第7单元 百分数的应用

六年级数学·上新课标[北师]
第7单元百分数的应用
本单元的主要教学内容有:百分数的应用(一)、百分数的应用(二)、百分数的应用(三)、百分数的应用(四)。

“百分数的应用”是在百分数的认识及简单应用基础上的进一步发展。

以实际情境为背景理解“增加(或减少)百分之几”的意义,掌握运用百分数的有关知识和方程解决“增加(或减少)百分之几”的实际问题。

教材设计了“水结成冰”“列车提速”“家庭消费”“银行储蓄”四个问题情境,将百分数的不同知识与相应的问题结合起来,通过对具体问题的分析,学习如何应用百分数解决相关的实际问题。

同时,经历不同的问题情境,使学生体会到百分数知识在生活中的广泛应用。

在学习方法的渗透上,教材特别注重运用画直观图的策略解决问题。

把图作为描述数学问题,理解数量关系的工具或手段,帮助学生筛选有用信息,分析、理清数量关系,在观察、解释和比较中找到解决问题的方法,体会并应用数形结合的数学思想。

本单元内容与以往知识的关联:本单元内容是小学教学中重要的基础知识之一,在本册中学生已经学习了分数的简单应用,百分数的意义,百分数与小数、分数的互化,百分数的简单应用。

在此基础上本单元进一步学习百分数的应用,解决“增加(或减少)百分之几”的有关实际问题和与储蓄相关的实际问题。

1.在具体情境中理解“增加百分之几”或“减少百分之几”的意义,进一步加深对百分数意义的理解。

2.会运用百分数的有关知识以及方程解决一些实际问题,提高解决实际问题的能力。

体会数学知识间的内在联系,培养迁移类推的能力,感受数学知识和方法的应用价值,发展数学思考的意识。

理解并掌握解决有关百分数的实际问题的基本思想方法,进一步积累解决问题的经验,
提高解决实际问题的能力,感受百分数与日常生活的密切联系。

在解决问题的过程中,学会独立思考,养成勇于质疑与合作交流的学习习惯。

【重点】理解“增加百分之几”或“减少百分之几”的意义,解决相关的实际问题;了解储蓄的意义,掌握利息的计算方法。

【难点】运用百分数的有关知识以及方程解决一些实际问题。

1.将知识置于现实情境中,通过不同情境问题的解决,体会百分数知识的应用价值。

数学源于生活用于生活,生活中的许多事例都与百分数知识有联系。

建议充分挖掘和利用教材提供的问题情境,采用自主探究、合作交流为主,教师点拨引导为辅的策略,让学生在生活实例中多角度思考问题,在具体运用中理解和掌握知识点。

同时,感受到数学的趣味和作用,体会到数学就在身边。

2.在学习方法上,建议引导学生密切联系百分数的意义及分数、除法中的相关知识,运用迁移、类推的方法解决问题。

让学生根据题意画出线段图,并结合线段图理解“提高(或增加)百分之几”或“降低(减少)百分之几”的意义,联系分数应用中的相关问题的解决方法去思考问题,从而解决问题。

1 百分数的应用(一)
“百分数的应用(一)”是本单元的第一个教学知识点,也是后面教学内容的基础。

主要理解“增加(或减少)百分之几”的意义,并能计算出实际问题中“增加(或减少)百分之几”,是在学生掌握了百分数的意义及简单应用基础上进行的教学。

教材注重通过具体情境引导学生利用百分数知识解决生活中的问题,从而进一步理解百分数的意义,体会数学知识与实际生活的密切联系。

因此,创设了常见的“水结成冰”这一自然背景,引出“增加百分之几”的问题。

引导学生分析“体积变化”中的数量关系,用百分数有关知识解决问题,进一步体会百分数的意义。

为了帮助学生解决问题,教材引导学生先分析“增加百分之几”是什么意思,并通过画线段图帮助学生寻找数量关系,逐步引导学生理解“增加百分之几”在本题中就是冰的体积比水多的部分是水的体积的百分之几。

