2021-2022年高中数学课时作业4正余弦定理在三角形中的应用新人教A版
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由正弦定理可得
sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，
即sin(A＋B)＝sin2C，
因为sinC≠0，所以sinC＝1，
故C＝90°，
又S＝ bcsinA＝ (b2＋c2－a2)，
所以sinA＝ ＝cosA，
所以tanA＝1，
故A＝45°，所以B＝45°，故选C.
答案：C
12．在△ABC中，AB＝ ，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．
由余弦定理得
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos ＝1＋ －2× × ＝ ，故CD＝ .
又AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝ ＋ ＝ ，故边AB的长为 .37484 926C 鉬32210 7DD2 緒;30786 7842 硂29085 719D 熝F27130 69FA 槺c26237 667D 晽28638 6FDE 濞l38739 9753 靓P
2021-2022年高中数学课时作业4正余弦定理在三角形中的应用新人教A版
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为 ，则 的值为( )
A. B.
C. D．2
解析：由 bcsinA＝ ，得c＝4.
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解析：(1)因为cosB＝ >0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝ .
由正弦定理 ＝ 可得 ＝ ，
所以a＝ .
(2)因为△ABC的面积S＝ ac·sinB，
sinB＝ ，所以 ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
答案：
8．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A＝________.
解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，
∵4· bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.
答案：45°
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝ ，b＝2.
(1)若DC＝ ，求角A的大小；
(2)若△BCD的面积为 ，求边AB的长．
解析：(1)在△BCD中，B＝ ，
BC＝1，DC＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，
解得sin∠BDC＝ ＝ ，因为A∈(0，π)，则∠BDC＝ 或 .
又由DA＝DC，则A＝ 或 .
(2)由于B＝ ，BC＝1，△BCD的面积为 ，
则 BC·BD·sin ＝ ，解得BD＝ .
解析：因为cosC＝ ，C∈(0，π)，所以sinC＝ ，
所以 absinC＝4 ，所以b＝2 .
答案：2
7．已知a，b，c是锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，若a＝3，b＝4，△ABC的面积为3 ，则c＝________.
解析：由S＝ absinC，得sinC＝ ，
∴cosC＝ ，再由余弦定理得c＝ .
答案：A
3．已知△ABC周长为20，面积为10 ，A＝60°，则BC边长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题设a＋b＋c＝20， bcsin60°＝10 ，所以bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
所以a＝7.即BC边长为7.
答案：C
所以 － ＝c .
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝ (b2＋c2－a2)，则B的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：因为acosB＋bcosA＝csinC，
解析：因为AB＝ ，AD＝1，∠BAD＝30°，
所以S△ABD＝ × ×1×sin30°＝ .
又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝ .
答案：
13．(淄博六中期末)在△ABC中， cos2A＝cos2A－cosA.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.
解析：(1)由已知得 (2cos2A－1)＝cos2A－cosA，
所以cosA＝ .
因为0<A<π，所以A＝ .
(2)由 ＝ 可得 ＝ ＝2，
所以b＝2c.
因为cosA＝ ＝ ＝ ，
所以c＝ ，b＝2 ，
所以S△ABC＝ bcsinA＝ ×2 × × ＝ .
14．在△ABC中，D为边AB上一点，DA＝DC.已知B＝ ，BC＝1.
故a＝ .ຫໍສະໝຸດ 所以 ＝ ＝ .答案：B2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40 B．20
C．40 D．20
解析：设另两边长为8x,5x，则
cos60°＝ ，解得x＝2.
两边长是16与10，
三角形的面积是 ×16×10×sin60°＝40 .
即4＝a2＋c2－ ac＝a2＋c2－16，
即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
因为a＋c>0，所以a＋c＝2 .
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证： － ＝c .
证明：由余弦定理的推论得cosB＝ ，cosA＝ ，代入等式右边，
得右边＝c ＝ ＝ ＝ － ＝左边，
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝ ，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，
∴ab＝6，∴S△ABC＝ absinC＝ ×6× ＝ .
答案：C
5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )
A．2 B．2或4
C．1或2 D．5
解析：如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.
