2006年上海市奉贤等郊区高考数学模拟测试试卷

2006年上海市奉贤等郊区高考数学模拟测试试卷
若文理都做，阅卷时以理科考生处理
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1、函数()21x
f x =+，则()1
3f -= 2、计算22lim 231
n n n n - +=
3、已知ABC ∆中,sin :sin :sin 4:3:2A B C =,则cos A 的值为_____
4、过圆225x y +=上一点()2,1的圆的切线方程是
5、已知正四棱锥P －ABCD 的高为，侧棱与底面所成的角为60
，则该正四棱锥的体积是 6、（理）已知定点A （4，0）和圆2
2
4x y +=上的动点B ，动点P 满足
2OA OB OP +=
，则点P 的轨迹方程为___________________________ （文）已知定点A （4，0）和圆224x y +=上的动点B ，点P 是线段AB 的中点，则点P 的轨迹方程为___________________________
7、（理）二项式6
2⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-x x 的展开式中常数项的值为
（文）方程lg lg (3)1x x ++=的解集 8、（理）函数)3
cos(cos π
+
=wx wx y ()0w >的最小正周期是
2
π
，则w =____ （文）函数sin cos (0)y wx wx w =>的最小正周期是
2
π
，则w =_____ 9、（理）在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=两点，则AB =________
（文）已知实数,x y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤02y y x x y ，则3z x y =+的最大值是_____
10、在教室内有10个学生，分别佩带着从1号到10号的校徽，任意选3人记录其校徽的号码，则其中有一个学生的号码最小为5的概率是__________ 11、等差数列{}k a 的依次k 项的和组成的数列：12k a a a +++ ，
122k k k a a a +++++ ，…，12mk mk mk k a a a ++++++ )(n mk ≤仍为等
差数列，将该命题中的“等差数列”改为“等比数列”：即等比数列{}k b 的依次k 项的和组成的数列：12k b b b +++ ，122k k k b b b +++++ ，…，
12mk mk mk k b b b ++++++ )(n mk ≤仍为等比数列，则当公比q 满足条件
_______时结论恒成立。

12、已知集合M ＝{x |1≤x ≤10，x ∈N }，对它的非空子集A ，将A 中每个元素
k ，都乘以(－1)k 再求和，如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3
＋(－1)6
·6＝2，则对M 的所有非空子集，这些和的总和是 ． 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其
中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.
13、双曲线22
22
1x y a b
-=关于直线y x =对称的曲线方程是 （ ）
A 、22
22
1x y b a -=；
B 、22221y x b a -=；
C 、22221y x a b -=；
D 、2222
0x y b a -=； 14、（理）不同的直线n m ,和不同的平面,,a b g ，则βα⊥的一个充分不必要
条件 （ ）
A 、γβγα⊥⊥,；
B 、βα⊂⊥m m ,；
C 、βα⊥⊥n m ,；
D 、βαm m ,。

（文）期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把
M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M 与N 的大小关系是 （ ）
A 、M N >；
B 、M N = ；
C 、M N <；
D 、不确定； 15、函数()()02≠++=a c bx ax x f ，()0f x >的解集为()2,1-，则函数
()y f x =-的图象为 （ ）
16、设2sin1sin 2sin 222
n n n
a =
+++ , 则对任意正整数(),m n m n > , 都成立的不等式是 ( ) A 、2
n m m n
a a --> B 、12n m m a a -<
C 、12n m n a a -<
D 、1
2
n m n
a a ->
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17、如图直角梯形OABC 中，∠COA ＝∠OAB ＝
2
π
，OC ＝2，OA ＝AB ＝1，SO ⊥平面OABC ，SO=1，
（理）求二面角S BC O --的大小； （文）求异面直线SA 与BC 所成的角；
18、已知z 是复数，i 为虚数单位，z i +、3z i -是实系数一元二次方程
()R t tx x ∈=++,042的两个虚根， （1）求t 的值；（2）求()θθsin cos i z w ++=模的取值范围。

19、（1）设点()2,0Q , 动点()()0,≥x y x P 到Q 的距离比它到y 轴的距离大2，求点P 的轨迹方程；
（2）过()2,0Q 点作一直线交上述轨迹于A 、B 两点，线段AB 的中点的横坐
S
C
B A O
标是6，求直线的方程。

