滚七百二十度外加凤笑鸭掌转五周半的招数！接着又秀了一个，直体贝颤前空翻三百六十度外加瞎转八十一周的 粗犷招式！紧接着阳光天使般的脑袋骤然旋转紧缩起来……充满活力、青春四射的幼狮肩膀渗出钢灰色的隐约浪雾……青春光洁，好似小天神般的手掌射出亮蓝色的飘飘余味
……最后甩起坚韧的下巴一笑，快速从里面弹出； 少儿作文加盟 作文加盟品牌 ；一道灵光，他抓住灵光绅士地一摇，一件光闪闪、紫溜溜的咒符 ∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边抖动，一边发出“嘀嘀”的余声……。骤然间蘑菇王子旋风般地让自己好象美妙月牙一样的，镶嵌着无数奇宝的蓝白
思考:(1)若设年平均增
长率为x,你能用x的代 上网计算 数式表示2002年的台 机总台数
数吗?
(2)已知2002年的 台数是多少?
(3)据此,你能列出 方程吗?
(万台)
3200
2400
1600
. 800 350
0
2000年
.892
2000年
.
1254
2001年
. .3089
2083 年份
2002年 2003年
892(1+x)2=2083
1月1日 12月31日 12月31日 12月31日 12月31日
布置作业:
(1)课本38页作业题; (2)作业本.
问题: 某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每 盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株 时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1 株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10 元,每盆应该植多少株?
八年级数学下册第2章一元二次方程23一元二次方程的应用(1)练习(新版)浙教版.docx
2. 3 一元二次方程的应用(一)1.某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元.设平均每次降价的百分率为“则所列方程正确的是()A.289(1 — 02=256B. 256(1—*尸=289C. 289(1-2^)=256D. 256(1-2^)=2892.某超市去年1月的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元.若平均每月增长率为x, 则由题意列方程应为()A.200(1 + ^)2=1000B.200 + 200X2^=1000C.200 + 200X3尸1000D.200[1+ 仃+力 + (1 + 方2]=10003.小明在暑假帮某服装店卖T恤衫时发现，在一段时间内，T恤衫按每件80元销售时，每天的销售量是20件，单价每降低4元，每天就可以多售出8件.己知该T恤衫的进价是每件40元，请问：当每件T恤衫降价多少元时，服装店卖该T恤衫一天能赢利1200元？如果设每件T恤衫降价x元，那么所列方程正确的是()A.(80—0 (20 + 0=1200B.(80 —方(20+2力=1200C.(40—劝(20 +劝=1200D.(40—方(20+2x)=12004.一个两位数，个位上的数比十位上的数小4,且个位数与十位数的平方和•比这个两位数小4.设个位数是x,则所列方程为()A.x + (>r+4)2=10(^—4) +x~4B./+(卄4尸=10卄卄4C.#+(卄4严=1.0(卄4)+/—4D./+ 匕一4)'=10卄(/—4) —45.某校八年级仃)班学生上军训课，把全班人数的g排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，则此班有学生人.6.某楼盘2013年的房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年的房价为每平方米7600元.设该楼盘这两年房价平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程为.7.某商场今年2 M的营业额为400万元,3月的营业额比2月增加了10%, 5月的营业额达到了633. 6万元.求3月到5月营业额的月平均增长率.8.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染屮平均一个人传染了儿个人.(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？9.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件.盈利40元.为•了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定适当降价.经调查发现，若每件衬衫降价1元，则商场平均每天可多售出2件.若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？10.甲、乙、丙三家超市为了促一销一种定价均为刃元的商品，甲超市连续两次降价20%,乙超市一次性降价40%,丙超市第一次降价30%,第二次降价10.%,此时顾客要购买这种商品最划算应到()A.甲超市B.乙超市C.丙超市D.乙超市或丙超市11.甲用1000元人民币购买了一只股票，随即他将这只股票转卖给了乙，获利10%,而后乙又将这只股票返卖给了甲，但乙损失了10%,最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这只股票卖出.在上述股票交易中，甲获利—元.12.—个容器内盛满纯酒精50 L,第一次倒出一部分纯酒精后用水加满；第二次乂倒出同样多的酒精溶液, 再用水加满，这时容器川的酒精溶液含酒精32 L.求每次倒出溶液的升数.13.某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点儿〃同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲运动的路1 3程7 (cm)与时间Ms)满足关系：/=/+尹(心0),乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.(1)甲运动4 s后经过的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？(3)甲、乙从开始运动到第二■次相遇吋，它们运动了多少吋间？14.某超市将甲、乙两种糖果混合销售，并按以下,公式确定混合糖果的单价：单价=空寺竺元/kg,其中m.,加分别为甲、乙两种糖果的质量，0,及分别为甲、乙两种糖果的单价.已知创=20元/kg,型=16元/kg,现将10 kg乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌均匀)销售，售出5 kg后，又在混合糖果中加入5 kg 乙种糖果，再出售时混合糖果的单价为17. 5元/kg.问：这箱甲种糖果有多少千克？1-4ADDC5. 566.8100(1 — 02=76007.设3月到5月营业额的月平均增长率为池根据题意，得400X (1 + 10%) (1+方2=633. 6,解得山=0. 2 = 20%,曲=—2. 2(不合题意，舍去).答：3月到5月营业额的月平均增长率为20%.8.(1)设每轮传染中平均一个人传染了/个人，由题意，得l+x+x(x+l)=64,解得必=7,曲=一9(舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了7个人. (2)64X7=448(人).答：第三轮将又有448人被传染.9.设每件衬衫应降价/元，根据题意，得(40—方(20+2劝=1200,解得為= 10, ^1 = 20.•・•要尽快减少库存，・"=20.・答：每件衬衫应降价20元.10.B11.112.设每次倒出溶液%(L),根据题意，得50(1—韵2 = 32,解得山=10,曲=90(不合题意，舍去). 答：每次倒出溶液10 L.I 3丿=空产+㊁广=8 + 6=14(cm)・答：甲运动4 s后经过的路程是14 cm.(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程为半圆21 cm,1 Q甲•走过的路程为㊁孑+亍龍乙走过的路程为4 &1 3贝牙产+尹+4f=21,解得才】=3, t2= —14(不合题意，舍去).答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s.(3)由图可知,甲、乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆:3X21 =63(cm),1 , 3贝吃产+尹+4方=63,解得方】=7, t2= —18(不合题意，舍去).答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s.14.设这箱甲种糖果有刃kg),则化简并整理，得#一4乂一60 = 0, （X —10） （%+6） =0, .\^i = 10, &=—6（不合题意，舍去）. ・••这箱甲种糖果有10 kg. 5(10+0 = 16X10 + 20x ~10 + x~ • (5+0+16X5,。
