(易错题精选)初中数学四边形易错题汇编含答案

（易错题精选）初中数学四边形易错题汇编含答案
一、选择题
1．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )
A ．()2,10
B ．()2,0-
C ．()2,10或()2,0-
D ．()10, 2或()2,0-
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据正方形的性质求出BD 、BC 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．
【详解】
Q 四边形OABC 是正方形，(5,3)D
5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，把CDB △逆时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B '落在y 轴上，旋转后点D 的对应点D ¢落在第一象限
由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒
10OB OC B C ''∴=+=
∴点D ¢的坐标为(2,10)
（2）如图，把CDB △顺时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B ''与原点O 重合，旋转后点D 的对应点D ''落在x 轴负半轴上
由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒
∴点D ''的坐标为(2,0)-
综上，旋转后点D 的对应点D ¢的坐标为(2,10)或(2,0)-
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
Y的顶点O，A，C的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 2．如图，若OABC
的坐标为（）
A．(4,1)B．(5,3)C．(4,3)D．(5,4)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标.
【详解】
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，OA∥BC，
∴点B的纵坐标为3，
∵点O向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C，
∴点A向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B，
∴点B的坐标为：（5，3）；
故选：B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.
3．如图，已知AD 是三角形纸片ABC 的高，将纸片沿直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，给出下列判断：
①EF 是ABC V 的中位线；
②DEF V 的周长等于ABC V 周长的一半：
③若四边形AEDF 是菱形，则AB AC =；
④若BAC ∠是直角，则四边形AEDF 是矩形．
其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②④
D ．①③④ 【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠可得EF 是AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF ∥BC ，进而可得△AEF ∽△ABC ，从而得12AE AF AO AB AC AD ===，进而得到EF 是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是△ABC 的一半，进而得到△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=
12AB ，AF=12
AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC ．
【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高，
∴AD ⊥BC ，
∴∠ADC=90°，
根据折叠可得：EF 是AD 的垂直平分线，
∴AO=DO=
12
AD ，AD ⊥EF ， ∴∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠ADC=90°，
∴EF ∥BC ，
∴△AEF ∽△ABC ， 12AE AF AO AB AC AD ===， ∴EF 是△ABC 的中位线，
故①正确； ∵EF 是△ABC 的中位线，
∴△AEF 的周长是△ABC 的一半，
根据折叠可得△AEF ≌△DEF ，
∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半，
故②正确；
∵EF 是△ABC 的中位线，
∴AE=
12AB ，AF=12
AC ， 若四边形AEDF 是菱形，
则AE=AF ，
∴AB=AC ，
故③正确； 根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，
不能确定∠AED 和∠AFD 的度数，故④错误；
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
4．如图1，点F 从菱形ABCD 的项点A 出发，沿A －D －B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ．图2是点F 运动时，△FBC 的面积y (m 2)随时间x (s)变化的关系图象，则a 的值为( )
A ．5
B ．2
C ．52
D ．5【答案】C
【解析】
【分析】 过点D 作DE BC ⊥于点E 由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．求出DE=2，再由图像得5BD =BE=1，再在DEC Rt △根据勾股定
理构造方程，即可求解．
【详解】
解：过点D 作DE BC ⊥于点E
由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．
AD BC a ∴== ∴12DE AD a =g 2DE ∴=
由图像得，当点F 从D 到B 时，用5s
5BD ∴=
Rt DBE V 中，
2222(5)21BE BD DE =-=-=
∵四边形ABCD 是菱形，
1EC a ∴=-，DC a =
DEC Rt △中， 2222(1)a a =+-
解得52
a =
故选：C ．
【点睛】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，要注意函数图象变化与动点位置之间的关系，解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据．
5．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
A ．a
B ．45 a
C ．22a
D ．32
a
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，
cos45°=DM CN DE CE
=，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．
【详解】
∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴
00
cos
4545
D CN
M
cos
+=CD，
在矩形ABCD中，AB=CD=a，
∴DM+CN=acos45°=
2
2
a.
故选C.
