2021春人教版八年级数学下册同步练习

二次根式
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·红河中考)计算的结果是( )
A.-3
B.3
C.-9
D.9
2.如果a>b,则-b一定是( )
A.负数
B.正数
C.非负数
D.非正数
3.实数a在数轴上的位置如图所示,则()2+化简后为( )
A.7
B.-7
C.2a-15
D.无法确定
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.计算:-|2-π|= .
5.(2013·汕头中考)若实数a,b满足+=0,则= .
6.对于任意不相等的两个实数a,b,定义一种运算※如下:a※b=,例如,2※3===1.那么-3※-2= .
三、解答题(共26分)
7.(6分)由()2=a(a≥0)可得a=()2(a≥0),利用a=()2(a≥0)可将任意一个非负数写成一个非负数的平方的形式,例如,3=()2.参考以上方法在实数范围内分解因式:
(1)x4-25. (2)2a2-7.
8.(6分)已知下列二次根式都是整数,求正整数n的最小值及此时二次根式的值.
(1).
(2).
9.(6分)若|x|=3,化简|x+3|-.
【拓展延伸】
10.(8分)对于题目“+,其中a=”,小天和小强的解答不同. 小天的解答:+=+
当a=时,原式=+-a=-a=10-=.
小强的解答:+=+
=+a-=a,
当a=时,原式=a=.
小天和小强谁的解答是错误的?为什么?
答案解析
1.【解析】选B.==3.
2.【解析】选B.∵=≥a,且a>b,
∴>b,∴-b>0,即-b一定是正数.
3.【解析】选A.由实数a在数轴上的位置可知5<a<10,
∴a-4>0,a-11<0,
∴()2+=a-4-(a-11)=a-4-a+11=7.
4.【解析】―|2―π|=|3.14―π|―|2―π|=π―3.14―(π―2)=―1.14.
答案:―1.14
5.【解析】∵+=0,∴a+2=0,b-4=0.解得a=-2,b=4.将a=-2,b=4代入中,得=1.
答案:1
6.【解析】-3※-2===1.
答案:1
7.【解析】(1)x4-25=(x2)2-52=(x2+5)(x2-5)=(x2+5)(x+)(x-).
(2)2a2-7=(a)2-()2=(a+)(a-).
8.【解析】(1)∵=,则2(n-9)是完全平方数,∴n-9≥2,解得n≥11,
∴n取最小值11时,===2.
(2)∵==,则5n是完全平方数,
∴当n取最小值5时,原式=====15.
9.【解析】由|x|=3得x=±3.
①当x=3时,原式=|x+3|-=x+3=6;
②当x=-3时,原式=0-6=-6.
10.【解析】小强的解答是错误的.
∵当a=时,=5,a-<0, ∴≠a-,
而是=-a.
二次根式的加减
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列运算中,正确的是( )
A.=3
B.(-)÷=-1
C.÷=2
D.(+)×=+3
2.在算式□的□中填上运算符号,使结果最大,这个运算符号是
( )
A.+
B.-
C.×
D.÷
3.下列计算正确的是( )
A.(3-2)(3+2)=9-2×3=3
B.(2+)(2-)=2x-y
C.(3-)2=32-()2=6
D.(+)(-)=1
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.计算:-×= .
5.规定一种新运算a⊗b=a2-b,如3⊗2=32-×2=9-2,则(2-1)⊗
= .
6.×(+1)= .
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:(7-4)(2-)2+(2+)(2-)+.
8.(8分)(2013·德州中考)先化简,再求值:÷,其中a=-1.
【拓展延伸】
9.(10分)阅读下面的分析与计算过程:计算:×82014.
若根据有理数的混合运算法则,先计算乘方,再计算乘法,明显看出这种方法是不可取的.若逆用积的乘方性质a n·b n=(ab)n,原式==1.
仿照上面的方法,计算:(1-)2014·(1+)2015.
答案解析
1.【解析】选D.因为=3+1=4,所以选项A不正确;因为(-)÷=-=2-,所以选项B不正确;因为÷=2=8,所以选项C不正确;因为(+)×=×+()2=+3,所以选项D正确.
2.【解析】选D.因为+=-,
-=0,
×=,
÷=1,
所以运算符号是“÷”时结果最大.
3.【解析】选D.(+)(-)
=()2-()2=x+1-x=1,
因此选项D正确.
【归纳整合】二次根式混合运算“四注意”
(1)注意运算顺序.(2)注意运算法则.(3)注意运算律和乘法公式的灵活运用.
(4)计算结果中含二次根式的一定要化成最简二次根式,且分母中不能含有二次根式.
4.【解析】-×=2-=2-=.
答案:
5.【解析】根据新运算的法则可知(2-1)⊗=(2-1)2-·
=20-4+1-2=21-6.
答案:21-6
6.【解析】原式=++…+×(+1)=(-1+-+…+-)×(+1)=(-1)×(+1)=2014-1=2013.
答案:2013
7.【解析】(7-4)(2-)2+(2+)(2-)+
=(7-4)(7-4)+22-()2+
=(7-4)2+4-3+
=97-56+4-3+=98-55.
8.【解析】÷
=÷
=·=.
当a=-1时,
原式====1.
9.【解析】原式=(1-)2014·(1+)2014·(1+)
=[(1-)2014·(1+)2014]·(1+)
=[(1-)·(1+)]2014·(1+) =(-1)2014·(1+)=1+.
二次根式的乘除
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·潍坊中考)实数0.5的算术平方根等于( )
A.2
B.
C.
D.
2.计算3÷(-)÷(-)的结果为( )
A.3
B.9
C.1
D.3
3.已知y1=x,y2=,y3=,y4=,…,则y1·y2014=( )
A.2x2
B.1
C.2
D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.化简:= .
5.二次根式,,,,,中最简二次根式是.
6.观察并分析下列数据,寻找规律:0,,-,3,-2,,-3,…,那么第10个数据是.
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·泰州中考)先化简,再求值:
÷,其中x=-3.
8.(8分)长方形的长为3,面积为30,要在这个长方形中剪出一个面积最大的正方形,求这个正方形的面积.
【拓展延伸】
9.(10分)已知,a=,b=,试比较与1的大小关系.
答案解析
1.【解析】选C.∵0.5的算术平方根是,而=====.
2.【解析】选C.3÷(-)÷(-)=3××==1.
3.【解析】选 C.∵y1=x,∴y2====,∴y3==2÷=2×===x,因此,y1,y2,…,y2014的值分别为x,,…,每两个数一循环,则y2014=,∴y1·y2014=x·=2.
