苏教版高中数学选修231.4计数应用题

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计数应用题
双基达标限时 15分钟
1．4 名不一样科目的实习教师被分派到三个班级，每班起码有一人的不一样分法有________．
分析将
23
4名教师分三组，而后全摆列分派到不一样的班级，共有
C4A 3＝ 36(种 )．
答案36 种
2．从 2,3,4,5,6,7,8,9这 8 个数中任取 2 个不一样的数分别作为一个对数的底数和复数，则能够构成 ________个不一样的对数值．
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分析C8＝5 ，又 log24＝log39，又 log39＝ log24，
log23＝log49，log4 9＝ log23 因此能够构成 52 个对数值．
答案52
3．某外商计划在 5 个候选城市投资 3 个不一样的项目，且在同一个城市投资的项目不超出 2 个，则该外商不一样的投资方案有________．
分析分两类：第一类，每个城市只好投资一个项目，共有
3
A 5种方案；第二
类，有一个城市投资 2 个项目，共有 C32·51·41种方案．由分类加法计数原理
A A
3211
得共有 A5＋C3A5A4＝ 120(种)方案．
答案120
4．甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中起码有 1 门不同样的选法共有 ________．
分析清除法：从反面考虑： C4242－C42＝6×6－6＝30.
C
答案
30
5．5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员．现从中选出
3 名队员排成
1,2,3 号参加集体竞赛，则当选的 3 名队员中起码有 1 名老队员，有 1,2 号中
起码有 1 名新队员的排法有 ________种 (用数字作答 )．
分析
(1)当有 1 名老队员时，其排法有
1 2 3
C 2 3 A 3＝36(种)；
C
(2)当有 2名老队员时，其排法有 C 22·C 13·C 12·A 22＝12(种)，∴共有 36＋12＝ 48(种 )．
答案
48
6．某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，此中
(1)某内科医生甲与某外科医生乙一定参加，共有多少种不一样选法？
(2)甲、乙均不可以参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人起码有一人参加，有多少种选法？
(4)队中起码有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
解 (1)只要从其余 18 人中选 3 人即可，共有 C 318＝816(种)；
(2)只要从其余 18 人中选 5 人即可，共有 C 5
18＝ 8 568(种 )；
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，
共有 C 12C 418＋ C 318＝ 6 936(种)；
(4)法一 (直接法 ) 起码有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一
内四外；二内三外；三内二外；四内一外，因此共有
C 121C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋
C 124C 18＝ 14 656(种)．
法二 (间接法 ) 由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)．
综合提升 限时 30分钟
7．用数字 0,1,2,3,4,5,6构成没有重复数字的四位数， 此中个位、 十位和百位上的
数字之和为偶数的四位数共有 ________个(用数字作答 )．
分析
分两大类： (1)四位数中假如有 0，这时 0 必定排在个、十、百位的任
一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种状况：①能够全部是偶
数；②能够全部是奇数．故此时共有
C 23A 33C 14＋C 23A 33C 41＝144(种)．(2)四位数中
3 1
2 1
3 1
假如没 0，这时后三位能够全部是偶数， 或两奇一偶．此时共有 A 3C 3＋C 3C 3A 3C 3
＝180(种)．故切合题意的四位数共有 144＋180＝324(种)．
答案 324
8．现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作起码有一人参加．甲、
乙不会开车但能从事其余三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不一样
安排方案的种数是 ________．
分析依题意得，这四项工作中必有一项工作有 2 人参加．由于甲、乙不会
开车，因此只好先安排司机，分两类：(1)从丙、丁、戊三人中任选一人开车；
再从其余四人中任选两人作为一个元素同其余两人从事其余三项工作，共有
C31C24A 33种方案； (2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车，其余三人从事其余
三项工作，共有C23A 33种方案，因此不一样安排方案的种数是C13C24A 33＋ C23A 33＝126.
