第08讲 不等式的基本性质(原卷版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)

第08讲不等式的基本性质
知识点一不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式．
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b 或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b 或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
(3)不等式中常用符号语言
大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于
><≥≤≤≥≥≤
知识点二两个实数的大小比较
1．文字叙述
(1)当a－b为正数时，称a>b；
(2)当a－b为零时，称a＝b；
(3)当a－b为负数时，称a<b．
2．符号表示
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a<b⇔a－b<0.
3．p⇔q的含义
提示：p⇔q的含义是p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
知识点三不等式的性质
不等式的性质
性质1(自反性)a＞b⇔b＜a
性质2(传递性)a＞b，b＞c⇒a＞c
性质3(加法保号性)a＞b⇔a＋c＞b＋c
性质4(乘正保号性、乘
a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc
负改号性)
性质5(同向可加性)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d
性质6(全正可乘性)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd
性质7(拓展)a>b>0⇒a n>b n(n∈N*)
考点一：实数比较大小
例1(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1
a的大小．
【总结】
1．利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差；
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形；
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号；
(4)得出结论．
2．作商法比较大小
如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法如下：
依据
a>0，b>0，
a
b
>1⇔a>b；
a
b＝1⇔a＝b；
a
b
<1⇔a<b
a<0，b<0，
a
b
>1⇔a<b；
a
b＝1⇔a＝b；
a
b
<1⇔a>b 应用范围两同号实数比较大小或分式、积、幂之间比较大小
步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论变式已知a≥1，试比较M＝a＋1－a和N＝a－a－1的大小．
考点二：不等式的性质
例2(1)下列命题中正确的是()
A.若0>a>b，则a2>b2
B.若a2>b2，则a>b>0
C.若a>b，则b
a
<1 D.若a>b，则a3>b3
(2)若c>a>b>0，求证：a
c－a
>b
c－b
.
【总结】
变式
若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e （a －c ）2>e
（b －d ）2
.
考点三：利用不等式的性质解不等式
例3解不等式：x －13－x ＋26>
4＋3x
2
，并用不等式的性质说明理由．【总结】
变式已知关于x 的方程3(x －2a )＋2＝x －a ＋1的解满足不等式2(x －5)≥8a ，求a 的取值范围．
考点四：利用不等式的性质求代数式的取值范围
例4已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．
【总结】
变式（1）已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求
a
b
的取值范围．
1．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则(
)
A.b ＜0，c ＜0B ．b ＞0，c ＞0C.b ＞0，c ＜0
D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0
2．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是(
)
A.P ＞Q
B ．P ≥Q
C.P ＜Q D ．P ≤Q
3．(多选)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是(
)
A.x ＋y >y ＋z B ．xz <yz C.xy >xz
D ．x |y |>z |y |
4．若0＜x ＜1，则x ，1
x ，x ，x 2中最小的是________．
5．已知x >y >0，试比较x 3－2y 3与xy 2－2x 2y 的大小．6．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是(
)
A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c
B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b
C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞
b
d D ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b 7．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则(
)
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ≥b
D ．a ≤b
8．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为________．
9．已知角α，β满足－π2<α－β<π
2
，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．
10．已知12<a <60,15<b <36，则a －b 的取值范围为________，a
b
的取值范围为________．
1．下列结论成立的是(
)
A.若ac >bc ，则a >b
B.若a >b ，则a 2>b 2
C.若a >b ，c <d ，则a ＋c >b ＋d
D.若a >b ，c >d ，则a －d >b －c
2．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是(
)
A.M<N B．M>N
C.M＝N D．M≥N
3．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d.已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是()
A.d>b>a>c B．b>c>d>a
C.d>b>c>a D．c>a>d>b
4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()
A.－2<α－β<0
B.－2<α－β<－1
C.－1<α－β<0
D.－1<α－β<1
5．同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升(x≠y)，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则爸爸、妈妈更合算的是()
A.爸爸B．妈妈
C.一样D．不确定
6．(多选)若1
a <1
b
<0，则下列结论正确的是()
A.a2<b2B．ab<b2
C.a＋b<0D．|a|＋|b|>|a＋b| 7．(多选)已知a，b，c，m∈R，则下列推证中不正确的是()
A.a＞b⇒am2＞bm2
B.a
c＞b
c⇒a＞b
C.ac2＞bc2⇒a＞b
D.a2＞b2，ab＞0⇒1a＜1b 8．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
9．a2与a－1的大小关系为________．
10．下列命题中，正确的是________.
①若a ＞b ，c ＞d ，则ac 2＞bd 2；②若a ＜b ，则3a ＜3b ；③若a ＜b ＜0，则1a ＞1
b ；④若a ＞b ＞0，
c ＞
d ＞0，则
a c ＞b
d
；⑤若a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，则ac ＜bd .11．解不等式2－x －13＜x ＋1
2
，并用不等式的性质说明理由．
12．已知实数a ，b ，则“
a ＋b
a －b
＞0”是“|a |＞|b |”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
13．(多选)已知a ，b ，c ∈R ，下列命题为真命题的是(
)
A.若a ＜b ＜0，则a 2＜ab ＜b 2
B.若a ＞b ，则ac 2≥bc 2
C.若ac 2＞bc 2，则a ＞b
D.若b ＜a ＜0，则
1a ＜1b
14．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．
15．给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 4＞b 4；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确命题的序号是________．
16．已知－1＜x ＜y ＜0，比较
1x ，1
y
，x 2，y 2的大小关系．17．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d
b ；③b
c ＞a
d .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请
写出一个真命题，并写出推理过程．
18．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．。