4.【解析】方法一:==.
方法二:==.
答案:
5.【解析】∵=,==7,=2|x|,
∴,,不是最简二次根式.二次根式,,符合最简二次根式的概念.
答案:,,
6.【解析】∵各个式子正、负相间,且第n个式子的被开方数为3n-3,∴第10个数据是==3.
答案:3
7.【解析】÷
=÷=÷
=·=,
当x=-3时,原式===.
8.【解析】长方形的宽为30÷3=2，
∵3>2,
∴这个正方形的边长为2,面积为(2)2=60.
9.【解析】∵a=,b=,
∴=÷=.
∵2013×2015=(2014-1)×(2014+1)=20142-1,
而20142-1<20142.
∴<1,
∴<1,
∴<1.
勾股定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,每个小正方形的边长为1,△ABC的三边a,b,c的大小关系是( )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.c<a<b
D.c<b<a
2.(2013·南京中考)设边长为3的正方形的对角线长为a,下列关于a的四种说法:①a是无理数;②a可以用数轴上的一个点来表示;③3<a<4;④a是18的算术平方根.其中,所有正确说法的序号是( )
A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④
3.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n个三
角形的面积为( )
A.n
B.
C. D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是.
5.(2013·吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐
标分别为(-6,0),(0,8).以点A为圆心,以AB长为半径画弧,
交x正半轴于点C,则点C的坐标为.
6.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段条.
三、解答题(共26分)
7.(8分)在同一直角坐标系中分别描出点A(-3,0),B(2,0),C(1,3),再用线段将这三点首尾顺次连接起来,求△ABC的面积与周长.
8.(8分)如图所示,在有24个边长为1的小正三角形的网
格中,点P是正六边形的一个顶点,以点P为直角顶点作
格点直角三角形,(即顶点均在格点上的三角形),请你写
出所有可能的直角三角形斜边的长.
【拓展延伸】
9.(10分)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其
中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图所示,是一棵由
正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股
树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2,…,第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S n.设第一个正方形的边长为1.
请解答下列问题:
(1)S1= .
(2)通过探究,用含n的式子表示S n,则S n= .
答案解析
1.【解析】选C.∵AC==5=,BC==,AB=4=,
∴b>a>c,即c<a<b.
2.【解析】选C.由勾股定理得,正方形的对角线长为a===3,且4<a<5.所以③错误,其他都正确.
3.【解析】选D.根据勾股定理:
在第一个三角形中:O=1+1,S1=1×1÷2.
在第二个三角形中:O=O+1=1+1+1,
S2=OA1×1÷2=×1÷2.
在第三个三角形中:O=O+1=1+1+1+1,
S3=OA2×1÷2=×1÷2;
…
在第n个三角形中:S n=×1÷2=.
4.【解析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,所以斜边长为=,所以-1到点A的距离是,那么点A所表示的数为-1.
答案:-1
5.【解析】∵点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8),∴AO=6,BO=8,
∴AB==10,
∵以点A为圆心,以AB长为半径画弧,
∴AB=AC=10,∴OC=AC-AO=4,
∵交x正半轴于点C,∴点C的坐标为(4,0).
答案:(4,0)
6.【解析】如图,由于每个小正方形的边长都为1,那么根据
勾股定理容易得到长度为的线段,然后可以找出所有这
样的线段.如图,所有长度为的线段全部画出,共有8条.
答案:8
7.【解析】如图,利用勾股定理得,AC==5,BC==,
AB=2-(-3)=5,
∴△ABC的周长为A C+BC+AB=5++5=10+,面积为×5×3=.
8.【解析】通过作图知,以点P为直角的三角形有八种情况,如图,△PCB,△PCA,△PDB,△PDA,△PC'B',△PC'A',△PD'B',△PD'A',均是以点P为直角的直角三角形,且△PCB≌△PC'B',△PCA≌△PC'A',△PDB≌△PD'B',△PDA≌△PD'A',故:
在Rt△PCB中,BC===2=B'C';
在Rt△PCA中,AC====A'C';
在Rt△PDB中,BD====B'D';
在Rt△PDA中,AD===4=A'D'.
故所有可能的直角三角形斜边的长为4,2,,.
9.【解析】(1)∵第一个正方形的边长为1,
∴正方形的面积为1,
又∵直角三角形一个角为30°,
∴三角形的一条直角边为,另一条直角边就是=,
∴三角形的面积为×÷2=,∴S1=1+.
(2)∵第二个正方形的边长为,它的面积就是,也就是第一个正方形面积的, 同理,第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的,
∴S2=·,依此类推,S3=··,即S3=·,
所以S n=·(n为整数).
勾股定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·安顺中考)如图,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行( )
A.8m
B.10m
C.12m
D.14m
2.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1m处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为( )
A.m
B.m
C.(+1)m
D.3m
3.如图,图中有一长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm的木箱,
在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计),
要求木条不能露出木箱,请你算一算,能放入的细木条的最
