绍兴市名校2022届数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

绍兴市名校2022届数学高二第二学期期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．设集合{}1
2,2,|
2M N x x ⎧⎫=-=<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是( ) A ．N M ⊆
B ．M N ⊆
C ．{}2N M =I
D ．N M R =I 【答案】B
【解析】
分析：先根据解分式不等式得集合N ，再根据数轴判断集合M,N 之间包含关系，以及根据交集定义求交集. 详解：因为12N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭
，所以(,0)(2,)N =-∞⋃+∞, 因此M N ⊆，{}2,2N M ⋂=-，选B.
点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．
2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．
考点：简单的线性规划问题．
3．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x<10}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则(∁U A)∩B ＝( ) A ．{6，8} B ．{2，4} C ．{2，6，8} D ．{4，8}
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简已知条件,再求,()U U C A C A B ⋂.
【详解】
由题得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,U =
U C A ={}5,6,7,8,9,因为{}2,4,6,8B =,
∴()U C A B =I {}6,8,故答案为A
【点睛】
本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.
4．设点F 和直线l 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点和一条渐近线，若F 关于直线l 的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B C D 【答案】C
【解析】
【分析】
取双曲线的左焦点为E ，设右焦点为F ，l 为渐近线，l 与渐近线的交点为,A F 关于直线l 的对称点设为P ，连接PE ，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
如图所示，取双曲线的左焦点为E ，设右焦点为F ，l 为渐近线，l 与渐近线的交点为,A F 关于直线l 的对称点设为P ，连接PE ，
直线l 与线段PF 的交点为A ，因为点P 与F 关于直线l 对称，
则l PF ⊥，且A 为PF 的中点，所以,,22AF b OA a PE AO a ====， 根据双曲线的定义，有2PF PE a -=，则222b a a -=，即2b a =，
所以c e a === 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
5．设R x ∈，则“11||22
x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式1122
x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<， 由31x <⇔1x <. 据此可知1122x -
<是31x <的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>与双曲线22
222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两曲线的一个公共点，且1260F PF ︒∠=，若椭圆离心率12e =则双曲线2C 的离心率2e =（ ） A ．72 B ．62C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值．
【详解】
设1||PF s =，2||PF t =，P 为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=，
解得s a m =+，t a m =-，
在三角形12F PF 中，1260F PF ∠=︒，
可得22222222242cos6022()c s t st a m am a m am a m =+-︒=++++---，
即有22234a m c +=， 可得22
2234a m c c
+=， 即为2212
134e e +=，
由1e =
2e =， 故选B ．
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
7．一物体在力5,02()34,2
x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩（单位:N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从0x =处运动到4x =处（单位:)m ，则力()F x 所做的功为（ ）
A ．54焦
B ．40焦
C ．36焦
D ．14焦
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，4]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案
【详解】
由题意得：424224020023()5(34)5|(4)|362
W F x dx dx x dx x x x ==++=++=⎰⎰⎰． 故选：C ．
【点睛】 本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应．
8．已知双曲线
的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【解析】
，，渐近线方程为，即，
故选A.
9．设,(0,1)a b ∈，:P “a b <”，:q “log log a b a b b a <”，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行判断即可得到答案.
【详解】
充分性：01a b <<<⇒22lg lg 0(lg )(lg )a b a b <<⇒>. 所以22lg lg (lg )(lg )lg lg b a a b b a a b a b
<⇒< 即：log log a b a b b a <，充分性满足.
必要性：因为,(0,1)a b ∈，所以log 0a b >，log 0b a >.
又因为log log a b a b b a <，所以log log a b b b a a <，即2(log )a b b a
<. 当a b =时，11<，不等式不成立.
当a b >时，01b a
<<，log 1a b >，不等式2(log )a b b a <不成立
当a b <时，
1b a
>，0log 1a b <<，不等式2(log )a b b a <成立. 必要性满足. 综上：p 是q 的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题主要考查充要条件，同时考查了对数的比较大小，属于中档题.
10．命题“2
1,3,204
x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．9a ≥
B ．8a ≤
C ．6a ≥
D ．7a ≤ 【答案】A
【解析】
【分析】 根据21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦
，成立，求得7a ≥，再根据集合法，选其子集即可. 【详解】 因为21,3,204
x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦，成立， 所以21,3,24
x a x ⎡⎤∀∈≥-⎢⎥⎣⎦，成立， 所以7a ≥，
命题“2
1,3,204
x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦”为真命题的一个充分不必要条件是9a ≥. 故选：A
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立及逻辑关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．知2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，那么a b +=（ ） A ．14 B ．14- C ．12 D ．12
- 【答案】A
【解析】
分析：偶函数的定义域满足关于原点对称，且()()f x f x =-由此列方程解a b ，
详解：()2f x ax bx =+是定义在[]1,3a a -上的偶函数，所以11304
a a a -+=⇒=
()()f x f x =-，解得0b =，故选A
点睛：偶函数的定义域满足关于原点对称，且()()f x f x =-，二次函数为偶函数对称轴为y 轴。

