因式分解的变形策略及换元技巧

因式分解的换元技巧
1．整体换元
例 1 分解因式：x(x+1)(x+2)(x+3)+1=
解原式适当组合化为(x 2+3x)(x 2+3x+2)+1 设x2+3x=y,则
原式=y(y+2)+l
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x 2+3x+1)2
2．常值换元
例 2 分解因式：
x4 + 1 987x2 + 1 986x+ 1 987= ．
解设m=1987则
原式=x4+mx2+(m-1)x+m =x4+mx2+mx-x+m
42
=(x -x)+(mx +mx+m)
=x(x -1)(x 2+x+1)+m(x2+x+1)
=(x 2+x+1)(x 2-x+m)
=(x2+x+1)(x 2-X+1987)
计算① 632+37"+63X 74; ②982-15X 98-34.解：①令a=63, b=37.
. ‘2 2 2 2 4
原式=a+b+2ab=(a+b) =(63+37) =10 .
②令a=98,
原式二a2-15a-34=(a+2)(a -17)=8100.
3.均值换元
例3在实数范围分解因式:
(a 2+a+1)(a 2-6a+1)+12a2
解设y = * [S2 + 4 + 1)十 3 玄- + 1)]
分5“
=—— a + I
2
=(” + £a) (_y -尹)+12/
原式
=(八列卜一詞
=-2^ +- 3a + 1)
3 + f 孑-后2~,
4.双重换元
例4分解因式:
(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+1). 解设a+b二x, ab=y,贝卩
原式=x(x-2y)+(y -1)(y+1)
22
=x -2xy+y -1 =(x-y)2-1
=(x-y+1)(x -y-1) =(a+b-ab+1)(a+b-ab-
1) =(a-1)(1-b)(a+b-ab+1)
分解因式的变形策略
因式分解中的10 种变换
一、指数变换
例 1 因式分解x n+1-3x n+2x n-1．
解x n+1-3x n+2x n-1
=x2・x n-1-3x • x n-1+2x n-1(指数变换) =x n-
1(x+1)(x -2) ．
二、符号变换
例 2 因式分解(a-b)(x -y)-(b-a)(x+y), 解(a
-b)(x -y)-(b-a)(x+y)
=(a-b)(x -y)+(a -b)(x+y)( 符号变换)
=(a-b)(x -y+x+y)
=2x(a-b)．
三、换元变换
例 3 因式分解(x 2+5x+3)(x 2+5x-2) -6．
解设x2+5x-2=y,则
22
(x 2+5x+3)(x 2+5x-2)-6
=(y+5)y -6( 换元)
=y2+5y-6
=(y+6)(y -1)
22
=(x2+5x+4)(x 2+5x-3)
2
=(x+1)(x+4)(x 2+5x-3) ．
四、整体变换
2
例 4 因式分解(x+y) 2-4(x+y-1) ．
解(x+y) 2-4(x+y-1)
=(x+y) 2-4(x+y)+4( 将x+y 看作一整体)
2
=(x+y-2)2．
五、拆项变换
例 5 因式分解x2-11x+24．
解x 2-11x+24
=/-3x-8x+24(将-11x 拆为-3x-8x)
=x(x-3)-8(x-3)
=(x-3)(x -8)
六、添项变换
例 6 因式分解4x 4+1．
解4x4+仁Sx^Ax^lj/x2(添4x2项)
=(2X2+2X+1)(2X 2-2X+1)
七、主元变换
例7因式分解18x2-21xy-5y2.
解18X2-21xy+5y2
=5y2-21xy+18x2
(将原式看作关于y的二次三项式) =(5y-6x)(y -3X).
八、分组变换
例8因式分解X4-X3+X-1
解X4-X3+X-1
=(X4-X3)+(X -1)(分解)
=X3(X-1)+(X -1)
=(X-1)(X+1)(X 2-X+1).
九、数域变换
例9因式分解4a4-1.
解4a 4-1
=(2a2+1)(2a 2-1)(有理数范围)
= (2a2+ l)[(V3a)=-l]
-(2( + 1)(蔬卷+ l)(^a-l).(冥数范围) 注意：2a2+1到高中后还可以继续分解. 十、综合变换例10因式分解a6-b6
解 a 6-b6
=(a2)3-(b2)3( 指数变换)
=(a2-b2)(a 4+a2b2+b4) ( 公式变换)
=(a2-b2)(a 4+2a2b2+b4-a2b2) ( 添项变换) =(a2-b2)[(a 4+2a2b2+b4)-(ab) 2] ( 分组变换) =(a+b)(a -
b)(a 2+ab+b2)(a 2-ab+b2) ( 公式变换)
一、符号变形
例 1 分解因式：x2(x -z)+z 2(z -x)
解原式=/(x-z)-z2(x-z)
=(x -z)(x 2-z2)
=(x+z)(x -z) 2．
二、指数变形
例 2 分解因式：x6-z6．
解原式=(x3)2-(z3)2
=(x 3+z3)(x 3-z3)
=(x+z)(x 2-xz+z2)(x -z)(x 2+xz+z2) ．
三、分组变形
例 3 分解因式：a(a+b+c)+bc ．
解原式=a[(a+b)+c]+bc
=a(a+b)+(ac+bc)
=a(a+b)+c(a+b)
=(a+b)(a+c) ．
例 4 分解因式：(x 2+x+1)(x 2-6x+1)+12x2．解原式二[(x 2+i)+x][(x 2+1)-6X]+12X2
=(x 2+1)2-5x(x2+1)+6x2
=(x 2+1-2x)(x 2+1-3x)
=(x -1)2(x2-3x+1)．
四、拆项变形
例 5 分解因式：x3-9x+8.