教材中提供了两种不同的解答方法,这样安排,开拓学生的思路,发展学生思维的灵活性。

需要注意的是,教学时要鼓励学生根据实际问题中的数量关系和增加百分之几的意义解决问题,而不是依靠记忆题型和套用方法来解决问题。

1.在具体情境中理解“增加百分之几”或“减少百分之几”的意义,加深对百分数意义的理解。

2.学会用线段图分析数量关系,解决有关“增加百分之几”或“减少百分之几”的实际问题,提高运用数学知识解决实际问题的能力,体会百分数与现实生活的密切联系。

3.培养学生运用数学知识解释生活现象的能力,激发数学学习的兴趣。

【重点】理解“增加百分之几”或“减少百分之几”的意义,用线段图分析数量关系,
能解决有关“增加百分之几”或“减少百分之几”的实际问题。

【难点】解决有关“增加百分之几”或“减少百分之几”的实际问题。

第课时求一个数比另一个数多(或少)百分之几的问题
1.结合具体情境,理解“增加(或减少)百分之几”的意义,加深对百分数意义的理解。

2.学会通过画图分析,理解“增加(或减少)百分之几”问题中的各个量及它们之间的关系,培养良好的解题习惯。

3.在解题的过程中,体会几何直观对于寻找解题思路和列式解答问题所发挥的重要作用,培养学生多角度思考问题的能力。

【重点】理解“增加百分之几”或“减少百分之几”的意义。

【难点】理解“增加(或减少)百分之几”问题中的各个量及它们之间的关系。

【教师准备】PPT课件。

把下面的小数、分数化成百分数。

0.6= 0.2= 1.875=
= ≈=
【参考答案】60% 20% 187.5% 25% 71.4% 80%
方法一
1.视频导入,激发兴趣。

师:同学们知道水在温度很低的情况下会发生什么变化吗?(结成冰)那么你相信水能在瞬间就结成冰吗?今天老师给大家带来一个非常有趣的视频。

(播放视频)
师:在视频中你发现了什么神奇的现象?(水在几秒钟内变成了冰)
教师追问:在这一神奇的现象下,你还想了解哪些问题?
学生自由发言。

2.引出课题。

师:今天我们就借助“水结成冰”体积增加来继续探究有关百分数的知识。

板书课题:求一个数比另一个数多(或少)百分之几的问题。

[设计意图]从学生感兴趣的科学试验中寻找数学题材导入新课,不但可以提高学生的学习兴趣,激发求知的欲望,而且可使所要学习的数学问题具体化,形象化,使学生觉得数学问题是那么的鲜活。

方法二
1.实物展示,激发兴趣。

师:老师喜欢喝冰镇矿泉水,一天,我早早地把一瓶矿泉水放进冰箱里,后来有事忘记拿出来了,你们猜猜,会发生什么事?
学生根据生活经验会知道瓶子里的水冻住了,倒不出来了。

师:是呀,我把这瓶水带来了,你们看。

(同时拿出一瓶相同的没有结冰的矿泉水)同样的矿泉水,它们有什么不同吗?
学生除了会发现一个结冰,一个没有结冰外,还会发现结冰的矿泉水体积增加了。

2.引出课题。

师:今天我们就借助“水结成冰”体积增加来继续探究有关百分数的知识。

板书课题:求一个数比另一个数多(或少)百分之几的问题。

[设计意图]通过日常生活中的小例子,使学生认识到水结冰后体积增加这一自然现象,引出这种自然现象中也有数学问题,激起了学生学习数学的欲望。

一、求一个数比另一个数增加百分之几的问题
1.了解信息,提出问题。

PPT课件出示教材第87页主题图。

师:你发现了哪些信息?根据这些信息,你能提出什么数学问题?
预设生1:水的体积是45 cm3。

生2:结成冰的体积是50 cm3。

学生根据水的体积、水结成冰后的体积,会提出多种数学问题,教师要及时把握,引导提
出:冰的体积比原来水的体积约增加了百分之几?
师:我们要解决的这个问题与“结成冰的体积比水的体积增加了多少”相同吗?
学生经过思考会区别清楚:“结成冰的体积比水的体积增加了多少”可以用减法计算,而“冰的体积比原来水的体积约增加了百分之几”是冰的体积与原来水的体积之间的数量关系,需要用百分数的知识解决。

