带导数的插值

( 1 ) 若要求 P ( x ) 在 [ a , b ] 上具有一阶导 ( 一阶光滑度 )
显然 P ( x ) 在节点 x , x , , x 处必须满足 0 1 n
P ( x ) f ( x ) y i i i
P ( x ) f ( x ) y i i i
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2
0 y ,y 1 0 1
x x 0 x x 1 y1 1 2 x x x x 0 0 1 1
2

2
x x0 y x x 1 1 x x 0 1
x x 0 1
以上分析都能成立吗？
) 当 f(4 ( x ) 在 [ x ,x ] 上存在且连续时 , 上述余项公式 0 1
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例 设f(x)=lnx，给定f(1)=0, f(2)=0.693147, f’(1)=1, f’(2)=0.5。 用三次Hermite插值多项式H3(x)计算f(1.5)的近似值。
两点三次Hermite插值的误差为
R ( x ) f ( x ) H ( x ) 3 3
R ( x ) f ( x ) H ( x ) 0 3 i i 3 i
R ( x ) f ( x ) H ( x ) 0 3 i i 3 i
i 0 ,1
x , x 均为 R ( x ) 的二重零点 , 因此可设 0 1 3
使得
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(4)() 0
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即
( ) f ( ) 4 ! K ( x ) 0
( 4 ) ( 4 )
f (4)() K(x) 4 !
所以,两点三次Hermite插值的余项为
( 4 ) f ( ) 2 2 R ( x ) ( x x ) ( x x ) 3 0 1 4 !
2 ( x ) ( x x ) ax b ) 0 1 (
由
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(x 1 0 0)
(x 0 0 0)
6
可得
2 a (x0 x1)3
1 2 x 0 b 2 3 ( x x ) ( x x ) 0 1 0 1
2 ( x ) ( x x ) ax b ) 0 1 (
2 2 y ( x x ) l ( x ) y ( x x ) l ( x ) 1 1 1 0 0 0

2
x x1 x x0 y0 12 x x x x 1 1 0 0 x x1 y x x 0 0 x x 1 0
H ( x ) a h ( x ) a h ( x ) a h ( x ) a h ( x ) 3 0 0 1 1 2 2 3 3
希望插值系数与Lagrange插值一样简单 重新假设
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H ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1
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x x 0 x x 1 y1 1 2 x x x x 0 0 1 1
2

2
x x0 y x x 1 1 x x 0 1
2
9
二、两点三次Hermite插值的余项

得两个节点的三次Hermite插值公式
H ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1
2 2 y ( 1 2 l ( x )) l ( x ) y ( 1 2 l ( x )) l ( x ) 0 1 0 1 0 1
2 0

x x0 1( x) x x ( x x ) l ( x ) 1 1 x x 0 1
2 1
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2
将以上结果代入
8
H ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1
2x (xx 3 1) ( x x ) 0 1
2
1 2 x 0 2 3 (x x (x x 0 1) 0 1)
( x x1 )2 ( x0 x1 )2
2 x0 2x 1 x0 x1 x0 x1

5

H ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1

x 0 0( 1)
(x 1 1 1)
其中
(x 1 0 0)
(x 0 1 0)
(x (x 0 0 0 0) 0 1)
已知 f( x ) 在节点 1 ， 2 处的函数值为 f( 1 ) 2 ,f( 2 ) 3 f( x ) 在节点 1 ， 2 处的导数值为 f ( 1 ) 0 ,f ( 2 ) 1
求 f( x ) 的两点三次插值多项式 , 及 f( x ) 在 x 1 . 5 , 1 . 7 处的函 .
i i 3 i i 2 0 i 2 1
3 2 0 2 1
( t ) f ( t ) H ( t ) K ( x )( t x ) ( t x )
3 2 0
2 1
均是 二重根
因此 ( t) 至少有 5 个零点
[x 连续使用4次Rolle定理，可得， 至少存在一点 0,x 1]
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
设 f ( x ) 在节点 a x , x , , x b 处的函数 y , y , , y , 0 1 n 0 1 n
设 P ( x ) 为 f( x ) 的在区间 [ a ,b ] 上的具有一阶导数的 值函数
x1 x0 x 0 x 1
2
类似可得
x x1 1 ( x) ( 1 2 l ( x )) l( x ) 0 1 2 x x 0 1
2 1
x x0 x x 0 1
2

