高中数学第一章三角函数阶段复习课第1课任意角的三角函数及诱

第一课 任意角的三角函数及诱导公式
[核心速填]
1．与角α终边相同的角的集合为
S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．
2．角度制与弧度制的换算
3．弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1)弧长公式：l ＝|α|r . (2)面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2
.
4．任意角的三角函数
(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x
(x ≠0)．
(2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，r ＝|OP |＝x 2
＋y 2
，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x
(x ≠0)．
5．同角三角函数基本关系式
sin 2α＋cos 2
α＝1；sin αcos α＝tan α.
6．诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限．
[体系构建]
[题型探究]
(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2. [解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14
9π，
∴α＝－800°＝14π
9
＋(－3)×2π.
∵α与角14π
9
终边相同，∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π
9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，
∴γ＝2k π＋14π
9
，k ∈Z .
又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2＜2k π＋14π9＜π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π
9.
[规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角 (1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用． (2)角度制与弧度制的换算
设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则
αrad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°，n °＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ·π180rad. 2．象限角的判定方法
(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
[跟踪训练]
1．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α
4
角终边相同的角是________.
【导学号：84352139】
2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π
2(k ∈Z )． 又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10
.]
、弧
、弧
的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是________．
图1­1
(2)一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，则c －1
S
的最大值为________．
(1)4π (2)4 [(1)弧的长是120π×1180＝2π
3
，
弧的长是：120π×2180＝4π
3，
弧
的长是：120π×3
180
＝2π，
则曲线CDEF 的长是：2π3＋4π
3
＋2π＝4π.
(2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角大小为2弧度， 则l ＝2r ，可求：c ＝l ＋2r ＝2r ＋2r ＝4r ，
扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2×2＝r 2
，
所以
c －1S ＝4r －1r 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋4
r
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1r
－22
＋4≤4.
r ＝12时等号成立，所以c －1S
的最大值为4.] [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12
|α|r 2
其中l
是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、
求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.
[跟踪训练]
2．如图1­2，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积.
【导学号：84352140】
图1­2
[解] ∵120°＝120180π＝2
3π，
∴l ＝6×2
3
π＝4π，∴
的长为4π.
∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1
2
×4π×6＝12π，
如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝1
2×2×6cos 30°×3＝9 3.
∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.
(1)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝
3
4
，则a 的值为( )
A ．4 3
B ．±4 3
C ．－43或－43
3
D. 3
(2)已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值.
【导学号：84352141】
(1)C [(1)因为α角的终边上有一点P (－4，a )，所以tan α＝－a
4，
所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2
α＋1＝－
a
4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 42＋1＝3
4
， 整理得3a 2
＋16a ＋163＝0，(a ＋43)(3a ＋4)＝0，所以a ＝－43或－433.]
(2)r ＝
m
2
＋－5m
2
＝13|m |，
若m ＞0，则r ＝13m ，α为第四象限角， sin α＝y r ＝
－5m 13m ＝－5
13
，
cos α＝x r ＝12m 13m ＝12
13
，
tan α＝y x ＝
－5m 12m ＝－5
12
.
若m ＜0，则r ＝－13m ，α为第二象限角， sin α＝y r ＝
－5m －13m ＝5
13
，
cos α＝x r ＝12m －13m ＝－12
13
，
tan α＝y x ＝
－5m 12m ＝－5
12
.
[规律方法] 利用定义求三角函数值的两种方法
先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求
出相应的三角函数值.
取角α的终边上任意一点P a ，b
原点除外，则对应的角α的正弦值sin
α＝
b a 2＋b
2
，余弦值cos α＝a
a 2＋b
2
，正切值tan α＝b
a
.当角α的终边上点的坐标以参
数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
[跟踪训练]
3．如果点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限.
【导学号：84352142】
[解] 因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin θ＞0，cos θ＜0，所以角θ在第二象限.
(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ－cos θ＝________.
(2)已知f (α)＝sin
2
π－α
π－α
－π＋α
－π＋α
－α＋3π
.
①化简f (α)；
②若f (α)＝18，且π4＜α＜π
2，求cos α－sin α的值；
③若α＝－47π
4
，求f (α)的值. 【导学号：84352143】
[思路探究] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值． (1)1
3 [(1)由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2， 则
sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝1
3
.]
(2)①f (α)＝
sin 2α·cos α·tan α
－sin α－tan α＝sin α·cos α.
②由f (α)＝sin α·cos α＝1
8
可知，
(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2
α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝3
4，
又∵π4＜α＜π
2，∴cos α＜sin α，
即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－
3
2
.
③∵α＝－474π＝－6×2π＋π
4
，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－474π
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4
＝cos π4·sin π4＝22×22＝1
2
.
母题探究：1.将本例(2)中“18”改为“－8”“π4＜α＜π2”改为“－π
4＜α＜0”求
cos α＋sin α.
[解] 因为－π
4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，
所以cos α＋sin α＞0，
又(cos α＋sin α)2
＝1＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝34
，
所以cos α＋sin α＝
32
. 2．将本例(2)中的用tan α表示1
f α
＋cos 2
α
. [解]
1f α
＋cos 2α＝1
sin αcos α＋cos 2
α
＝sin 2
α＋cos 2
αsin αcos α＋cos 2
α＝tan 2
α＋1tan α＋1
. [规律方法] 1.牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2
α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用
两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2
＝1±2sin αcos α.
2．诱导公式可概括为k ·π
2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇
变偶不变，符号看象限．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。