[设计意图]学生根据题目中的信息,自主提出数学问题,使学生初步了解是将冰的体积和原来水的体积进行比较,求出它们之间相差的百分比。

2.探究解决思路。

(1)初步理解“增加百分之几”的含义。

师:在这个问题中,什么是基准量?什么是比较量? “增加百分之几”是什么意思?
学生先独立思考,然后在小组里交换意见,教师巡视并参与讨论。

预设生1:基准量是原来水的体积,比较量是结成冰的体积比水的体积增加的量。

生2: 结成冰的体积大。

生3:“增加百分之几”的意思是用结成冰的体积与原来水的体积比较,增加的部分占原来水的体积的百分之几。

(2)画图分析数量关系。

师:冰的体积和原来水的体积之间有什么数量关系?你能想办法清晰地表示出来吗?
学生小组合作交流,教师巡视并适当提示采用画图的方法表示数量关系。

反馈展示,共同分析,重点引导学生说出线段图中每部分表示的是什么。

预设生1:把水的体积看作单位“1”,根据分数中计算一个数比另一个数多几分之几的思考方法,求冰的体积比水的体积增加了百分之几,就是求增加的部分占水的体积的百分之几。

生2:数量关系是:(冰的体积 - 水的体积)÷水的体积=增加的百分比。

生3:也可以把水的体积平均分成100份,水的体积就是100%,冰的体积占的百分比就是100%加上增加的部分。

(教师随学生解释补充此种方法的图示)
生4:反过来,增加的部分占的百分比就是冰占水的百分比减去100%。

生5:数量关系是:冰的体积÷水的体积 - 100%=增加的百分比。

教师对以上两种解决思路给予肯定,并鼓励学生尝试用其他画图方法表示数量关系,学生画图后,集体展示,互相评价。

[设计意图]引导学生分析、理解题目中的数量关系,渗透化归的思想方法;同时,学生在探究的过程中,利用百分数的意义和分数乘法会发现不同的解决思路,充分发挥了知识迁移的效力。

并对画图分析数量关系进一步巩固,掌握分析问题的方法。

3.列式计算。

学生独立列式计算,教师巡视了解计算情况,引导学生小组交流计算方法,互相说一说计算思路。

个别学生到黑板前板演,并结合线段图介绍计算思路。

方法一: (50 - 45)÷45
=5÷45
≈0.111
=11.1%
预设生:先计算出冰的体积比水的体积增加多少,再计算增加部分占水的体积的百分之几,就是增加了百分之几。

方法二:50÷45≈1.111=111.1%
111.1% - 100%=11.1%
预设生:先算冰的体积占原来水的体积的百分之几,再减去100%。

教师点拨:我们解决的这类问题可以归结为“求一个数比另一个数多百分之几”,可以运用“一个数比另一个数多几分之几”的思路来解决,有两种解决方法:一是先求出一个数比另一个数多多少,再除以单位“1”的量;二是先求出大数占小数的百分之几,再减100%。

[设计意图]让学生列出算式后结合线段图说出算式所表达的意思,目的是通过数形结合,帮助学生建立线段图与算式之间的联系,使学生更明确解题的思路。

二、求一个数比另一个数减少百分之几的问题
1.类推学习,自主探究。

(1)提出问题,设置疑问。

师:刚才我们计算出了水结成冰后体积大约增加了11.1%,那么冰化成水后,体积比原来大约减少百分之几呢?
PPT课件出示:冰的体积是50 cm3,化成水后体积约是45 cm3,水的体积比冰的体积少百分之几?
学生猜想:
预设生1:水结成冰后体积大约增加了11.1%,反过来,冰化成水后,体积比原来也一定减少了11.1%。