20、某种产品具有一定的时效性。

由市场调查可知：在不作广告宣传且每件获 利a 元的前提下可卖出b 件；若作广告宣传，广告费为n （N n n ∈≥,1）千元时比广告费为(n －1)千元时多卖出n
b 2件。

设作n 千元广告时的销售量为S n .
（1）试写出销售量S n 与n 的函数关系式；
（2）当a =10，b=4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获取最大利润？
21、设函数()22
4f x x x mx =---（m 为常数.）[]4,4-∈x
（1）若()f x 经过点()2,4，求m 的值，并画出()f x 的图象；
（2）在（1）的条件下，等差数列{}n a 的首项()1min a f x =，公差()max d f x =， 求等差数列{}n a 的前n 项的和n S ；
（3）在（1）的条件下，函数()y f x =的图象始终在直线6y kx =-的上方，求实数k 的取值范围；
22、已知函数()y f x =满足：()()()()⎩
⎨⎧≥-<≤-=0,101sin x x f x x x f π； （1）分别写出[)1,0∈x 时()y f x =的解析式()1f x 和[)2,1∈x 时()y f x =
的解析式()2f x ；并猜想[)Z n n n n x ∈-≥+∈,1,1,时()y f x =的解析式()1n f x +（用x 和n 表示）（不必证明）（6分） （2）当1
2
x n =+
()Z n n ∈-≥,1时，()1n y f x +=[)),1(,1,Z n n n n x ∈-≥+∈的图象上有点列()()1,n A x f x +和点列()()11,1n B n f n +++，线段12n n A B ++与线段12n n B A ++的交点1n C +，求点1n C +的坐标()11(),()n n a x b x ++；（6分） （3）在前面(1)（2）的基础上,请你提出一个点列()111(),()n n n C a x b x +++的问题，并进行研究，并写下你研究的过程 （8分）
2006年高三联合测试数学试卷参考答案
2006、4、20
一、填空（每个4分，共48分）
1、1；
2、23；
3、14
-； 4、25y x =-+；
5
6、()2221x y -+=；
7、（理）160-；（文）{}2；
8、（理）2；（文）2； 9、
（理）（文）4； 10、112
；
11、1-≠q 时成立； 12、2560
二、选择（每个4分，共16分） 13、C ； 14、（理）B （文）B ； 15、B ； 16、C ；
三、解答题（12+12+12+14+16+20）
17、（理）方法一：连OB ，计算可得
90=∠OBC BC OB ⊥∴ ……………4分 SO ⊥面OABC ，BC SB ⊥∴ ……………6分 SBO ∠∴是所求二面角的平面角 ……………8分
1,SO OB == 22
2
1=
==
∠∴OB SO SBO tg
所以所求二面角的平面角2
arctg
……………12分 方法二如图，建立空间直角坐标系O －x y z ， ……1分
则O （0，0，0），C （2，0，0），A （0，0，1）
B （1，1，0），S （0，0，1）. ……………4分
设平面SBC 的法向量(),,n x y z = ，{}1,1,1SB =- ，{}1,1,0BC =-
则⎩⎨⎧==∴⎩
⎨⎧=-+-∴⎪⎩⎪⎨⎧==x z x y z y x y
x 2000， 平面11BAC 的一个法向量()1,1,2n = ……6分
SO ⊥面OABC ,平面OABC 的一个法向量()20,0,1n =
……………8分
法向量()1,1,2n = 与法向量()20,0,1n = 的夹角是366
2cos =
=θ
所以两个平面的二面角是 ……………12分 17、（文）解：如图所示：以O 为坐标原点，分别以OC 、OA 、OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ， ……2分
则C （2，0，0），S （0，0，1），O （0，0，0），A （0，1，0）B （1，1，0），
{0,1,1},{1,1,0}SA BC =-=-
……6分
设向量SA 与BC
所成角为θ，
21
2
21cos -=-=θ ……10分
所以异面直线SA 与BC 所成的角3πα= ……12分
方法二：过A 点作AD ∥BC 交OC 于D 点，则SAD Ð（或
其补角）是异面直线所成的角 ……4分
可计算AD =
SD =
，SA = ……8分
SAD ∆∴是正三角形，
3
π
=∠∴SAD
所以异面直线SA 与BC 所成的角
3
π
……12分 18、解：设),(R n m ni m z ∈+=，
则(1)z i m n i +=++，()33z i m n i -=+-是实系数一元二次方程的两个虚根， 所以1),3(1=∴--=+n n n ……4分
⎩⎨
⎧==∴⎩⎨⎧=-+-=-++∴0
4)2)(2()2()2(t m i m i m t i m i m ……8分 θθθθθsin 22cos )sin 1(,sin cos 22+=++=++=∴w i i w ……10分