2
x x1 x x 0 ( x) ( x x ) l ( x ) 0 0 x x 1 0
(x (x 0 0 1 0) 1 1)
(x 0 0 0)
(x 0 1 0)
可知
(x 0 0 1)
( ( x ) 0 x ) 1 0 1 0 0
(x ( 1 x ) 0 1 1) 1 0
(x ) 0 1 1
x 是 ( x ) 的二重零点 , 即可假设 1 0
( 2 ) 同样 , 若要求 P ( x ) 在 [ a , b ] 上具有 m 阶导数 ( m 阶光滑 )
显然 P ( x ) 在节点 x , x , , x 处必须满足 0 1 n
P ( x ) f ( x ) y i i i
P ( x ) f ( x ) y i i i
2
14
x 1 3 1 2 ( x 2 ) 2 1 2 ( x 1 ) H3(x) x 22
Lagrange 插值基函数
x x0 1 2 x x 1 0
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x x1 x x 1 0

2
2 ( 1 2 l ( x )) l ( x ) 1 0
7
即
x x1 x x0 2 0 ( x) ( 1 2 l ( x )) l ( x ) 1 0 1 2
解:
2 ,y 3 x 1 ,x 2 y 0 1 0 1
H ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( x ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1
x x1 x x0 y0 12 x x x x 1 1 0 0 x x1 y x x 0 0 x x 1 0
Ax b § 2.2.4
带导数的插值问题
a11 a21 A an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
xi
bi l ij x j
j1
i1
l ii i 2 , 3 , , n
1
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2 2 R ( x ) K ( x )( x x ) ( x x ) 3 0 1
其中 K (x) 待定
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构造辅助函数
( x ) f ( x ) H ( x ) K ( x )( x x ) ( x x ) 0 i 0 ,1 ( x ) f ( x ) H ( x ) K ( x )( x x ) ( x x ) 0
2 H ( x ) 0 . 693147 ( 5 2 x )( x 1 ) 3
得三次Hermite插值多项式
2 2 ( x 1 )( 2 x ) 0 . 5 ( x 2 )( x 1 ) .
由此得f(1.5)的近似值H3(1.5)=0.409074
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例1.
解 记x0=1,x1=2, 可得
0 0
( x ) ( 2 x 1 )( 2 x ) , ( x ) ( 5 2 x )( x 1 ) , ( x ) ( x 1 )( 2 x ) , ( x ) ( x 2 )( x 1 ) .
2 2 1 2 2 0
i 0 , 1 , , n i 0 , 1 , , n
--------(1)
2
共 2 n + 2 个 方 程 ， 可 以 解 出 2 n 2 个 待 定 的 系 数
因此 P ( x ) 可以是最高次数为 2 n 1 次的多项式
两个节点就可以用 2 1 1 3 次多项式作为插
一般 ,k 次 Hermite 插值多项式 H ( x ) 的次数 k 如果太高会 k
收敛性和稳定性 ( Runge 现象 ), 因此 k 不宜太大 , 仍用分段
两点三次Hermite插值
先考虑只有两个节点的插值问题
设 f( x ) 在节点 x ,x 处的函数值为 y ,y 0 1 0 1
1 在节点 x 处的的一阶导数值为 y 0,x 1 0,y
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两个节点最高可以用 3 次 Hermite 多项式 H ( x ) 作为插 3
H3(x)应满足插值条件
H ( x ) y 3 0 0
( H x ) y 3 0 0
H ( x )y 3 1 1
( H x ) y 3 1 1
H3(x)应用四个插值基函数表 示
设 H ( x ) 的插值基函数为 h x ), i 0 , 1 , 2 , 3 3 i(
P ( x ) f ( x ) y i i i

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i 0 , 1 , , n --------(2)
( m ) ( m ) ( m ) P ( x ) f ( x ) y i i i
3
定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项 式，记为Hk(x) , k为多项式次数