生2:冰化成水,是用水的体积与冰的体积相比较,单位“1”变了,所以减少的百分数不是11.1%。

师追问:同学们说的到底对不对呢?想办法验证一下吧!
(2)自主探究,验证疑问。

提出思考问题:①问题中基准量是什么?比较量是什么?②水的体积比冰的体积少百分之几是什么意思?
学生独立思考,画图分析数量关系,教师巡视并适当指导。

反馈汇报,集体评议。

预设生1:在这个问题中,基准量是冰,比较量是水比冰少的部分。

生2:画线段图时应该把冰的体积看作单位“1”或100%。

(展示学生所画的线段图,并让学生解释线段图表示的数量关系)
生3:水的体积比冰的体积少百分之几表示水的体积比冰的体积少的部分占冰的体积的百分之几。

请个别学生到黑板板演,并请其他学生对照计算方法,说一说运用什么数量关系,每一步表示的含义是什么。

方法一:(50 - 45)÷50
=5÷50
=10%
生4:这种方法是运用“(冰的体积 - 水的体积)÷冰的体积=减少百分之几”这一数量关系列式的。

生5:50 - 45表示水的体积比冰的体积少多少,再除以冰的体积表示少的部分占冰体积的百分比。

方法二:45÷50=0.9=90%
1 - 90%=10%
引导学生表述解题依据:先求出水的体积是冰的体积的百分之几,再将冰的体积看作单位“1”,用减法求出少百分之几。

2.小结:解决水的体积比冰的体积少百分之几这类问题,可以归结为“求一个数比另一个数少百分之几”的问题,就是求两个量的差占单位“1”的量的百分之几。

[设计意图]通过画图分析、验证打破固有思维,让学生进一步明晰解决百分数的问题的关键是要弄清楚“以谁为标准”。

给学生自主学习的机会,让学生通过类比的方法独立解决问题,突破重难点,使学生体验到成功的乐趣,激发学习数学的信心。

教材第88页第1题。

【参考答案】(1)略(2)12÷9≈1.333=133.3% 133.3% - 100%=33.3% 或(12 - 9)÷9≈0.333=33.3%(3)画图略9÷12=0.75=75%100% - 75%=25%或(12 - 9)÷12=0.25=25%
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈汇报)
预设生1:我学会了求一个数比另一个数增加(或减少)百分之几的问题的解决方法。

生2:我知道今天学习的增加或减少百分之几的问题,可以利用以前学过的分数的知识来解决。

生3:我知道了一个数比另一个数增加百分之几,反过来减少的却不是相同的百分之几了,因为单位“1”变了。

生4:我觉得通过画图能清楚地表示数量关系,使解决问题变得简单了。

生5:我学会了用多种方法解决增加或减少百分之几的问题。

[设计意图]鼓励学生对所学知识进行交流、用自己的语言概括,使解决问题思考方法内化于心,发展思维能力。

作业1
教材第88页第2题。

作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。

(1)今年的粮食产量比去年增加了10%,是把( )看成单位“1”。

(2)六年级二班男生人数占全班人数的25%,是把( )看成单位“1”,女生人数占全班人数的( )%。

(3)甲数是40,乙数是50.甲数是乙数的( )%,乙数是甲数的( )%,甲数比乙数少( )%,乙数比甲数多( )%。

2.(易错题)判断对与错。

(1)甲比乙多10%,则乙比甲少10%。

( )
(2)今年的产量是去年的112%,今年比去年增产 12%。

( )
(3)一吨煤,运走20%,还剩80%吨。

( )
(4)分母是100的分数都是百分数。

( )
3.(变式题)同学们去年植树成活了320棵,今年植树成活了400棵,今年植树成活的棵数比去年植树成活的棵数增加了百分之几?
4.(重点题)我国2000年商品出口总额达到2492亿美元,商品进口总额为2251亿美元。

出口总额比进口总额多百分之几?进口总额比出口总额少百分之几?(百分号前面保留一位小数) 【提升培优】
5.(重点题)服装厂5月份计划生产服装2500套,实际生产了2600套。

