2021北京海淀初三一模数学含答案

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北京海淀初三数学一模
学校_____________姓名_____________准考证号_____________
满分100分。

考试时间120分钟
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．右图所示是某几何体的三视图，该几何体是
( A ) 圆柱 ( B ) 球 ( C ) 三棱柱
( D ) 长方体
2．2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59 000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59 000用科学记数法表示应为 ( A )50.5910⨯
( B )55.910⨯
( C )45.910⨯
( D )35.910⨯
3
( A ) ( B )
( D )
4．如图所示是一个可自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是
( A )
14
( B )
1
2
( C ) 34
( D ) 1
5．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的边数是
( A ) 3
( B ) 4 ( C ) 5 ( D ) 6
2
6．实数a 与b 在数轴上对应点的位置如图所示．则正确的结论是
（A ）0a < （B ）a b < （C ）50b +> （D ）a b > 7. 已知x =1是不等式20x b -<的解，b 的值可以是
( A ) 4
( B ) 2 ( C ) 0 ( D ) 2-
8．如图所示，AB 是
O 直径，
点C 、D 将AB ⌒ 分成相等的三段弧，点P 在AC ⌒ 上．已知点Q 在AB ⌒ 上且∠APQ =115°，则点Q 所在的弧是
( A ) AP
⌒ ( B ) PC ⌒ ( C ) CD
⌒ ( D ) DB ⌒ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9
x 的取值范围是 ． 10．方程组3,
26x y x y +=⎧⎨
-=⎩
的解为 ．
11．如图所示，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板.如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是
．
12a 的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a 的值 ． 13．计算：211
()111
x x x x -⋅
--+= ． 14．已知关于x 的方程2(2)40x m x -++=有两个相等的实数根，则m 的值是 ．
15．图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图所示2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S 1，S 2，则12S S
-的值为 ．
A
B
3
16．图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点．甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
如图所示2，甲先画出线段AB ，乙随后画出线段BC ．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是_______．（填“甲”，“乙”或“不确定”）．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：0
|2cos 45(1)-︒+π-+
18．解不等式组：4(1)7,32.4
x x x x +≥+⎧⎪
⎨+>⎪⎩
A
C
图2
图1
4
19．如图所示，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB =DE ，BE =CF ．
求证：A D ∠=∠．
20．已知210a a +-=，求代数式()()()222a a a a +-++的值．
21．如图所示，四边形ABCD 是矩形，点E 是边BC 上一点，AE ⊥ED ．
（1）求证：△ABE ∽△ECD ；
（2）F 为AE 延长线上一点，满足EF =EA ，连接DF 交BC 于点G ．若AB =2，BE =1求GC 的长．
22．我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时．如图所示1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆．正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
F
E D
C B
A
G
F
E D
C
B
A
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在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图所示2，地面上放置一根长2m 的杆AB ，向正北方向画一条射线BC ，在BC 上取点D ，测得BD =1.5m ，AD =2.5m ．
（1）判断：这个模型中AB 与BC 是否垂直．答：________（填“是”或“否”）； 你的理由是：____________________________________________________．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角α的值，如下表：
