人教A版高二数学选修1-1单元综合素质检测-选修1-1全册.doc

人教A版高二数学选修1-1单元综合素质检测-选修1-1全册
选修1－1综合素质检测
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2009·天津高考)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()
A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0≥0 C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0
2．设p：大于90°的角叫钝角，q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p与q的复合命题的真假是()
A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“¬q”真D．“p∨q”真
3．已知抛物线x2＝4y的焦点F和点A(－1,8)，点P为抛物线上一点，则|PA|＋|PF|的最小值为() A．16
B ．6
C ．12
D ．9
4．如果双曲线经过点(6，3)，且它的两条渐近线方程是y ＝±13x ，那么双曲线方程是( ) A.x 236－y 2
9＝1 B.x 281－y 2
9＝ 1
C.x 29－y 2＝1
D.x 218－y 2
3
＝1 5．设f (x )可导，且f ′(0)＝0，又lim x →0 f ′(x )x
＝－1，则f (0)＝( )
A ．可能不是f (x )的极值
B ．一定是f (x )
的极值 C ．一定是f (x )的极小值 D ．等于0
6．下列判断不正确．．．
的是( ) A ．命题“若p 则q ”与“若¬q 则¬p ”互为
逆否命题
B ．“am 2<bm 2”是“a <b ”的充要条件
C ．“矩形的两条对角线相等”的否定为假
D ．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真
7．(2010·广东文，8)“x＞0”是“3
x2＞0”
成立的()
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件8．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是()
A．12，－15 B．5，－15 C．5，－4 D．－4，－15
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x－1有极大值和极小值，则a的取值范围是() A．－1<a<2 B．－3<a<6 C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2
10．(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2
D．x＝－2
11．设F1、F2是双曲线x2
4a－
y2
a＝1的两个焦
点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积是1，则a的值是()
A．1 B.
5
2C．2
D. 5
12．下列四图都是同
一坐标中某三次函数及其
导函数的图象，其中一定
不正确的序号是()
A．①②B．③④C．①③D．①④
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是________．14．使y＝sin x＋ax为R上的增函数的a的范围为______．
15．一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离
水面2m ，水面宽4m ，当水面下降1m 后，水面宽________m.
16．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若
|PA
→|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O
为坐标原点，若OP →＝12
(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；
③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭
圆和双曲线的离心率；
④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235
＋y 2＝1有相同的焦点．
其中真命题的序号为________(写出所有真
命题的序号)．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知P：{x|a－4<x<a ＋4}，Q：{x|x2－4x＋3<0}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
18．(本题满分12分)求与⊙C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切且与⊙C2：(x－1)2＋y2＝9相内切的动圆圆心P的轨迹方程．
19．(本题满分12分)过抛物线y＝ax2(a>0)的顶点O作两条相互垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点．
20．(本题满分12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝log a(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．
21．(本题满分12分)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x∈[0,2]时，若|f(x)|≤2恒成立，求a 的取值范围．
22．(本题满分14分)(2010·重庆文，19)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式：
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
1[答案] D
[解析]特称命题的否定为全称命题，故选D.
2[答案] D
[解析]p假，q真，故“p∨q”真．
3[答案] D
[解析]如图，
过点A作准线的垂线，B为垂足，与抛物线
交于一点P ，则点P 为所求的点，|PA |＋|PF |的最小值为|AB |的长度．
4[答案] C
[解析] 设双曲线方程为⎝
⎛
⎭⎪⎪⎫13x ＋y ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫13x －y ＝λ将点(6，3)代入求出λ即可．答案C.
5[答案] B
[解析] 由lim x →0 f ′(x )
x ＝－1，故存在含有0的区间(a ，b )使当x ∈(a ，b )，x ≠0时，f ′(x )
x <0，于是当x ∈(a,0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，b )时，f ′(x )<0，这样f (x )在(a,0)上单增，在(0，b )上单减．
6[答案] B
[解析]am2<bm2⇒a<b，但a<b⇒/ am2<bm2.
例如：m＝0时．
7[答案] A
[解析]本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x>0显然能推出3x2>0，而3x2>0⇔|x|>0⇔x≠0，不能推出x>0，故选A.
8[答案] B
[解析]y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．
列表如下：
x 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f ′(x )
－
0 ＋
f (x ) 5
极小值
－15
－
4
由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B.
9[答案] C
[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，令f ′(x )＝0，
即3x 2＋2ax ＋a ＋6＝0，
由题意，得Δ＝4a 2－12(a ＋6)＝4(a 2－3a －18)＝4(a －6)(a ＋3)>0，
∴a >6或a <－3，故选C.