(1)实际完成计划的百分之几?
(2)实际生产比计划生产超额了百分之几?
6.(探究题)学校开展节电活动,十月份用电由计划的200度降低到120度,降低了百分之几? 【思维创新】
7.(探究题)完成一件工作,甲用5小时,乙用4小时,乙的工作效率比甲快百分之几?
【参考答案】
作业1:2.(1)(89 - 80)÷80=0.1125=11.25%(2)(113 - 101)÷101≈0.119=11.9% (3)略作业2:1.(1)去年粮食产量(2)全班人数75 (3)80 125 20 25 2.(1)✕(2)√(3)✕(4)✕ 3.(400 - 320)÷320=0.25=25% 4.(2492 - 2251)÷2251≈0.107=10.7% (2492 - 2251)÷2492≈0.097=9.7% 5.(1)2600÷2500=1.04=104%(2)(2600 - 2500)÷2500=0.04=4% 6.(200 - 120)÷200=0.4=40%7.-÷=25%
本节课的成功之处在于,通过教师引导,学生利用新旧知识的联系理解“增加(或减少)百分之几”的意义,明确单位“1”是什么。

教学中注意引导学生分析、对比,利用画图帮助学生理解数量关系,放手让学生合作交流、研究讨论。

在研究的过程中,学生充分发表自己的见解,展开多角度、多层次的比较,进行新旧知识的对比与沟通。

在学生间互相评议的过程中,形成了良好的认知结构,充分体现了学生的主体地位。

学生经历读题、审题、分析、解决问题这一过程,加深了对问题的理解,解决问题的能力得到提高,这也为接下来学习打折问题、利率问题打下了良好的基础。

(1)归纳、整理知识时,多是教师总结,没有给学生提供发表看法的机会,学生没有经历梳理解题思路的过程,致使一部分学生在课堂练习部分,机械地模仿例题计算方法,不能解释解题依据。

(2)课堂时间有些前松后紧,解决问题1和问题2时,展示画图过程占用的时间都比较长,重复描述图意情况多,浪费了时间。

(1)在教学设计中始终坚持“教师引导,学生主导”的思想,在探究结束后教师提出有价值的引导问题,让学生自己去总结归纳,描述解题思路。

(2)在引导学生利用画图的方式理解题意,表示数量关系的过程中,采用独立画图,小组交流,展示共性图例的思路。

在小组交流过程中可以帮助一些画图错误的学生进行更正,在互相指导中理解数量关系,然后通过展示共性图例进行分析,形成普遍思想。

梨的筐数比苹果多20%,苹果的筐数比梨少百分之几?(百分号前保留两位小数) [名师点拨] 由于梨的筐数比苹果多20%,所以把苹果的筐数看成单位“1”,此时梨的筐数相当于苹果筐数的120%,用20%除以120%即是苹果的筐数比梨少的百分数。

[解答] 20%÷(1+20%)≈16.67%。

答:苹果的筐数约比梨少16.67%。

数的分类和概念
我们把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…全体非负整数组成的数的集合称为“自然数”。

把1,2,3,…,9,10向后扩充得到正整数(1,2,3,…,9,10,11,…),反之,可得到负整数(…, - 11, - 10, - 9,…, - 3, - 2, - 1 ),介于正整数和负整数中间的“0”为中性数;把它们合在一起,得到(…, - 11, - 10, - 9,…, - 3, - 2, - 1, 0,1,2,3,…,9,10,11,…)整数。

对整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫作四则运算。

整数,对加、减、乘运算组成了一个封闭的数集,是数学古老分支“数论”研究的对象。

著名的德国数学家高斯说:“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”。

把数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验进行总结和整理,形成最古老的一门数学——算术。

有关百分数的计算公式
出米率=米的重量÷稻谷重量×100%;
出粉率=面粉重量÷小麦重量×100%;
出油率=油的重量÷含有物质重量×100%;
合格率=合格数÷产量(人数)总数×100%;
优秀率=优秀数÷总数×100%;
增长率=增长数÷基数×100%;
烘干率=烘干后的重量÷烘干前的重量×100%;
缩水率=缩水后的长度÷缩水前的长度×100%;
达标率=达标人数÷应达标的总人数×100%;
税率=税金÷营业额(利润)总数×100%;
成活率=成活数÷种(养)的总数×100%;
出勤率=出勤人数÷应出勤人数×100%;
缺勤率=缺勤人数÷应出勤人数×100%。