2017届中考数学一轮专题复习第8讲一元二次方程及应用精讲精练浙教版20170410253
第8讲一元二次方程考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝0 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.举一反三方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．举一反三 1.解方程：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2）2.解方程组：5 x y12= +=⎪⎩3.解方程组：4.解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）=（a2﹣1）x．考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】如果关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣1=0有实数根，则（）A．m≠1 B．m=﹣1 C．m≠±1 D．m为全体实数方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．举一反三 1.关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．2.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a（x+a）=0的两个实数根为x1，x2，若y=x1+x2+．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a≤﹣2时，比较y与﹣a2+6a﹣4的大小，并说明理由．考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．举一反三 1.已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= ．2. 若t 是一元二次方程2ax bx c 0(a 0)++=≠的根，则判别式2b 4a c ∆=-和完全平方式M=()22at b +的大小关系是( )A.△=MB.△＞MC.△＜MD.大小关系不能确定 3. 已知，关于x 的一元二次方程x 2﹣（a ﹣4）x ﹣a+3=0（a ＜0）． （1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＜x 2），若y 是关于a 的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a 的方程y+a+1=0的解．考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2014年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2016年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2014年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2016年的年产量为多少万辆？方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．举一反三受房贷收紧、对政策预期不确定等因素影响，今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价齐跌态势，数据显示，2016年前两个月，某房地产开发公司的销售面积一共8300平方米，其中2月份比1月份少销售300平方米．（1）求2016年1、2月份各销售了多少平方米；（2）该公司2月份每平方米的售价为8000元，3月份开始，决定以降价促销的方式应对当前的形势，据调查，与2月份相比较，每平方米销售单价下调a%，则销售面积将增加（a+10）%，结果3月份总销售额为3456万元，求a 的值．一、选择题1．关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根B .k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C .k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种2．关于x 的方程220x px q --=（p ，q 是正整数）, 若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（ ） A ．512 B ．14 C ．13D ．123．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A ．方程x 2﹣4x+3=0是3倍根方程B ．若关于x 的方程（x ﹣3）（mx+n ）=0是3倍根方程，则m+n=0C ．若m+n=0且m ≠0，则关于x 的方程（x ﹣3）（mx+n ）=0是3倍根方程D ．若3m+n=0且m ≠0，则关于x 的方程x 2+（m ﹣n ）x ﹣mn=0是3倍根方程 4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．1 D ．﹣1二、填空题1．将关于x 的一元二次方程02=++q px x 变形为q px x --=2，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降 次法”. 已知012=--x x ，可用“降次法”求得432014x x -+值是 .2．(2014下城区一模，14)已知等腰三角形的一腰为x ，周长为20，则方程212310x x -+= 的根为 .3.(2013上城区一模，13)已知1-=x 是一元二次方程0102=-+bx ax 的一个解，且b a -≠，则ba b a 2222+-的值为 ．三、解答题1．已知方程x 2﹣4x+3=0：，解决以下问题： (1)不解方程判断此方程的根的情况；(2)请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法. (3)这些方法都是将解 转化为解 ； (4)尝试解方程：x 3﹣x=02．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t （秒）时该足球距离地面的高度h （米）适用公式h=20t ﹣5t 2（0≤t ≤4）．（1）当t=3时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度为10米时，求t ；（3）若存在实数t 1，t 2（t 1≠t 2）当t=t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m （米），求m 的取值范围．1．设a、b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20172．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，则a的值为（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣33．