大长度是( )
A.cm
B.cm
C.5cm
D.5cm
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在高为3m,斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要
m;若楼梯宽2m,每平方米地毯需30元,那么这块地毯需要花元.
5.如图,要制作底边BC的长为44cm,顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架,则腰AB的长至少需要cm.(结果保留根号的形式)
6.一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正
方形DEFH的边长为2m,若∠A=30°,∠B=90°,BC=6m.当
正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= m时,
有DC2=AE2+BC2.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA
⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁
路AB附近建一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的
距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?
8.(8分)在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处,如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树有多高?
【拓展延伸】
9.(10分)小明家住在18层的高楼上.一天,他与妈妈去买竹竿.
如果电梯的长、宽、高分别是1.5m,1.5m,2.2m,那么能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少?你能估计出小明家买的竹竿至少是多少米吗(精确到0.1)?
答案解析
1.【解析】选B.如图,设大树高为AB=10m,小树高为CD=4m,
过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,
∴EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6(m),
在Rt△AEC中,AC==10m.
2.【解析】选 C.在Rt△ABC中,AC=1m,AB=2m,由勾股定理,得BC==m;
∴树的高度为AC+BC=(+1)m.
3.【解析】选 C.如图,连接BC,BD,在Rt△ABC
中,AB=5cm,AC=4cm,根据勾股定理,得
BC==cm,
在Rt△BCD中,CD=3cm,BC=cm,
BD==5(cm).
【归纳整合】应用勾股定理解决实际问题
(1)解决两点间距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边,利用勾股定理求第三边.
(2)解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程思想解题.
(3)解决梯子问题:梯子架到墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾股定理等知识解题.
(4)解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.
4.【解析】在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
所以AC2=AB2-BC2=52-32=25-9=16.所以AC=4(m).所以地毯长度为AC+BC=
4+3=7(m).
所以地毯总面积为7×2=14(m2).所以需花30×14=420(元).
答案:7 420
5.【解析】如图,作AD⊥BC于D,
∵AD∶BC=1∶4,
且BC=44cm,∴AD=11cm.
又∵AB=AC,
∴在Rt△ABD中,AD=11cm,BD=BC=22cm,
∴AB2=AD2+BD2,∴AB==11(cm),
AB的长至少为11cm.
答案:11
6.【解析】∵∠A=30°,∠B=90°,BC=6m,∴AC=12m,
设AE=xm,可得EC=(12-x)m,
∵正方形DEFH的边长为2m,即DE=2m,
∴DC2=DE2+EC2=4+(12-x)2,
AE2+BC2=x2+36,
∵DC2=AE2+BC2,
∴4+(12-x)2=x2+36,
解得:x=.
答案:
7.【解析】设AE=xkm,因为C,D两村到E站的距离相等,所以DE=CE,即DE2=CE2,由勾股定理,得152+x2=102+(25-x)2,x=10.
故E点应建在距A站10km处.
8.【解析】如图所示:
设BD=x,则CD=BD+BC=x+10.
∴BC+CA=BD+AD=30,
∴AD=30-BD=30-x.
在Rt△ADC中,AD2=CD2+AC2,
∴(30-x)2=(x+10)2+202,解得x=5.
∴CD=5+10=15(m).
答:这棵树高15m.
9.【解析】如图,∵∠ADB=90°,
∴AB2=AD2+BD2
=1.52+1.52=4.5.
∵∠ABC=90°,
∴AC2=AB2+BC2
=4.5+2.22=9.34.
而3.12=9.61,
所以能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是3m, 小明家买的竹竿至少是
3.1m.
勾股定理的逆定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为
( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
2.如图所示,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是( )
A.CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
3.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形( )
A.仍是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: .
5.观察以下几组勾股数,并寻找规律:
①3,4,5;
②5,12,13;
③7,24,25;
④9,40,41;…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .
6.若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论:
①以a2,b2,c2的长为边的三条线段能组成一个三角形;②以,,的长为边的三条线段能组成一个三角形;③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形;④以,,的长为边的三条线段能组成直角三角形.