和点N 的位置； ②记秋分时的表影为BP ，推测点P 位于（ ） A ．线段MN 中点左侧 B ．线段MN 中点处
C ．线段MN 中点右侧
23．已知直线:(0)l y kx k =≠过点(1,2)A -．点P 为直线l 上一点，其横坐标为m . 过点P 作y 轴的垂线，与函数4
(0)y x x
=
>的图象交于点Q ． （1）求k 的值；
（2）①求点Q 的坐标（用含m 的式子表示）；
②若△POQ 的面积大于3，直接写出点P 的横坐标m 的取值范围．
24．牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
x
y
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a ．两部影片上映第一周单日票房统计图
b ．两部影片分时段累计票房如下
（1）2月12日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为_________；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是______________；
① 甲的单日票房逐日增加；
② 甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③ 在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过_______亿元．
25．如图所示，AB 是⊙O 的弦，C 为⊙
O 上一点，过点C 作AB 的垂线与AB 的延长线交于点D ，连接BO 并延长，与⊙O 交于点E ，连接EC ，∠ABE =2∠E ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若1
tan 3
E
，BD =1，求弦AB 的长．
7
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
22(0)y ax ax a a =-+->．分别过点(,0)M t 和点(2,0)N t +作x 轴的垂线，交抛物线于点A 和点B ．记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包括A ，B 两点）． （1）求抛物线的顶点坐标；
（2）记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m ．
①当a =2时，若图形G 为轴对称图形，求m 的值； ②若存在实数t ，使得m =2，直接写出a 的取值范围．
27．如图所示，在△ABC 中，=AB AC ，40BAC ∠=︒，作射线CM ，80ACM ∠=︒．D 在射线CM 上，连接AD ，
E 是AD 的中点，C 关于点E 的对称点为
F ，连接DF ．
备用图
（1）依题意补全图形；
（2）判断AB 与DF 的数量关系并证明；
（3）平面内一点G ，使得DG DC =，FG FB =，求CDG ∠的值．
8
28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，且∠AOM =α，则称线段MN 是点A 的“α-相关线段”．例如，图1中线段MN 是点A 的“30°-相关线段”．
图1 图2
（1）已知点A 的坐标是(0,2)．
①在图2中画出点A 的“30°-相关线段”MN ，并直接写出点M 和点N 的坐标； ②若点A 的“α-相关线段”
经过点，求α的值；
（2）若存在,()αβαβ≠使得点P 的“α-相关线段”和“β-相关线段”都经过点(0,4)，记PO=t ，直接写出t 的取值范围．
x
9
2021北京海淀初三一模数学
参考答案
一、选择题 （本题共16分，每小题2分）
9．1x ≥ 10．3,
0x y =⎧⎨
=⎩
11．110° 12．答案不唯一，如：13．1
14．2或
-6 15．9
16．乙
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分）
解：原式212
=⨯++ 1=+
18．（本小题满分5分）
解：原不等式组为4(1)7,32.4
x x x x +≥+⎧⎪
⎨+>⎪⎩①②
解不等式①，得1x ≥． 解不等式②，得2x ＜． ∴ 原不等式组的解集为12x ≤＜． 19．（本小题满分5分）
证明：∵ AB ∥DE ，
10
∴ ∠B =∠DEF ． ∵ BE =CF ，
∴ BE +EC =CF +EC ． ∴ BC =EF ． 在△ABC 和△DEF 中，
,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △ABC ≌ △DEF ． ∴ ∠A =∠D ． 20．（本小题满分5分）
解：()()()222a a a a +-++ 2242a a a =-++ 2224a a =+-
∵ 210a a +-=
∴ 21a a += ∴ 原式()
224a a =+-
2=-
21．（本小题满分6分）
（1）证明：
∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠B =∠C =90°． ∴ ∠BAE +∠AEB =90°． ∵ AE ⊥ED ， ∴ ∠AED =90°． ∴ ∠AEB +∠CED =90°． ∴ ∠BAE =∠CED ．
G
F
E
D
C
B
A
11
∴ △ABE ∽ △ECD ． （2）解：
∵ 由（1），△ABE ∽ △ECD ， ∴
AB EC
BE CD
=
． ∵ 矩形ABCD 中，CD =AB =2，BE =1， ∴ EC =4． ∴ BC =BE +EC =5． ∵ AD ∥BC ，
