甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二上学期第二次学段期中考试数学(文)试题 含解析

天水一中2018级2019—2020学年度高二第一学期第二阶段
考试试题 数学（文科）
一、选择题
1.在等比数列{}n a 中，11a =，2q =，16n a =，则n 等于() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用等比数列公式计算得到答案.
【
详解】11
1216,5n n n a a q n --====
故选C
【点睛】本题考查了等比数列的计算，属于简单题. 2.若a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.
1b a
< B.
11a b
< C. 22a b >
D.
lg()0a b ->
【答案】C 【解析】 【分析】
结合不等式，指数函数以及对数函数的性质判断即可得出答案. 【详解】对A ，当1,2a b =-=-时，
2211
b a -==>-，故A 错误； 对B ，当1,1a b ==-时，
,11
11a b
==-，则11a b >，故B 错误;
对C ，因为2x
y =在R 上增函数，a b >，所以22a b >，故C 正确； 对D ，当11
,22
a b ==-时，lg()lg10a b -==，故D 错误； 故选C.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，判断不等式的恒成立问题，可以通过举反例，从而得到不等式成立或不成立.
3.已知实数,x y 满足2050370x y x y x y -≤⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则3z x y =-+的取值范围是（ ）
A. []
5,11 B. []1,13
C. []5,13
D. []
1,11
【答案】D 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论． 【详解】由线性约束条件作出可行域，如下图三角形ABC 阴影部分区域（含边界），令
30z x y =-+=，直线0l ：30x y -+=，平移直线0l ，当过点(1,4)A 时取得最大值
13411z =-+⨯=，当过点(2,1)B 时取得最小值2311z =-+⨯=，所以3z x y =-+的取
值范围是[1,11]
.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．
4.已知椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>分别过点()2,0A 和()0,1B -，则该椭圆的焦距为
（ ） 3 B. 235 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得a 2＝4，b 2＝1，利用隐含条件求得c ，则2c 即为所求． 【详解】由题意可得2a =，1b =，所以a 2＝4，b 2＝1，
所以c ==
2c =故选B
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础题． 5.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得2
3
只鹿，则大夫所得鹿数为（ ） A. 1只 B. 5
3
只 C. 43只
D. 2只
【答案】B 【解析】 【分析】
将爵次从高到低分配的
猎物数设为等差数列{}n a ，可知42
3
a =
，55S =，从而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得首项，即为所求结果. 【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{}n a ,则423
a =
又512345355S a a a a a a =++++== 31a ∴= 431
3
d a a ∴=-=-
13523a a d ∴=-=
，即大夫所得鹿数为53
只 本题正确选项：B
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.
6.“2a <”是“220a a -<”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】
根据2a <与220a a -<互相推出的结果判断出2a <是220a a -<的何种条件. 【详解】因为2a <时，22002a a a -<⇔<<，所以220a a -<不一定成立， 又因为220a a -<时，02a <<，所以2a <一定成立， 所以2a <是220a a -<的必要非充分条件. 故选B.
【点睛】根据若p 则q 的形式，如果p q ⇒，则p 是q 的充分条件，反之则是非充分条件；如果q p ⇒，则则p 是q 的必要条件，反之则是非必要条件. 7.函数1
6(0)y x x x
=++>的最小值为( ) A. 6 B. 7
C. 8
D. 9
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用均值不等式得到答案.
【详解】16(0)68y x x x =++>≥=，1x =时等号成立. 故答案选C
【点睛】本题考查了均值不等式，属于简单题.
8.若双曲线E ：22
149
x y -=的左、
右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线上的一点，且12,PF =则2PF =（ ） A. 8 B. 6
C. 4
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
求得双曲线的2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，代入已知条件解方程即可得到所求值．
【详解】解：双曲线E：
22
1
49
x y
-=可得2
a=，
由双曲线
定义可得
12
24
PF PF a
-==，
由
1
2
=
PF，可得
2
|2|||4
PF
-=，
解得
2
6
PF=（−2舍去）．
故选B．
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．9.O为坐标原点，F为抛物线2
:4
C y x
=的焦点，P为C上一点，若4
PF=，则POF
V
的面积为
C. 2
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程24
y x
=可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)
P x y,由PF=4以及抛物线的定义列式可得(1)4
x--=,
即3
x=,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,再由三角形的面积公式
1
||
2
S y OF
=可得.
【详解】由2
4
y x
=可得抛物线的焦点
F(1,0),准线方程为1
x=-,
如图:过点P作准线1
x=-的垂线,垂足为M,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,
设(,)
P x y,则(1)4
x--=,解得3
x=,将3
x=代入24
y x
=可得y=±,
所以△POF的面积为
1
||
2
y OF
⋅=
1
1
2
⨯=
故选B.
【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.