答案126
9．3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是 ________．
分析先保证 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则有
C32·A22·A 33·A 24种排法，再从中清除甲站两头的排法，
∴所求排法种数为223222＝
A2·3·34－2A2· 3
C(A A A )
6×(6× 12－24)＝288.
答案288
10．某省高中学校自实行素质教育以来，学生社团获得迅猛发展．某校高一重生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之
家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团起码有一名同学参加，每名同学至
少参加一个社团且只好参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不一样
的参加方法的种数为 ________．
分析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，假如甲不参加“围
棋苑”，有以下两种状况：
(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙 )参加“围棋苑”，有 C14种方法，而后从
甲与丙、丁、戊共 4 人中选 2 人(如丙、丁 )并成一组与甲、戊分派到其余三
23123
个社团中，有 C4
A 3种方法，这时共有C443种参加方法；
C A
(2)从乙、丙、丁、戊中 2 人(如乙、丙 )参加“ 棋苑 ”，有 C 2
4种方法，甲
与丁、戊分派到其余三个社 中有 A 33种方法， 共有 C 42A 33种参加方法； 合
1 2 3 2 3
(1)(2)，共有 C 4 4 3＋C 4 A 3＝ 180(种)参加方法．
C A 答案 180
11．4 位参加 比 的同学，比 是：每位同学必 从甲、乙两道 中任
一 做答， 甲 答 得
100 分，答 得－ 100 分； 乙 答 得 90 分，
答 得－ 90 分．若 4 位同学的 分 0 分， 4 位同学有多少种不一样得分 状况？
解
分两 ：第一 四位同学中有两人 甲，两人 乙，有
2 2 2
C 4
2 2＝24(种)
A A
不一样的状况； 第二 四位同学中都 甲或都 乙， 有 2C 42C 22＝12(种)不一样的情 况．共有 24＋12＝36(种)不一样的状况．
12．已知 10 件不一样 品中有
4 件是次品， 它 行一一 ，直至找出所
有 4 件次品 止．
(1)若恰在第 5 次 ，才 到第一件次品，第十次才找到最后一件次品， 的不一样 方法数是多少？
(2)若恰在第 5 次 后，就找出了全部
4 件次品， 的不一样 方法数
是多少？
解 (1)先排前 4 次 ，只好取正品， 有 A 46种不一样 方法，再从 4 件次品
中 2 件排在第 5 和第 10 的地点上 ，有 C 42·A 22＝A 24(种) 法，再排余下 4 件的 位
4
4 2
4
置，有 A 4种 法．因此共有不一样排法
A 6·
4·
4＝103 680(种)．
A A
(2)第 5 次 恰 最后一件次品，另
3 件在前
4 次中出 ，进而前
4 次有一
件正品出 ．因此不一样 方法共有
1 3
A 41·(C 6·C 3)A 44
＝576(种)．
13．( 新拓展 )如 所示，在以 AB 直径的半 周上，有异于 A ，B 的六个点
C 1，C 2，⋯， C 6，直径 AB 上有异于 A ，B 的四个点
D 1，D 2，D 3，D 4 ：
.
(1)以 12 个点 (包含 A ，B)中的 4 个点 点，可作出多少个四 形？
(2)以 10 个点 (不包含 A，B)中的 3 个点点，可作出多少个三角形？其
中含点 C1的有多少个？
解 (1)构成四形，需要四个点，且无三点共，能够分红三：①四个点
从 C1， C2，⋯， C6中拿出，有 C46个四形；
②三个点从 C1， C2，⋯， C6中拿出，另一个点从 D1，D2，D3，D4，A，B 中拿出，有C36C16个四形；
③二个点从 C1，C2，⋯， C6中拿出，此外二个点从 D1， D2，D3，D4， A，B中拿出，有 C26C26个四形．
故足条件的四形共有
N＝C46＋C36C16＋C26C26＝360(个)．
(2)似于 (1)可分三种状况得三角形个数
C63＋C16C24＋ C26C14＝ 116(个)．
此中含点 C1的有 C25＋C15C14＋C24＝36(个)．。