∴ △AFD ∽ △EFG ． ∴
AD AF
EG EF
=
． ∵ AE =EF ， ∴ AF =2EF ． ∴
2AD EG =，即115
222
EG AD BC ===． ∴ CG =EC -EG =
3
2
． 22．（本小题满分5分）
（1）是，
理由：由测量结果可知222AB BD AD +=，由勾股定理的逆定理可知AB ⊥BC ． （2）① 如图所示，点M 和点N 即为所求．
② A ． 23．（本小题满分6分）
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（1）解：
∵ 直线y kx =过点A （1-，2）， ∴ 2k -=，即2k =-． （2）① 解：
∵ P 在直线2y x =-上且横坐标为m ， ∴ 点P 的纵坐标为2P y m =-， ∵ PQ ⊥y 轴，
∴ 点Q 的纵坐标为2Q y m =-． ∵ 点Q 在函数4
y x
=
（0x >）的图象上， ∴ 点Q 的横坐标为422Q x m m
==--． ∴ 点Q 的坐标为（2
m
-
，2m -）． ② 1m <- 24．（本小题满分5分）
（1）4.36 （2）②③ （3）8.61 25．（本小题满分6分）
（1）证明：连接OC ，在⊙O 中 ∵ ∠BOC =2∠E ，∠ABE =2∠E ， ∴ ∠BOC =∠ABE ． ∴ AB ∥OC ．
∴ ∠OCD +∠ADC =180°． ∵ AB ⊥CD 于点D ，
∴ ∠ADC =90°． ∴ ∠OCD =90°．
∴ OC ⊥CD ．
∴ CD 是⊙O 的切线． （2）解： 方法1： 连接AC ，BC ， ∵ BE 是⊙O 的直径， ∴ ∠BCE =90°． ∴ ∠OBC +∠E =90°． ∵ ∠OCD =90°，
∴ ∠OCB +∠BCD =90°． ∵ OB =OC ， ∴ ∠OCB =∠OBC ．
∴ ∠E =∠BCD ．
∴ 1tan tan 3BCD E ∠==．
∴ 在Rt △BCD 中，3tan BD
CD BCD
==∠．
∵ ∠A =∠E ，
∴ 在Rt △ACD 中，9tan CD
AD A
=
=． ∴ 8AB AD BD =-=． 方法2：
连接CD ，过点O 作OH ⊥AB 于H ，设⊙O 的半径为r ． 同方法1可得∠BCD =∠E ，CD =3． ∵ OH ⊥AB ，
∴ ∠OHD =90°=∠OCD =∠ADC ． ∴ 四边形OHDC 是矩形． ∴ OH =CD =3，HD =OC =r ，
14
∴ 1HB HD BD r =-=-．
∵ Rt △OHB 中，222OH HB OB +=， ∴ ()2
223+1r r -=． 解得：5r =． ∴ 4HB =．
∴ 由垂径定理，AB =2HB =8． 26．（本小题满分6分）
（1）抛物线的解析式为()2
22212y ax ax a a x =-+-=--， ∴ 抛物线的顶点坐标为（1，2-）． （2）① 当2a =时，抛物线为()2
212y x =--，其对称轴为1x =． ∵ 图象G 为轴对称图形，
∴ 点A ，B 必关于对称轴1x =对称． ∵ 点A 的横坐标为t ，点B 的横坐标为2t +， ∴ AB =2，
∴ 0t =，点A 为（0，0），点B 为（2，0）．
∵ 当01x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 图象G 上任意一点的纵坐标最大值为0，最小值为2-． ∴ 2m =． ② 02a <≤ 27．（本小题满分7分）
（1）下图即为所求
B
15
（2）AB 与DF 的数量关系是AB =DF ． 证明：∵ 点F 与点C 关于点E 对称， ∴ CE =FE ． ∵ E 是AD 的中点， ∴ AE =DE ． ∵ ∠AEC =∠DEF ， ∴ △AEC ≌ △DEF ∴ AC =DF ． ∵ AB =AC ，
∴ AB =DF ． （3）如图所示，点G 的位置有两种情况．
① 点G 与点C 在直线DF 同侧时，记为1G ，连接AF ， ∵ AE =DE ，CE =EF ，
∴ 四边形ACDF 是平行四边形． ∴ AF =CD ． ∵ 1DG CD =， ∴ 1DG AF =， ∵ AB =DF ，1BF FG =， ∴ △ABF ≌ △DF 1G ． ∴ 1FDG BAF ∠=∠．
∵ □ACDF 中，∠CAF =∠CDF ，
21
B
16
∴ 1FDG CDF BAF CAF ∠-∠=∠-∠． ∴ 140CDG BAC ∠=∠=︒．
② 点G 与点C 在直线DF 异侧时，记为2G ， ∵ 12DG DG =，12FG FG =，DF =DF ， ∴ △1DFG ≌ △2DFG ． ∴ 12DFG DFG ∠=∠．
∵ □ACDF 中，AC ∥DF ，∠ACD =80°， ∴ ∠CDF =180°－∠ACD =100°． ∵ 由①，140CDG ∠=︒，
∴ 11140FDG ACD CDG ∠=∠+∠=︒． ∴ 2140FDG ∠=︒．
∴ 22360120CDG CDF FDG ∠=︒-∠-∠=︒． 综上，∠CDG 的度数为40°或120° 28．（本小题满分7分）
（1）① 如图所示，MN 即为所求．
点M 的坐标是（1
N 的坐标是（1
2）． ② 解：
∵ 点A 的“α-相关线段”MN
经过点，
∴点M
必在直线x=
记直线x=x轴交于点H
0），
∵OM=OA=2
，OH，
∴
1
MH==，30
MOH
∠=︒．
分两种情况：
a) 当点M在x轴上方时，点M
恰为，符合题意，
此时∠AOM=60°，60
α=︒；
b) 当点M在x轴下方时，点M
为1)
-，由MN=2知点N
为，
也符合题意，此时∠AOM=120°，120
α=︒．综上，α的值为60°或120°．
（2
）4
t
<≤
17。