10.曲线()2
2f x x x =-+在0x =处的切线方程为（ ）
A. 21y x =+
B. 21y x =-
C. 2y x =--
D.
2y x =-+
【答案】D 【解析】 【分析】
已知()2
2f x x x =-+对其进行求导，求在0x =处的斜率，根据点斜式，写出()f x 在点
0x =处的切线方程．
【详解】解：()2
2f x x x =-+Q ，
()21f x x ∴'=-，∴在0x =处的切线斜率()01k f ='=-， (0)0022f ∴=-+=，
2()2f x x x ∴=-+在0x =处的切线方程为：2y x -=-，
2y x ∴=-+，
故选：D ．
【点睛】此题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解此题的关键是要对()f x 能够正确求导，此题是一道基础题．
11.函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是（）
A. 1
2cos 1x x x +++ B. 1
2cos x x x -
+ C. 1
2cos x x x
+-
D. 1
2cos x x x
++
【答案】D 【解析】 【分析】
根据导数的公式即可得到结论．
【详解】解：由2
()ln sin 1f x x x x =+++，得1
()2cos f x x x x
'
=+
+ 故选D ．
【点睛】本题考查了导数的基本运算，属基础题．
12.若椭圆C :22
2210)x y a b a b
+=>>（的上顶点与右顶点的连线1l 垂直于下顶点与右焦点连
线2l ，则椭圆的离心率e 为（）
A.
12
B.
2
C.
2
D.
2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据椭圆上下顶点的坐标、焦点坐标求得直线12,l l 的斜率，利用斜率乘积为1-列方程，结合222a b c =+求得离心率的值.
【详解】椭圆上顶点坐标为()0,b ，右顶点的坐标为(),0a ，故直线1l 的斜率为b
a
-.椭圆下顶点坐标为()0,b -，右焦点的坐标为(),0c ，故直线2l 的斜率为
b c
.由于12l l ⊥，故
1b b a c
⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭，即2b ac =，由于222a b c =+，所以22a ac c =+，即2
10e e +-=，解
得1
2
e =. 故选C.
【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的几何性质，考查两直线两直线垂直的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题
13.命题“x 0∀>，2x 3x 10++>“的否定为______． 【答案】x 0∃>，2x 3x 10++≤ 【解析】 【分析】
命题“x 0∀>，2x 3x 10++>”，是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案． 【详解】Q 命题“x 0∀>，2x 3x 10++>”，
∴命题“x 0∀>，2x 3x 10++>”的否定为：x 0∃>，2x 3x 10++≤．
故答案为x>0∃，2x 3x 10++≤．
【点睛】对命题“x A ∃∈，()P X ”的否定是：“x A ∀∈，()P X ￢”；对命题“x A ∀∈，
()P X ”的否定是：“x A ∃∈，()P X ￢”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题．
14.已知双曲线22
22x y 1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线为y =，那么双曲线的离心率为
______． 【答案】2 【解析】 【分析】
根据渐近线方程求得b
a
的值，根据离心率的公式求得双曲线的离心率.
【详解】由于双曲线的一条渐近线
为y=，
故
b
a
=.所以双曲线离心
率2
c
e
a
===.
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
15.已知命题“¬p或¬q”是假命题，有下列结论：
①命题“p且q”是真命题；
②命题“p且q”是假命题；
③命题“p或q”是真命题；
④命题“p或q”是假命题．
其中正确的是________(只填序号)．
【答案】①③
【解析】
【分析】
由“¬p或¬q”是假命题，知¬p与¬q均为假，故p，q均为真．再判断每一个命题得解. 【详解】由“¬p或¬q”是假命题，知¬p与¬q均为假，故p，q均为真．
故答案为①③
【点睛】（1）本题主要考查复合命题的真假，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 、复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
16.已知抛物线22(0)
y px p
=>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为．
【答案】1
x=-
【解析】
试题分析：由
2
22
12
2
{20242
2
y px
y py p y y p p
p
y x
=
∴--=∴+==∴=
=-
，准线1
x=-
考点：抛物线方程及性质
三、解答题
17.已知公差不为0的等差数列{a n }满足45a =，且3a 是1a ，7a 的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⋅⎩⎭
的前n 项和n S .
【答案】（1）1n a n =+（2）24
n
n +
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，运用等比数列中项性质和等差数列通项公式，构造关于1,a d 的方程可求得1,a d ，进而得到所求通项； （2）求得所求数列的通项，由裂项相消求和，化简可得结果． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠
3a Q 是17,a a 的等比中项 2317a a a ∴=，又45a =
()()2
11112635
a d a a d a d ⎧+=+⎪∴⎨+=⎪⎩，解得：121a d =⎧⎨=⎩ ()11211n a a n d n n ∴=+-=+-=+
（2）由（1）得：
()()11111
2112
n n a a n n n n +==-++++ 111111112334122224
n n S n n n n ∴=
-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++ 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够通过数列的通项公式进行准确的裂项，进而前后相消求得结果，属于常考题型. 18.已知抛物线C ：22(0)y px p =>.
