中考数学专项训练-等腰三角形与直角三角形

中考数学专项训练-等腰三角形与直角三角形
1．(武汉中考)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( D) A．4 B．5 C．6 D．7
(第1题图)
(第2题图)
2．(遵义红花岗二模)如图,在△ABC中,∠C＝45°,点D在AB上,点E在BC上．若AD＝DB＝DE,AE＝1,则AC的长为( D)
A. 5 B．2 C. 3 D. 2
3．如图,在△ABC中,∠B＝30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB,若BC＝2,则AC的长为( B)
A. 3 B．1 C. 2 D．2
(第3题图)
(第4题图)
4．(南充中考)如图,等边△OAB 的边长为2,则点B 的坐标为( D )
A ．(1,1)
B ．(3,1)
C ．(3,3)
D ．(1,3)
5．(陕西中考)如图,在△ABC 中,∠A ＝36°,AB ＝AC,BD 是△ABC 的角平分线,若在边AB 上截取BE ＝BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( D )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
(第5题图)
(第6题图)
6．(东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何？”题意是：如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B 处,则问题中葛藤的最短长度是__25__尺．
7．(绥化中考)在等腰△ABC 中,AD ⊥BC 交直线BC 于点D,若AD ＝1
2BC,则△ABC 的顶角的
度数为__30°或150°或90°__．
8．(聊城中考)如图,在△A BC 中,∠C ＝90°,∠A ＝30°,BD 是∠ABC 的平分线,若AB ＝6,则点D 到AB 的距离是__3__．
9．(遵义航中二模)已知：一等腰三角形的两边长x,y 满足方程组⎩⎨⎧2x －y ＝3，
3x ＋2y ＝8，
则此等
腰三角形的周长为__5__．
10．(遵义十一中二模)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2,求DF的长．
解：(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB,
∴∠EDC＝∠B＝60°,
∵EF⊥DE,
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°；
(2)∵∠ACB＝60°,∠EDC＝60°,
∴△EDC是等边三角形,
∴ED＝CD＝2,
∵∠DEF＝90°,∠F＝30°,∴DF＝2DE＝4.
11．(汇川升学中考模拟)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB＝1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上,则CE∶CF＝( B)
A.7
8
B.
4
5
C.
5
6
D.
6
7
(第11题图)
(第12题图)
12．(汇川升学二模)如图,正方形ABCD 的边长为2,其面积标记为S 1,以CD 为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S 2,……,按照此规律继续下去,则S 2 015的值为( C )
A .⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2 012
B .⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2 013
C .⎝ ⎛⎭⎪⎫122 012
D .⎝ ⎛⎭
⎪⎫122 013 13．(庆阳中考)如图,一张三角形纸片ABC,∠C ＝90°,AC ＝8 cm ,BC ＝6cm .现将纸片折叠：使点A 与点B 重合,那么折痕长等于__
15
4
__cm . (第13题图)
(第14题图)
14．(淮安中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝6,BC ＝8,点F 在边AC 上,并且CF ＝
2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是__1.2__.
15．(长春中考)如图①,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等的直角三角形,若EF＝2,DE＝8,则AB的长为__10__．
图①
图②
16．(遵义升学三模)如图,在等腰Rt△ACB中,∠ACB是直角,AC＝BC,把一个45°角的顶点放在C处,两边分别与AB交于E,F两点．
(1)将所得△ACE以C为中心,按逆时针方向旋转到△BCG,试求证：△EFC≌△GFC；
(2)若AB＝10,AE∶BF＝3∶4,求EF的长．
解：(1)由旋转知：△BCG≌△ACE.
∴CG＝CE,∠BCG＝∠ACE,
∵∠ACE＋∠BCF＝45°,
∴∠BCG＋∠BCF＝45°,
即∠GCF＝∠ECF＝45°,而CF为公共边, ∴△EFC≌△GFC(SAS)；
(2)连接FG,由△BCG≌△ACE知：
∠CBG＝∠A＝45°,
∴∠GBF＝∠CBG＋∠CBF＝90°,
由△EFC≌△GFC知：EF＝GF,
设BG＝AE＝3x,BF＝4x,
则在Rt△GBF中,GF＝5x,
∴EF＝GF＝5x,于是3x＋5x＋4x＝10,
解得x＝5
6
,∴EF＝
25
6
.
17．(菏泽中考)如图,已知∠ABC＝90°,D是直线AB上的点,AD＝BC.
图①
图②
(1)如图①,过点A作AF⊥AB,并截取AF＝BD,连接DC,DF,CF,判断△CDF的形状并证明；
(2)如图②,E是直线BC上的一点,且CE＝BD,直线AE,CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗？若是,请求出它的度数,若不是,请说明理由．
解：(1)△CDF是等腰直角三角形．
理由如下：∵∠ABC＝90°,AF⊥AB,
∴∠FAD＝∠DBC.
∵AD＝BC,AF＝BD,∴△FAD≌△DBC.
∴FD＝DC,∠DCB＝∠FDA.
∵∠DCB＋∠BDC＝90°,
∴∠FDA＋∠BDC＝90°.即∠CDF＝90°.
∴△CDF是等腰直角三角形；
(2)∠APD的度数是一个固定的值．理由如下：过点A作AF⊥AB,
并截取AF＝BD,连接DF,CF.
∵∠ABC＝90°,AF⊥AB,
∴AF∥CE.
又∵BD＝CE,AF＝BD,
∴AF＝CE,∴四边形AFCE是平行四边形．
∴FC∥AE.
∴∠APD＝∠FCD＝45°.。