12．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，两条渐近线与圆22()1(0)-+=>x m y m 相切，若双曲线的离心
m 的值为（ ）
A
B
C
D
【答案】A
【解析】
【分析】
先由离心率确定双曲线的渐近线方程，再由渐近线与圆相切，列出方程，求解，即可得出结果.
【详解】
22221(0,0)x y a b a b -=>>渐近线方程为：b y x a
=±，
又因为双曲线的离心率为=
=c e a ，222c a b =+，
所以b a
=
y =， 因为两条渐近线与圆22()1(0)-+=>x m y m
相切，得：1=，
解得=
m 故选A 。

【点睛】 本题主要考查由直线与圆的位置关系求出参数，以及由双曲线的离心率求渐近线方程，熟记双曲线的简单性质，以及直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=，设2log n n b a =，则
122320172018111b b b b b b +++L 的值是__________． 【答案】
40332017
【解析】
【分析】
根据{}n S 是等比数列得出2n n S =，利用数列项与和的关系，求得n a ，从而得出n b ，利用裂项相消法求出答案.
【详解】
由12n n S S +=可知，数列{}n S 是首项为112S a ==，公比为2的等比数列，
所以2n n S =.
2n ≥时， 111222n n n n n n a S S ---=-=-=.
211log 1,2n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩
，. 2n ≥时, ()1111111n
n b b n n n n
+==--- 12232017201811111111140331122232016201720172017
b b b b b b +++=+-+-++-=-=L L . 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.
14．如图所示，AC 与BD 交于点E ，AB∥CD，AC=35，AB=2CD=6，当tanA=2时，BE CD ⋅u u u v u u u v
=_____． 【答案】12
【解析】
分析：根据余弦定理求出2BE ，再由余弦定理可得cos ABE ∠，根据平面向量的数量积公式求解即可.
详解：由//,=35=2CD=6AB CD AC ,tan 2A =
可知255225,55
AE EC sinA A ====， 在ABE ∆中，2222cos 32BE AE AB AE AB A =+-⋅⨯=,
2222cos 22
AB BE AE ABE AB BE +-∴∠==⋅， 2423122
BE CD ∴⋅=⨯=u u u v u u u v ，故答案为12. 点睛：本题主要考查平面向量数量积公式，余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定
要熟记两种形式：（1）222
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种
形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 15．若函数()211a x f x x -=+-为奇函数，则a 的取值范围为__________． 【答案】(]0,1 【解析】
分析：()2
11
a x f x x -=+-中，0a >，由2y a x =-在定义域内是一个偶函数，,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦，知()11g x x =+-为奇函数，由此能求出a 的取值范围.
详解：()2
11
a x f x x -=+-中，20,0x a x ≠-≥， 20a x ∴≥>，
Q 2y a x =-在定义域内是一个偶函数，,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦
， ∴要使函数()2
11
a x f x x -=+-为奇函数，则()11g x x =+-为奇函数， ①当11x -≤≤时，()11g x x x =+-=；
②当1x >时，()11g x x x =+-=；
③当1x <时，()112g x x x =---=--.
∴只有定义域为[]1,1-的子区间，且定义域关于0对称，()g x 才是奇函数，
1a ∴≤，即1a ≤，
01a ∴<≤.
故答案为：(]0,1.
点睛：本题考查函数的奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活应用. 16．如图，在ABC ∆中，2BC =，AB 6=
，23ACB π∠=，点E 在边AB 上，且ACE BCE ∠=∠，将射线CB 绕着C 逆时针方向旋转
6
π，并在所得射线上取一点D ，使得31CD =-，连接DE ，则CDE ∆的面积为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
由余弦定理求得1AC =，再结合正弦定理得sin 2
BAC ∠=，进而得
sin sin 34AEC ππ⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，得4CE =- 【详解】
由2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，得2220AC AC +-=，解得1AC =
.
因为sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，所以sin 2
BAC ∠=，4BAC π∠=，
所以()sin sin sin 34AEC ACE BAC ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=
⎪⎝⎭.
又因为sin sin CE AC BAC AEC
=∠∠，所以4CE =-
因为2
ECD BCE BCD π∠=∠+∠=，所以152DCE S CE CD ∆=⋅=.
故答案为5
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的长轴长为4，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当a b >时，设(,0)()M m m ∈R ，过M 作直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，记椭圆C 的左顶点为A ，直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1214
k k =-，求实数m 的值. 【答案】（Ⅰ）22143x y +=或22
134
x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据椭圆的焦点位置的不同进行分类讨论，利用长轴长和离心率可以求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由a b >，可以确定椭圆的标准方程，过M 作直线l 可以分为二类，一类是没有斜率，一类有斜率，分别讨论，直线l 没有斜率时，可直接求出两点坐标，利用1214k k =-，可以求出M 点坐标，当存在斜率。