其中所有正确结论的序号为.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A,B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120nmile,乙巡逻艇每小时航行50nmile,航向为北偏西40°,问:甲巡逻艇的航向是多少?
8.(8分)如图,每个小正方形的边长均为1.求四边形ABCD的面积和周长(精确到
0.1).
【拓展延伸】
9.(10分)王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
(1)请用a表示第三条边长.
(2)问第一条边长可以为7m吗?为什么?请说明理由,并求出a的取值范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说出你的围法;若不能,请说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.根据勾股定理可以得到:AC=BC=,AB=.
∵()2+()2=()2,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ABC=45°.
2.【解析】选B.AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,
所以AB2+EF2=GH2.
3.【解析】选A.设直角三角形的三边分别为a,b,c,且满足a2+b2=c2,扩大相同倍数后各边分别为na,nb,nc,
因为(na)2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2,
所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形.
4.【解析】逆命题为:三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,这个三角形是直角三角形,逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
答案:如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形5.【解析】从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增2,故第5组第一个数是11,又发现第二、第三个数相差为1,故设第二个数为x,则第三个数为x+1,根据勾股定理得:112+x2=(x+1)2,
解得x=60,则得第⑤组勾股数是11,60,61.
答案:11,60,61
6.【解析】①直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2,因而以a2,b2,c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边,故不能组成一个三角形,故错误;
②直角三角形的三边有a+b>c(a,b,c中c最大),而在,,三个数中最大,如果能组成一个三角形,则有+>成立,即(+)2>()2,即a+b+2>c(由a+b>c),则不等式成立,从而满足两边之和大于第三边,则以,,的长为边的三条线段能组成一个三角形,故正确;③a+b,c+h,h这三个数中c+h一定最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,
又∵2ab=2ch=4S△ABC,∴(a+b)2+h2=(c+h)2,根据勾股定理的逆定理即以a+b,c+h,h
的长为边的三条线段能组成直角三角形,故正确;④假设a=3,b=4,c=5,则,,的长为,,,以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形,故错误.
答案:②③
7.【解析】AC=120×=12(nmile),BC=50×=5(nmile),又因为AB=13nmile,所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形,可知∠CAB+∠CBA=90°,由∠CBA=50°,知∠CAB=40°,所以甲巡逻艇的航向为北偏东50°.
8.【解析】根据勾股定理得到:
AD==,
AB==,
CD==5;
BC==,
∴四边形ABCD的周长是
AB+BC+CD+AD=++5+≈18.8.
连接AC,BD,则AC==5.
∵(2)2+()2=52,52+52=(5)2,
∴AB2+BC2=AC2,AC2+CD2=AD2.
∴∠ABC和∠ACD是直角.
∴四边形ABCD的面积=直角△ABC的面积+直角△ACD的面积
=BC·AB+AC·CD=17.5.
【归纳整合】勾股定理与其逆定理的联系和区别
联系:(1)两者都与a2+b2=c2有关.(2)两者所讨论的问题都是直角三角形.
区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系,“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到“这个三角形是直角三角形”,是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法.
9.【解析】(1)∵第二条边长为2a +2,
∴第三条边长为30-a-(2a +2)=28-3a.
(2)当a =7时,三边长分别为7,16,7.
由于7+7<16,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为7m.
由可解得<a<,即a的取值范围是<a<.
(3)在(2)的条件下,a为整数时,a只能取5或6.
当a =5时,三角形的三边长分别为5,12,13.
由52+122=132知,恰好能构成直角三角形.
当a =6时,三角形的三边长分别为6,14,10.
由62+102≠142知,此时不能构成直角三角形.
综上所述,能围成满足条件的小圈,它们的三边长分别为5m,12m,13m.
矩形
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·包头中考)如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两
个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分
别是S1,S2,则S1,S2的大小关系是( )
A.S1>S2
B.S1=S2
C.S1<S2
D.3S1=2S2
2.(2013·南充中考)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰
好落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形
ABCD的面积是( )
A.12
B.24
C.12错误!未找到引用源。