10[答案] B
[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 2
2，
y 1＋y 2
2
)， ∴y 1＋y 2
2＝2，⎩⎨⎧
y 21＝2px 1 ①y 2
2＝2px 2 ②
①－②得y 21－y 2
2＝2p (x 1－x 2)⇒
y 1－y 2x 1－x 2
＝
2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 2
2，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，
∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.
11[答案] A
[解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝4a (a >0)，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16a，
又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝20a，
∴|PF1|·|PF2|＝2a，∴S△F1PF2＝1 2
|PF1|·|PF2|＝a＝1.
12[答案] B
[解析]二次函数为导函数，③中x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．
13[答案]a＋b＋1<0
[解析]实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是f(1)＝a ＋b＋1<0.
14[答案]a≥1
[解析]y′＝cos x＋a≥0在R上恒成立，
∴a≥－cos x在R上恒成立，
又cos x∈[－1,1]，∴－cos x∈[－1,1]，∴a≥1.
15[答案]2 6
[解析]设抛物线方程为：x2＝－2py(p>0)，点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，
设水面下降1m后，水面宽2x m，则点(x，－3)在抛物线上，∴x2＝6，∴x＝ 6.
16[答案]③④
[解析]①中当k＝|AB|时，点P的轨迹是一条射线．
②中，点P的轨迹是以AC中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆．
17[解析] 因为P ：{x |a －4<x <a ＋4}， Q ：{x |1<x <3}，又因为x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P ，
所以⎩⎨⎧
a －4≤1a ＋4≥3
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤5a ≥－1，即－1≤a ≤5.
18[解析] 设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为r ，
由题意得|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝3－r ， ∴|PC 1|＋|PC 2|＝r ＋1＋3－r ＝4>|C 1C 2|＝2， 由椭圆定义知，动圆圆心P 的轨迹是以C 1、C 2为焦点，长轴长2a ＝4的椭圆，椭圆方程为：x 24＋y 2
3
＝1. 19[解析] 证明：设P (x 1，ax 21)，Q (x 2，ax 22)，
则直线PQ 的斜率为k PQ ＝a (x 1＋x 2)
∴其方程为y －ax 21＝a (x 1＋x 2)(x －x 1)， 即y －a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0，
∵OP ⊥OQ ，∴k OP ·k OQ ＝－1⇒a 2x 1·x 2＝－1. ∴y －1
a ＝a (x 1＋x 2)(x －0)． ∴PQ 恒过定点⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫0，1a .
20[解析] 当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；
当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．
曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4>0.
即a <12或a >52
.
(1)p 正确，q 不正确． 则
a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪⎪⎪
12≤a ≤52且a ≠1，即a ∈⎣
⎢⎢⎡⎭
⎪⎪
⎫12，1.
(2)p 不正确，q 正确．
则a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪⎪
⎪
0<a <12或a >52，
即a ∈⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫5
2，＋∞.
综上，a 取值范围为⎣
⎢⎢⎡
⎭⎪⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫52，＋∞. 21[解析] (1)对函数f (x )求导数， 得f ′(x )＝3x 2－2x －1.
令f ′(x )>0，解得x >1或x <－1
3；
令f ′(x )<0，解得－1
3
<x <1.
所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1
3)和
(1，＋∞)，
f (x )的单调递减区间为⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫－13，1.
(2)由(1)知，f (x )在(0,1)上是递减的，在(1,2)上是递增的，
所以，f (x )在[0,2]上的最小值为f (1)＝－1＋a ；
由f (0)＝a ，f (2)＝2＋a ，知f (0)<f (2)， 所以，f (x )在[0,2]上的最大值为f (2)＝2＋a . 因为，当x ∈[0,2]时， |f (x )|≤2⇔－2≤f (x )≤2
⇔⎩⎨⎧
－1＋a ≥－22＋a ≤2
，解得－1≤a ≤0，
即a的取值范围是[－1,0]．
22[解析]本题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值等基础知识．考查导数在函数中的应用，同时还考查综合分析问题和解决问题的能力．
解：(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b ＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(ba＋1)x2＋(b＋2)x＋b]
，b＝0.
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1
3
因此f(x)的解析表达式为f(x)＝－1
3＋x2.
3x
(2)由(1)知g (x )＝－13
x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.
解得x 1＝2，x 2＝2，
则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0时，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间[－2，2]上是增函数，由单调性可知，在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2
时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43
. 因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43
.。