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则= ．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．5．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若LM=RS=x米，则根据题意可列出方程为．6．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn= ．7．选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0（用配方法）；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为“友好方程”，求m的值．9．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则= ，= ，= ；（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．10.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．11.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．12.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．13.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：（1）计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．答案【例1】 C举一反三 C【例2】解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4举一反三 1.解：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2），两边同时除以x2+4得：x2+1=2x，整理得：x2﹣2x+1=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=12.解：令，则等价于解方程组，解得或．继而解得或．经检验它们都是原方程组的解．3.解：由①得2x=﹣y﹣2，两边平方得：4x2=5y2+20y+20③，把③代入②，整理得7y2+10y﹣8=0，解得：y1=﹣2或y2=，代入②得x1=0或x2=﹣，故原方程组的解为或4.解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）=0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]=0，x1=，x2=；（2）当a2﹣a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2【例3】 D举一反三 1. k≥﹣6解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6，故答案为k≥﹣6．2.解：（1）由x2﹣2x+a（x+a）=0得，x2+（a﹣2）x+a2=0△=（a﹣2）2﹣4××a2=﹣4a+4∵方程有两个实数根，∴﹣4a+4≥0．∴a≤1∵a≥0∴0≤a≤1∴y=x1+x 2+=﹣4a+8+a=﹣3a+8∵﹣3≤0，∴y 随a 的增大而减小当a=0时，y=8；a=1时，y=5∴5≤y≤8．（2）由（1）得a≤1，又a≤﹣2，∴a≤﹣2∴y=x1+x 2+=﹣4a+8﹣a=﹣5a+8当a=﹣2时，y=18；∵﹣3≤0∴y 随a 的增大而减小．∴当a≤﹣2时，y≥18又∵﹣a 2+6a ﹣4=﹣（a ﹣3）2+5≤5而18＞5∴当a≤﹣2时，y ＞﹣a 2+6a ﹣4【例4】解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0.∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.举一反三 1. 8解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=82. A3.解：（1）△=（a﹣4）2+4（a﹣3）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2∵a＜0，∴（a﹣2）2＞0．∴方程一定有两个不相等的实数根；（2），∴x=a﹣3或．∵a＜0，x1＜x2，∴x1=a﹣3，x2=﹣1，∴（a＜0）；（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出（a＜0）和y=﹣a﹣1（a＜0）的图象．由图象可得当a＜0时，方程y+a+1=0的解是a=﹣2．【例5】解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：2016年的年产量为12.5万辆．举一反三 解：（1）设1月份的销售面积为xm 2，则x+（x ﹣300）=8300，解得：x=4300，∴x ﹣300=4000m 2，答：2016年度月销售4300m 2，2月份销售4000m 2．（2）由题意可得：8000（1﹣a%）×4000[1+（a+10）%]=34560000令t=a%，则整理为：50t 2+5t ﹣1=0，解得：t=0.1或t=﹣0.2故a=10或a=﹣20（不符合题意，舍去）答：a 的值为10．一、选择题1． B2． A3． B4． D二、填空题1．20162．3.5三、解答题1．解：(1)041216>=-=∆，有两个不相等的实数根(2)①配方法：1,3,01)2(212===--x x x ;② 因式分解法：3,1,0)3)(1(21===--x x x x(3)一个一元二次方程，两个一元一次方程(4)1,1,0,0)1)(1(321-====+-x x x x x x2．解：（1）当t=3时，h=20t﹣5t2=20×3﹣5×9=15（米），∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米；（2）∵h=10，∴20t﹣5t2=10，即t2﹣4t+2=0，解得：t=2+或t=2﹣，故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米；（3）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2=m 的两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=202﹣20m＞0，∴m＜20，故m的取值范围是0≤m＜20．1．D解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，∴a+b=﹣1；又∵a2+a﹣2014=0，∴a2+a=2014，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2018+（﹣1）=2017即a2+2a+b的值为2017．2．B解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0，n2﹣3n﹣1=0，∴m2﹣3m=1，n2﹣3n=1，∴2m2﹣6m=2，3n2﹣9n=3，而（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，∴（2+a）（3﹣5）=10，∴a=﹣7．3．﹣解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，4．k＜且k≠05．（22﹣x）（17﹣x）=3006．﹣2解：∵x2+mx+n=0是“凤凰”方程，∴1+m+n=0，即n=﹣m﹣1．又∵方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4n=0，将n=﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）=0，解得m=﹣2，∴n=1，∴mn=﹣2×1=﹣2．故答案为﹣2．7．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．