第课时解决实际问题
1.结合具体情境,利用“增加(减少)百分之几”的意义,解决有关实际问题,进一步巩固百分数的意义。

2.通过画图分析、理解数量关系,提高解决问题的能力,积累思考的经验。

3.体会百分数与实际生活的联系,激发学习兴趣;通过独立思考和合作探究解决问题,体验成功的乐趣。

【重点】利用“增加(减少)百分之几”的意义,解决有关实际问题。

【难点】理解“增加(减少)百分之几”问题中各部分数量的含义。

【教师准备】PPT课件。

1.想一想,填一填。

(1)六(4)班男生有30人,女生有25人,男生比女生多( )%。

(2)一种商品售价80元,比过去降低了20元,降低了( )%。

(3)一件原价45元的商品,现价27元,降低了( )%。

2.小明家4月份用电150度,5月份用电120度,5月份比4月份节约用电百分之几?
【参考答案】 1.(1)20 (2)20 (3)40 2.(150 - 120)÷150=20%
方法一
1.课件导入,创设情境。

PPT课件出示电器商场销售电器的热闹场景,然后把画面锁定在电水壶。

师:电器商场搞促销活动,这两款电水壶降价促销。

(PPT课件出示教材第88页主题图)你知道哪种水壶价格降得多吗?
初次观察学生会根据第一种水壶降32元,第二种水壶降50元判断出第二种水壶降价多。

2.引出课题。

教师追问:如果比较哪种水壶的价格降低的百分比多呢?是否可以直接比较降的价钱?
学生在提示下会感觉到,两种电水壶原价不同,不能直接比较降价钱数。

师:那么,怎么比较哪种水壶价格降低的百分比多呢?这节课我们就来探究这个问题。

板书课题:解决实际问题。

[设计意图]结合学生的生活经验创设熟悉的购物环境,通过提出思考问题,使学生产生认知上的冲突,激发学生的求知欲。

方法二
1.复习导入。

PPT课件出示教材第88页主题图中第一个电水壶图及价格。

师:同学们,根据这些信息你能提出哪些数学问题?
学生根据信息会提出:原价是多少元?现价是原价的百分之几?现价比原价降低百分之几等问题。

教师就“现价比原价降低百分之几?”这个问题引导学生复习:相比较的量是什么?单位“1”是哪个量?
学生经过回顾能够说出:相比较的量是降低的价格和原价,单位“1”是原价。

2.引出课题。

师:这节课我们借助价格问题继续探究有关百分数的知识。

板书课题:解决实际问题。

[设计意图]借用教材提供的部分信息,引导学生回忆上节课的知识,为本节教学内容做铺垫,然后开门见山引入课题,明确本节学习内容。

利用“求一个数比另一个数多(或少)百分之几”解决实际问题
1.分析、比较,理解题意。

PPT课件出示教材第88页主题图。

师:“价格降低的百分比”的意思是什么?你是怎样想的?
学生先独立思考,然后和小组同学交换意见。

教师巡视,鼓励采用画图方法进行分析的学生,建议其他学生想办法清晰地表示出题目中的数量关系。

集体汇报,共同评议。

预设生1:“价格降低百分之几”也就是现价比原价降低了百分之几。

生2:把原价看作单位“1”,与之比较的量是降低的价格。

生3:采用画图的方式表示就更清楚了(投影展示学生画的线段图,并请学生结合线段图分析)。

从图中可以看出原价包括两部分现价和降价,即现价+降价=原价;降低的百分比是降的价格占原价的百分之几,数量关系是降低的价格÷原价=降低的百分比。

生4:原价是单位“1”,单位“1”减去现价占原价的百分比,也等于降低的百分比。

[设计意图]本环节鼓励学生思考,理清数量关系,然后在小组交流中,互相补充体会多种思考方法。

学生通过语言描述、画图示,找出比较量和单位“1”,让学生经历分析、交流、借鉴的过程,提高分析问题的能力。

2.列式计算。

师:请你算一算哪种电水壶的价格降低的百分比多吧!
学生独立计算,教师巡视,对有困难的学生给予指导。

学生汇报,并说一说每步计算的依据,教师点评。

汇报过程预设:
A种电水壶:
方法一:先根据“原价=现价+降价”求出原价,再根据“降低价格÷原价=降低的百分比”求降低的百分比。

分步计算:32+96=128(元) 32÷128=25%。