可达矩阵快速算法

传递闭包Warshall方法计算可达矩阵简要介绍
①在集合X上的二元关系R的传递闭包是包含R的X上的最小的传递关系。

R的传递闭包在数字图像处理的图像和视觉基础、图的连通性描述等方面都是基本概念。

一般用B表示定义在具有n个元素的集合X上关系R的n×n二值矩阵，则传递闭包的矩阵B+可如下计算： B+ =
B + B2 + B3 + ……+ (B)n
②式中矩阵运算时所有乘法都用逻辑与代替，所有加法都用逻辑或代替。

上式中的操作次序为B，B(B)，B(BB)，B(BBB)，……，所以在运算的每一步我们只需简单地把现有结果乘以B，完成矩阵的n次乘法即可。

/ism/cal_warshall_get_r_mat_detail.php
Warshall在1962年提出了一个求关系的传递闭包的有效算法。

其具体过程如下，设在n个元素的有限集上关系R的关系矩阵为M：（1）置新矩阵A=M;
（2）置k=1;
（3）对所有i如果A[i,k]=1，则对j=1..n执行：
A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j];
（4）k增1;
（5）如果k≤n，则转到步骤（3），否则停止。

所得的矩阵A即为关系R的传递闭包t(R)的关系矩阵。

在《离散数学》中都提及了该算法。

Warshall算法映射到有向图中
设关系R的关系图为G，设图G的所有顶点为u1,u2,…,un，则t(R)的关系图可用该方法得到：若G中任意两顶点ui和uj之间有一条路径且没有ui到uj的弧，则在图G中增加一条从ui到uj的弧，将这样改造后的图记为G’，则G’即为t(R)的关系图。

G’的邻接矩阵A应满足：若图G中存在从ui到uj路径，即ui与uj连通，则A[i,j]=1，否则
A[i,j]=0。

这样，求t(R)的问题就变为求图G中每一对顶点间是否连通的问题。

相乘矩阵，就为所有节点的关系图，也就是当前条件下的关系矩阵。

对于相乘矩阵，进行叠代，叠代的过程为，行取值，然后计算值中对应的每一行的值取并集，得到当前行的关系集合。

取完所有行，得到了一个新的转移矩阵再对转移矩阵进行进行求解。

Warshall的叠代次数比逐次平方法的运行效率要高。

如果图中的顶点是有序的排列，只要进行一次Warshall运算就可以获得可达矩阵。

您输入原始矩阵 matrix_A 为一个方阵结果如下
第 1 次迭代
当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a ）
1号要素 b 的可达集合c，e，b
5号要素 f 的可达集合c，f
0号要素 a 的可达集合b，f，a
当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ）
当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b ）
2号要素 c 的可达集合b，c
4号要素 e 的可达集合f，e
1号要素 b 的可达集合c，e，b
当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ）
当前2号要素 c 的可达集合（b，c ）
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
2号要素 c 的可达集合b，c
当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ）
当前3号要素 d 的可达集合（a，d ）
0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e
3号要素 d 的可达集合a，d
当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ）
当前4号要素 e 的可达集合（f，e ）
5号要素 f 的可达集合c，f
4号要素 e 的可达集合f，e
当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c ）
当前5号要素 f 的可达集合（c，f ）
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
5号要素 f 的可达集合c，f
当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ）
当前6号要素 g 的可达集合（b，g ）
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
6号要素 g 的可达集合b，g
当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）第 1 次迭代得到的转移矩阵如下：
第 2 次迭代
当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ）
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c
当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ）
当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ）
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ）
当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ）
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ）
当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ）
0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e
3号要素 d 的可达集合a，d，b，f，c，e
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c
当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ）
当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c ）
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
4号要素 e 的可达集合f，e，c
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c，b ）
当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ）
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c，b
当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ）
当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
6号要素 g 的可达集合b，g，c，e，f
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）第 2 次迭代得到的转移矩阵如下：
第 3 次迭代
当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e
4号要素 e 的可达集合f，e，c，b
当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ）
当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ）
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c，b
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ）
当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ）
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c，b
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ）
当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e
3号要素 d 的可达集合a，d，b，f，c，e
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c，b
当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ）
当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c，b ）
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
4号要素 e 的可达集合f，e，c，b
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c，b ）
当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ）
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c，b
当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ）
当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）
1号要素 b 的可达集合c，e，b，f
6号要素 g 的可达集合b，g，c，e，f
2号要素 c 的可达集合b，c，e，f
4号要素 e 的可达集合f，e，c，b
5号要素 f 的可达集合c，f，b，e
当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）
第 3 次迭代得到的转移矩阵如下：。