8．解：x2﹣4x+5m=mx+5，整理得，x2﹣（4+m）x+5（m﹣1）=0，分解因式得，（x﹣5）[x﹣（m﹣1）]=0，解得x1=5，x2=m﹣1．当x=5时，25+5+m﹣1=0，解得m=﹣24﹣5；当x=m﹣1时，（m﹣1）2+（m﹣1）+m﹣1=0，解得m=1或m=﹣．所以m的值为﹣24﹣5或1或﹣．9．解；（1）∵x2﹣4x+1=0，∴x+=4，∴（x+）2=16，∴x2+2+=16，∴x2+=14，∴（x2+）2=196，∴x4++2=196，∴x4+=194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2=0，∴x+=，x2+=，∴=（x+）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．10.解：（1）根据题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28，∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，整理得m2﹣2m﹣24=0，解得m1=6，m2=﹣4，而m≥2，∴m的值为6；（2）若x1=7时，把x=7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5=0，整理得m2﹣14m+40=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，而7+7＜15，故舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．11.（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△AB C的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．12.解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．13.解：（1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t ﹣）×t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t=；（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，t2+6t﹣7=0，解得：t=﹣7或1，当t=1时，x2+5x+1=1，x2+5x=0，x（x+5）=0，x=0，x+5=0，x1=0，x2=﹣5；当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，x2+5x+8=0，b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，此时方程无解；即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．21。
浙教版八年级下2.3一元二次方程的应用同步练习含答案
第二章一元二次方程2.3 一元二次方程的应用（1）一、选择题1．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=5002．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=283．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7 B．8 C．9 D．104．九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）A．39 B．40 C．50 D．605.（2015•安徽）2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1+x）=4.5 B． 1.4（1+2x）=4.5C．1.4（1+x）2=4.5 D． 1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5二、填空题6.自2012年9月11日日本实行所谓钓鱼岛“国有化”后，中国民众群情激愤并开始大规模抵制日货，某日本品牌汽车在中国的销售量逐月下降，9月份销售量为1.3万台，十月、十一月一共销售量为1.5万台．设九月份到十一月份平均每月下降的百分率为x，则可列方程为．7．受季节变化影响，某品牌衬衣经过两次涨价，由每件169元涨至256元，则平均每次涨价的百分率x所满足的方程为．8．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%．设平均每次降息的百分率为x，则依题意所列的方程为．9．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是．10．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题★11.（2015•毕节市）某商场有A ，B 两种商品，若买2件A 商品和1件B 商品，共需80元；若买3件A 商品和2件B 商品，共需135元．（1）设A ，B 两种商品每件售价分别为a 元、b 元，求a 、b 的值；（2）B 商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B 商品100件；若销售单价每上涨1元，B 商品每天的销售量就减少5件．①求每天B 商品的销售利润y （元）与销售单价（x ）元之间的函数关系？②求销售单价为多少元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？2.3（1）答案：1.B2.B3.C4.B5.C6.5.1)1(3.1)1(3.12=-+-x x7.256)1(1692=+x 8.0020098.1)1(25.2=-x9.10%10. 15或2011（1）根据题意得：，解得：；（2）①由题意得：y=（x﹣20）【100﹣5（x﹣30）】∴y=﹣5x2+350x﹣5000，②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）2+1125，∴当x=35时，y最大=1125，∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．第二章一元二次方程2.3 一元二次方程的应用（2）一、选择题1. （2015•衡阳）小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）A． x（x﹣10）=900 B． x（x+10）=900C． 10（x+10）=900 D． 2[x+（x+10）]=9002. （2015•烟台）等腰三角形三边长分别为2a b、、，且a b、是关于x的一元二次方程2610x x n-+-=的两根，则n的值为（）A．9 B. 10 C. 9或10 D. 8或103. （2015•济南）一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm 3，则原铁皮的边长为（ ）A ．10cmB ．13cmC ．14cmD ．16cm★4. 从一块正方形的铁片上剪掉2cm 宽的长方形铁片, 剩下的面积是48cm 2, 则原来铁片的面积为………………………………………………………………………（ ）A. 64cm2B. 100cm2C. 121cm2D. 144cm2二、填空题5. 直角三角形的斜边长为8, 周长为18, 若设一条直角边长为x , 则可得方程 .6. （2015·湖北省随州市，第15 题3分）观察下列图形规律：当n=时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．三、解答题7. 如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度．8. 某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30•节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至A 处时，电子侦察船正位于A 处正南方向的B 处，且AB=90海里，•如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，•最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．★9. 如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽．（1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽．_ 东（2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽．（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？2.3（2）答案1.B2. B3. D4.A5． x 2+(18－8－x )2=826. 57.小路宽为2米。