因为AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，
所以 ×3×AD× ＋ ×6×AD× ＝ ×3×6× ，
解得AD＝2.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在△ABC中，已知a＝3 ，cosC＝ ，S△ABC＝4 ，则b＝________.
sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，
即sin(A＋B)＝sin2C，
因为sinC≠0，所以sinC＝1，
故C＝90°，
又S＝ bcsinA＝ (b2＋c2－a2)，
所以sinA＝ ＝cosA，
所以tanA＝1，
故A＝45°，所以B＝45°，故选C.
答案：C
12．在△ABC中，AB＝ ，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．
由余弦定理得
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos ＝1＋ －2× × ＝ ，故CD＝ .
又AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝ ＋ ＝ ，故边AB的长为 .37484 926C 鉬32210 7DD2 緒;30786 7842 硂29085 719D 熝F27130 69FA 槺c26237 667D 晽28638 6FDE 濞l38739 9753 靓P
2021-2022年高中数学课时作业4正余弦定理在三角形中的应用新人教A版
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为 ，则 的值为( )
A. B.
C. D．2
解析：由 bcsinA＝ ，得c＝4.
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解析：(1)因为cosB＝ >0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝ .
由正弦定理 ＝ 可得 ＝ ，
所以a＝ .
(2)因为△ABC的面积S＝ ac·sinB，
sinB＝ ，所以 ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
答案：
8．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A＝________.
解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，
∵4· bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.
答案：45°
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝ ，b＝2.
(1)若DC＝ ，求角A的大小；
(2)若△BCD的面积为 ，求边AB的长．
解析：(1)在△BCD中，B＝ ，
BC＝1，DC＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，
解得sin∠BDC＝ ＝ ，因为A∈(0，π)，则∠BDC＝ 或 .
又由DA＝DC，则A＝ 或 .
(2)由于B＝ ，BC＝1，△BCD的面积为 ，
则 BC·BD·sin ＝ ，解得BD＝ .
解析：因为cosC＝ ，C∈(0，π)，所以sinC＝ ，
所以 absinC＝4 ，所以b＝2 .
答案：2
7．已知a，b，c是锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，若a＝3，b＝4，△ABC的面积为3 ，则c＝________.
解析：由S＝ absinC，得sinC＝ ，
∴cosC＝ ，再由余弦定理得c＝ .
答案：A
3．已知△ABC周长为20，面积为10 ，A＝60°，则BC边长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题设a＋b＋c＝20， bcsin60°＝10 ，所以bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
所以a＝7.即BC边长为7.
答案：C
所以 － ＝c .
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝ (b2＋c2－a2)，则B的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：因为acosB＋bcosA＝csinC，
解析：因为AB＝ ，AD＝1，∠BAD＝30°，
所以S△ABD＝ × ×1×sin30°＝ .
又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝ .
答案：
13．(淄博六中期末)在△ABC中， cos2A＝cos2A－cosA.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.
解析：(1)由已知得 (2cos2A－1)＝cos2A－cosA，
所以cosA＝ .
因为0<A<π，所以A＝ .
(2)由 ＝ 可得 ＝ ＝2，
所以b＝2c.
因为cosA＝ ＝ ＝ ，
所以c＝ ，b＝2 ，
所以S△ABC＝ bcsinA＝ ×2 × × ＝ .
14．在△ABC中，D为边AB上一点，DA＝DC.已知B＝ ，BC＝1.
故a＝ .ຫໍສະໝຸດ 所以 ＝ ＝ .答案：B2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40 B．20
C．40 D．20
解析：设另两边长为8x,5x，则
cos60°＝ ，解得x＝2.
两边长是16与10，
三角形的面积是 ×16×10×sin60°＝40 .
即4＝a2＋c2－ ac＝a2＋c2－16，
即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
因为a＋c>0，所以a＋c＝2 .
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证： － ＝c .
证明：由余弦定理的推论得cosB＝ ，cosA＝ ，代入等式右边，
得右边＝c ＝ ＝ ＝ － ＝左边，
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝ ，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，
∴ab＝6，∴S△ABC＝ absinC＝ ×6× ＝ .
答案：C
5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )
A．2 B．2或4
C．1或2 D．5
解析：如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.
因为AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，
所以 ×3×AD× ＋ ×6×AD× ＝ ×3×6× ，
解得AD＝2.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在△ABC中，已知a＝3 ，cosC＝ ，S△ABC＝4 ，则b＝________.