D.16错误!未找到引用源。

3.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON
上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD
的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O
的最大距离为( )
A.错误!未找到引用源。

+1
B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·北京中考)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.
5.(2013·漳州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,若DE=2,CD=2
错误!未找到引用源。

,则BE的长为.
6.如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线
上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的
中点,若BE=1,AG=4,则AB的长为.
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·湘西中考)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE .
(1)求证:△BEC≌△DFA.
(2)求证:四边形AECF是平行四边形.
8.(8分)已知:如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,若∠EAO= 15°,求∠BOE的度数.
【拓展延伸】
9.(10分)阅读以下短文,然后解决下列问题:
如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.
(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小.
(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
答案解析
1.【解析】选B.矩形ABCD的面积S1=2S△ABC,而S△ABC=错误!未找到引用源。

S2,所以S1=S
2.
2.【解析】选D.由两直线平行,内错角相等,
知∠DEF=∠EFB=60°,∴∠AEF=∠A'EF=120°,
∴∠A'EB'=60°,A'E=AE=2,求得A'B'=2错误!未找到引用源。

,
∴AB=2错误!未找到引用源。

,矩形ABCD的面积为S=2错误!未找到引用源。

×8=16错误!未找到引用源。

.
【归纳整合】解决矩形中折叠问题的两个思路
(1)运用矩形的对边相等、对角线相等、四个角是直角等性质.
(2)运用轴对称的性质,找出折叠前后相等的角、线段.
3.【解析】选A.取AB的中点E,连接OE,DE,OD,
则OE=错误!未找到引用源。