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一元二次方程的应用（01）一、选择题1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．168（1+x）2=128 B．168（1﹣x）2=128C．168（1﹣2x）=128 D．168（1﹣x2）=1282．近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（）A．2016（1﹣x）2=1500B．1500（1+x）2=2160C．1500（1﹣x）2=2160D．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=21603．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144 4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81 B．100（1﹣x）2=81 C．100（1﹣x%）2=81 D．100x2=815．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（）A．x（20+x）=64 B．x（20﹣x）=64 C．x（40+x）=64 D．x（40﹣x）=646．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=35007．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=8．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x﹣11）=180 B．2x+2（x﹣11）=180 C．x（x+11）=180 D． 2x+2（x+11）=1809．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是（）A．x（x﹣60）=1600 B．x（x+60）=1600 C．60（x+60）=1600 D．60（x﹣60）=1600 10．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.511．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315 12．沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A．20（1+2x）=80 B．2×20（1+x）=80 C．20（1+x2）=80 D．20（1+x）2=8013．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣10）=900 B．x（x+10）=900 C．10（x+10）=900 D．2[x+（x+10）]=900 14．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=015．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2013年投入5000万元，预计2015年投入8000万元．设教育经费连续两年的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．5000（1+x）2=8000 B．5000x2=8000C．5000（1+x%）2=8000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2=800016．某商场四月份的利润是28万元，预计六月份的利润将达到40万元．设利润每月平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（）A．28（1+x）2=40 B．28（1+x）2=40﹣28 C．28（1+2x）=40 D．28（1+x2）=4017．某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难学生400元，今年上半年发给了500元．设每半年发给的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．500（1+x）2=400 B．400（1+x）2=500 C．400（1+2x）=500 D．500（1+2x）=400 18．2012年滕县某陶瓷厂年产值3500万元，2014年增加到5300万元．设平均每年增长率为x，则下面所列方程正确的是（）A．3500（1+x）=5300 B．5300（1+x）=3500C．5300（1+x）2=3500 D．3500（1+x）2=530019．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6 B．x（5﹣x）=6 C．x（10﹣x）=6 D．x（10﹣2x）=620．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=1521．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=2822．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x2=21 B． x（x﹣1）=21 C． x2=21 D．x（x﹣1）=2123．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A．200（1﹣x）2=162 B．200（1+x）2=162 C．162（1+x）2=200 D．162（1﹣x）2=200二、填空题24．某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为．25．某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为．26．新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为．27．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为．28．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得．29．2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列方程为．30．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．一元二次方程的应用（01）参考答案一、选择题（共23小题）1．B；2．B；3．D；4．B；5．B；6．B；7．B；8．C；9．A；10．C；11．B；12．D；13．B；14．C；15．A；16．A；17．B；18．D；19．B；20．A；21．B；22．B；23．A；二、填空题（共7小题）24．8100×（1﹣x）2=7600；25． x（x﹣1）=2×5；26．（40﹣x）（20+2x）=1200；27．（22﹣x）（17﹣x）=300；28．x2﹣70x+825=0；29．1585（1+x）2=2180；30．（30﹣2x）（20﹣x）=6×78；。