（1）若直线20x y --=经过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的准线方程；
（2）若斜率为-1的直线经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，当2AB =时，求抛物线C 的方程.
【答案】(1) 2x =-.(2) 2y x =. 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线20x y --=与横轴的交点坐标就是抛物线C 的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；
（2）写出斜率为-1经过抛物线C 的焦点F 的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出AB ，结合已知2AB =，求出
的值，写出抛物线的方程.
【详解】(1)∵直线20x y --=经过抛物线C 的焦点，
∴抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，
∴抛物线C 的准线方程为2x =-.
（2）设过抛物线C 的焦点且斜率为-1的直线方程为2
p y x =-+
，且直线与C 交于，， 由222p y x y px
⎧=-+⎪⎨⎪=⎩化简得2
2304p x px -+=， ∴.
∵1242AB x x p p =++==，解得12
p =
， ∴抛物线C 的方程为2y x =. 【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.
19.已知命题p ：函数2()43f x x ax =-++在区间(,1]-∞上是单调增函数；命题q ：函数()2()lg 2g x x ax a =++的定义域为R ，如果命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围.
【答案】1a ≥或102
a <<
【解析】
【分析】
先根据函数的性质分别求出命题,p q 成立的等价条件，根据题意得出命题,p q 的真假关系，
从而求解得出结果.
【详解】解：因为函数()2
43f x x ax =-++在区间(],1-∞上是单调增函数， 所以对称轴方程()4121a x =-≥⨯-，所以12
a ≥， 又因为函数()()
2lg 2g x x ax a =++的定义域为R ， 所以()2
240a a =-<V ，解得01a <<，
又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，
所以命题,p q 是一真一假， 所以1210a a a 或⎧≥⎪⎨⎪≥≤⎩或1201a a ⎧<⎪⎨⎪
<<⎩， 所以1a ≥或102
a <<， 所以实数a 的取值范围是1a ≥或102a <<
. 【点睛】本题考查了函数的单调性、对数与对数函数、命题及其关系和简单逻辑联结词，解题的关键是要准确地求解出两个命题成立的等价条件.
20.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点(1;(1))M f --处的切线方程为670x y -+=.
（I ）求(1)f -和(1)f ¢
-的值. （II ）求函数()f x 的解析式.
【答案】（1）()()11,16f f '-=-=；（2）()32
332f x x x x =--+ 【解析】
分析：（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可．
（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可．
详解：
（1）∵f（x ）在点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0．
故点（﹣1，f （﹣1））在切线6x ﹣y+7=0上，且切线斜率为6．
得f （﹣1）=1且f′（﹣1）=6．
（2）∵f（x ）过点P （0，2）
∴d=2
∵f（x ）=x 3+bx 2
+cx+d
∴f′（x ）=3x 2+2bx+c
由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6
又由f （﹣1）=1，得﹣1+b ﹣c+d=1 联立方程得 故f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2
点睛：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力．
21.已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）过点3⎛ ⎝⎭
，短轴一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过定点()02,
M 的直线1与椭圆交于不同的两点A ，B ，若坐标原点O 在以线段AB 为直径的圆上，求直线l 的斜率k ．
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）2k =或2k =- 【解析】
【分析】
（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知2a =，且椭圆过点3⎛ ⎝⎭
，得到方程组，解得；
（2）设直线方程为2y kx =+，通过AB 以线段AB 为直径的圆过坐标原点O 可知·0OAOB =u u u r u u u r ，通过联立直线l 与椭圆方程、利用韦达定理化简12120x x y y +=，进而计算可得结论；
【详解】解：（1
）由题意可得222
2222222211b c a
b c a b
⎧+=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪+=⎪⎪=-⎩， 解得：2a =，1b =，
∴椭圆C 的方程为2214
x y +=； （2）由题意知，直线的斜率存在，设过()02,
M 的直线方程为2y kx =+， 联立22214
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 、整理得：22(14)16120k x kx +++=， 因为直线2y kx =+与椭圆有两个交点，
()()2
2216412(14)16430k k k ∴∆=-⨯⨯+=->
解得k >
k < 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则122
12216141214k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
， AB Q 以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ，
∴·0OAOB =u u u r u u u r
，即12120x x y y +=，
∴1212(2)(2)0kx kx x x +++=，
21212(1)2()40k x x k x x ∴++++=
222(1)24061442111k k k k k ∴+++=++- ∴即24k =，解得：2k =±满足条件，
故2k =±
【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。