【点睛】
此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=
DM CN
DE CE
=
6．如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA平分∠
BED，则ABE
CDE
S
S
V
V
的值为（）
A．
23
2
-
B．
233
2
C．
33
3
D．
23
3
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥DE于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．
【详解】
解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，
∵AE 平分∠BED ，
∴AF ＝AB ，
∵BC ＝2AB ，
∴BC ＝2AF ，
∴∠ADF ＝30°，
在△AFD 与△DCE 中
∵∠C=∠AFD=90°,
∠ADF=∠DEC,
AF=DC,，
∴△AFD ≌△DCE （AAS ），
∴△CDE 的面积＝△AFD 的面积＝2113AF DF AF 3AF AB
22⨯=⨯= ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，
∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（2﹣3）AB 2，
∴△ABE 的面积＝
()2232AB -,
∴23
23323
ABE CDE S S --==V V ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ．
7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．
【详解】
解：如图
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，
∴AB=22
=5，
34
作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，
∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，
∴E′在AD上，且E′是AD的中点，
∵AD=AB，
∴AE=AE′，
∵F是BC的中点，
∴E′F=AB=5．
故选C．
8．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()
A．4 B．8 C．6 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，
AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．
【点睛】
本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG ≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝1
2
BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得
BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝1
2
BD，AO＝CO，AB∥CD
∵BD＝2AD
∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点∴BE⊥AC，
∴①正确
∵E、F、分别是OC、OD中点
∴EF∥DC，CD＝2EF
∵G是AB中点，BE⊥AC
∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB ∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE
∴△BGE≌△FEG（SSS）
∴③正确
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）.
A．25°B．20°C．30°D．40°
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB=1
2
BD，
∵∠DHO=20°，
∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，
∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．
故选A．
11．下列说法正确的是（）
A．对角线相等的四边形一定是矩形
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.
【详解】
A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；
C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；
D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，
故选：D.
【点睛】
此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.
12．如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（0，23），∠DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（）
A．4 B．5 C．33D．19
【答案】D
【解析】
【分析】
点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．【详解】
解：连接AD，如图，
∵点B的对称点是点D，
∴AD即为AP+BP的最小值，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，23DOB=60°，
∴点D的坐标为（33
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴22
+=
(3)419
故选：D ．
【点睛】
此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．
13．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】 因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形.
【详解】
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选A ．
【点睛】
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形．
14．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．
【详解】
解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．
15．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若
四边形MBND是菱形，则AM
MD
等于（）
A．3
5
B．
2
3
C．
3
8
D．
4
5
【答案】A
【解析】
试题分析：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.
试题解析：∵四边形MBND是菱形，
∴MD=MB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，
解得a=4
b
3
，
∴MD=MB=2a-b=5
3 b，
∴
3
55
3
AM b
MD b
==
.
故选A.
考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质．
16．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC
的中点，连结EF、BF，下列
结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点
H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得
EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；
详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选D．
点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
EF BC，分别交AB、17．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作//
CD于点E、F，连接PB、PD，若1
PF=，则图中阴影部分的面积为
AE=，8
（）
A．5B．6C．8D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．
【详解】
作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ，
∴S △DFP =S △PBE =12
×1×8=4， ∴S 阴=4+4=8，
故选：C ．
【点睛】 此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S △PEB =S △PFD ．
18．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）
A ．110°
B ．120°
C ．140°
D ．150° 【答案】B
【解析】
【详解】
解：∵AD ∥BC ，
∴∠DEF=∠EFB=20°， 图b 中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，
在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，
故选B ．
19．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，将边长为4的菱形OBCD 的边OB 固定在x 轴上，开始时30DOB ∠=︒，现把菱形向左推，使点D 落在y 轴正半轴上的点D ¢处，则下列说法中错误的是（ ）
A ．点C '的坐标为()4,4
B ．60CB
C '∠=︒ C ．点
D 移动的路径长度为4个单位长度
D ．CD 垂直平分BC '
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，即可判断A ；由平行线的性质得∠OBC 的度数，进而得到60CBC '∠=︒，即可判断B ；根据弧长公式，求出点D 移动的路径长度，即可判断C ；证明CD ⊥BC ′，BC′=BC=2BE ，即可判断D ．
【详解】
∵四边形OBCD 是菱形，
∴OB=BC=CD=OD ，
∴OB=BC ′=C ′D ′=OD ′，
∵∠BOD′=90°，
∴四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，
∴点C '的坐标为()4,4，故A 不符合题意．
∵30DOB ∠=︒，OD ∥BC ，
∴∠OBC=180°-30°=150°，
∵∠OBC ′=90°，
∴60CBC '∠=︒，故B 不符合题意．
∵点D 移动的路径是以OD 长为半径，圆心角为∠DOD ′=90°-30°=60°的弧长，
∴点D 移动的路径长度=604180π⨯=43
π，故C 符合题意. 设CD 与BC′交于点E ，
∵在菱形OBCD 中，∠C=30DOB ∠=︒，
∵60CBC '∠=︒，
∴∠BEC=180°-60°-30°=90°，即CD ⊥BC ′，
∴BC′=BC=2BE ，
∴CD 垂直平分BC '，故D 不符合题意．
故先C ．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，正方形的判定和性质以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质和正方形性质，含30°角的直角三角形的性质，是解题的关键．
20．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH ⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )
A ．5cm
B ．
52cm C ．125cm D ．245cm 【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，111163,842222
OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC ++=
∵OH ⊥BC ，
1122
BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522
OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =
故选C ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．。