解原式=(X3-X)-(8X-8)
=x(x+1)(x -1)-8(x-1)
=(x -1)(x2+x-8)．
五、添项变形
例 6 分解因式：4a4+1．
解原式=(4a4+4a2+1)-4a2
=(2a 2+1)2-4a2
=(2a 2+2a+1)(2a 2-2a+1)．
六、展开变形
例7 分解因式：ab(c 2+d2)+cd(a 2+b2)
解原式=abc2+abd2+a2cd+b2cd
=(abc 2+a2cd)+(abd 2+b2cd)
=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)
=(ad+bc)(ac+bd) ．
七、换元变形
例8 分解因式：(x-z) 2+4(x -y)(z -y) ．
解设x-y=a, z-y=b，贝卩x-z二a-b.
二原式=(a-b)2+4ab
=(a+b) 2
=(x+z -2y) 2.
例9 分解因式：(a 2+b2)(a 2-ab+b2)-2a2b2. 解设a2+b2=x，ab=y.
原式=x(x -y)-2y2
22
=x -xy-2y
=(x-2y)(x+y) =(a2+b2-2ab)(a 2+b2+ab) =(a-b)2(a2+ab+b2).
八、主元变形
例10 分解因式：6a2+11ab+3b2+4a-b-2. 解以a 为主元，贝原式=6a2+(11b+4)a+(3b 2-b-2) =6a2+(11b+4)a+(3b+2)(b -1) =6a2+[2(b -1)+3(3b+2)]a+(3b+2)(b -1)
=[2a+(3b+2)][3a+(b -1)] =(2a+3b+2)(3a+b-1).
1．添项（拆项）变换
例 1 分解因式4x 3-31x+15
解原式=4x3-10x2-2x2+5x+12x2-30x-6x+15
=x(4x 2-10x-2x+5)+3(4x 2-10x-2x+5)
=[(4x 2-10x)-(2x-5)](x+3)
=[2x(2x -5)-(2x-5)](x+3)
=(2x -1)(2x -5)(x+3)
2．组合变换
若多项式的项数较多，需考虑组合变换，对多项式进行组合时，须每组项数一样多，且每组各项有公因式，提出公因式后，所得到的另一因式又是各组的公因式，也有时先拆项，再组合．
例 2 分解因式
a2+2b2+3d2+3ab+4ac+5bc
解先拆项后组合
原式=(a 2+ab+ac)+(2ab+2b2+2bc)+(3ac+3bc+3c2)
=a(a+b+c)+2b(a+b+c)+3c(a+b+c)
=(a+b+c)(a+2b+3c)
例 3 分解因式
2 2 2 2 2 2
x y-y z+z x-x z+y x+z y-2xyz
解原式=(z 2x+z2y)+(x 2y+y2x) -(y 2z+xyz) -(x 2z+xyz)
2
=z (x+y)+xy(x+y) -yz(x+y) -xz(x+y)
2
=(x+y)(z +xy -yz -xz) =(x+y)(y(x -z)-z(x -z)) =(x+y)(x -z)(y -z) 3．展合变换有些多项式，须先展开再集项组合才能分解．例4 分解因式
(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2
解原式=a2+2ab+b2-2a-2b-2a2b-2ab2+4ab+1-2ab+a2b2
=a2(b2-2b+1)-2a(b2-2b+1)+(b 2-2b+1)
=(b 2-2b+1)(a 2-2a+1)
=(a -1) 2(b -1) 2 4．对称变换上面例4 用对称变换分解如下：令m=a+b n=ab,贝卩原式=(n-1)2-(m_2n)(2 -m)
=n2-2n+1-2m+m2+4n-2mn =(m2-2mn+n2)-2(m-n)+1
2
=(m-n) 2-2(m-n)+1 =(m-n-1)2=(a+b-ab-1)2=(a-1)2(b-1)2例 4 用对称变换分解，思路容易接通，运算也较简捷．5．配方变换
配方变换在因式分解中经常使用，如把x4+x2y2+y4分解因式，式中有x4+y4，若中间出现2x2y2,就能配出(x2+y2)2.
例 5 分解因式x6-y6．
解原式=(x2)3-(y2)3
=(x 2-y2)(x 4+x2y2+y4)
=(x+y)(x -y)[(x 2+y2)2-(xy) 2]
=(x+y)(x -y)(x 2+xy+y2)(x 2-xy+y2)
6.换元变换
例 6 分解因式(1+a+a2+a3)2-a3.
解令1+a+s2=m则
原式=(m+E)2-a3
=m2+2ma3+a6-a3
=m2+2ma3+a3(a 3-1)
=m2+2ma3+a3(a-1)(a 2+a+1)
=m2+2ma3+a3(a-1)m
=m(m+2a3+a4-a3)
=m(m+a4+a3)
=(1+a+a2)(1+a+a 2+a3+a4)
7.主元变换
例7 分解因式
a2b2-5a2b-3ab2+15ab-14a2+5b2+42a-25b-70
本题从表面上看很复杂，只要视 a 为主元，问题迎刃而解.
解原式=(b2-5b-14)a2-3(b2-5b-14)a+5(b 2-5b-14) =(b 2-5b-14)(a 2-3a+5) =(b+2)(b-7)(a2-3a+5)。