[]1,1sin -∈θ ,[]2,0∈∴w ……12分
19、解：（1）设点P 坐标为(x,y ) （0≥x ）,
则由|PF |-d =2
2x =, ……3分 解得2
8y x =，故其轨迹方程为2
8y x = ……6分 （2）显然依题意知直线的斜率存在且0≠k
()0,2Q ，设直线AB 的方程为()2y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y
()2y k x =-与28y x =联立得
⎩⎨
⎧-==)
2(82x k y x y ，消去x 得()2222
4840k x k x k -++= ……8分 由韦达定理得2
122
48k x x k
++=， 1,12842
2±=∴=+∴k k k ， ……10分
所求的直线方程是2y x =-或2y x =-+ ……12分
S
C
B
A O
D
1021
212,22n n n b S S b S S b S S -ìïï-=ïïïïïï-=ïí
ïïïïïïï-=ïïïî
………………4分 20、上述各相加，得 02.2
2
2
n n
b b b S S -=+++
即 21(2).2
2
2
2
n n n
b b b S b b =++++=- …………7分
（2）b=4000时，14000(2)2
n n
S =-
设销售量S n 时获利T n ，则有
n n S T n n n 10002124000100010-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=…………10分 欲使T n 最大，则⎩⎨⎧≥≥-+11n n
n n T T T T 5,55
=∴⎩⎨⎧≤≥n n n …………12分
此时S n =7875.
故该厂家生产7875件产品，使5千元的广告，能使获利更大. ……14分
21、解：（1）()0,442442=∴=---=m m f …………2分
()[]4,4,422-∈--=∴x x x x f ()x f ∴是偶函数 ……4分
……6分
（2）()()
⎪⎩⎪⎨⎧<<--≤≤==22,42424
)(2
x x x x f y ()()min max 4,4f x f x \=-= ……8分 4,41=-=∴d a ……10分
()
211262
n n n S na d n n -\=+
=- ……12分 (3) 函数()y f x =的图象始终在直线6y kx =-的上方，只需考虑
[][]4,22,4 --∈x 即可，
显然0k =成立，64->kx [][]4,22,4 --∈x 恒成立 ……14分
10k x
<
，[][]4,22,4 --∈x 恒成立[][]5.2,00,5.2 -∈∴k [][]5.2,00,5.2 -∈∴k ……16分
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎨⎧
22、解：（1）[)1,0∈x 时，[)0,11-∈-x
()()x x x f x f ππsin 11)1(sin 111-=+-=+-=∴ ……2分 [)2,1∈x 时，[)1,01∈-x
()()x x x f x f ππsin 21)sin(1112-=+--=+-=∴ ……4分 [)Z n n n n x ∈-≥+∈,1,1,时，
()()x n x f x f x f n n πsin )1(12)2(1111++-++=+-=+-=∴ ……6分
（2）当12
x n =+
111
(,),(1,2)2
n n A n n B n n +++
++， 1,1212
1==++++n n n n B B A A k k
114,n n A B k ++= 224n n A B k ++= ……8分
12211+++++n n n n n B B A A C 是平行四边形…10分
153
(,)42
n C n n +++， ……12分
（3）（视问题的难易度给予不同的评分）
第一类（问题2分，解答2分）
例如：在（2）的条件下，点12n n C C ++与之间具有怎样的数量关系
解答：12n n C C ++=
……16分
第二类（问题3分，解答3分）
例如：在（2）的条件下，点12n n C C ++与之间具有怎样的位置关系 ……18分 解答：12n n C C ++与在直线14
y x =+上
第三类（问题4分，解答4分） 例如：把（2）的条件12
x n =+
改成[)1,+∈n n x 时，点()111(),()n n n C a x b x +++的
运动曲线是什么？ 解答：
⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈-=
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧⎪
⎭⎫ ⎝⎛∈-⎪⎭⎫
⎝⎛∈-⎪⎭⎫
⎝⎛∈-=212,,22sin 2,25,2,22sin 621,1,22sin 421,0,22sin 2n n x x n y x x x x x x y c c c c c c
c c c C ππππ即 只需写出一个区间段上即可 ……20分。