AB=1,AE=1,∴DE=错误!未找到引用源。

,当D,E,O 三点共线时,OD=OE+DE,否则OD<OE+DE,
∴OD长的最大值是错误!未找到引用源。

+1.
4.【解析】由勾股定理得AC=13,
∵BO为直角三角形斜边上的中线,
∴BO=6.5,
由三角形中位线定理得MO=2.5,
∴四边形ABOM的周长为:6.5+2.5+6+5=20.
答案:20
5.【解析】∵∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,∴BC=2DE=4.
∴AB=2CD=4错误!未找到引用源。

,
∴AC=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=8.
∴CE=错误!未找到引用源。

AC=4,∴BE=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=4错误!未找到引用源。

.
答案:4错误!未找到引用源。

6.【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.∴∠CED=∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°.
∵点G是DF的中点,
∴AG=错误!未找到引用源。

DF=DG.∴∠AGE=2∠ADE=2∠CED.
又∵∠AED=2∠CED,∴∠AGE=∠AED,
∴AE=AG=4.
在Rt△ABE中AB=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
答案:错误!未找到引用源。

7.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC.
又∵E,F分别是边AB,CD的中点,
∴BE=DF,
∵在△BEC和△DFA中,
错误!未找到引用源。

∴△BEC≌△DFA(SAS).
(2)由(1)得,CE=AF,又CF=AE,
故可得四边形AECF是平行四边形.
8.【解析】∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.
∵∠BAD=90°,∠BAE=∠EAD,∴∠BAE=45°.
∵∠EAO=15°,∴∠BAO=45°+15°=60°.
∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴BO=AB.
∵AB=BE,∴BO=BE,∴∠BOE=∠BEO.
∵∠ABE=90°,∠ABO=60°,∴∠OBE=30°.
在△BOE中,∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°,
∴∠BOE=错误!未找到引用源。

(180°-∠OBE)=75°.
9.【解析】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2个“友好矩形”,如图,矩形BCAD,矩形ABEF.
易知,矩形BCAD,矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2
倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3个“友好矩形”,如图中矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK,其中矩形ABHK的周长最小.
证明如下:易知,这三个矩形的面积相等,令其为S.设矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L1,L2,L3,△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则L1=错误!未找到引用源。

+2a,L2=错误!未找到引用源。

+2b,L3=错误!未找到引用源。

+2c.
∴L1-L2=错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=2(a-b)×错误!未找到引用源。

,而ab>S,a>b,∴L1- L2>0,即L1> L2.
同理可得,L2> L3,
∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.
矩形
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上,一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案,其中正确的是( )
A.测量对角线是否相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量其中三个角是否都为直角
2.▱ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A.AB=AD
B.OA=OB
C.AC=BD
D.DC⊥BC
3.如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )
A.2错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.4
D.3错误!未找到引用源。

二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到
△FEC,连接AE,BF.当∠ACB为度时,四边形ABFE为矩形.
5.(2013·呼和浩特中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为.
6.如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,则边AD的长是cm.
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点
O,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,点O既是AC的中点,又是EF
的中点.
(1)求证:△BOE≌△DOF.
(2)若OA=错误!未找到引用源。

BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?说明理由.
8.(8分)(2013·新疆中考)如图,▱ABCD中,点O是AC与BD
的交点,过点O的直线与BA,DC的延长线分别交于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF.
(2)请连接EC,AF,则EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是矩形,并说明理由. 【拓展延伸】
9.(10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的邻补角的平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选D.根据矩形的判定,三个角都为直角的四边形是矩形.故选D.
2.【解析】选A.根据矩形的判定定理(有一个角是直角的平行四边形是矩形)可得:DC⊥BC可证四边形ABCD是矩形.故D选项能判定四边形ABCD为矩形;矩形的对角线相等且相互平分,OA=OB,AC=BD可证四边形ABCD为矩形,故B,C选项能判定四边形ABCD为矩形;AB=AD时,可证四边形ABCD的四条边都相等,不能证四边形ABCD为矩形.
3.【解析】选A.∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,
∴DF∥BC,∴∠C=90°,又易知∠CDE=∠BED=90°,
∴四边形BCDE是矩形.
∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4,
∴AC=错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

.∴DC=错误!未找到引用源。

. ∴四边形BCDE的面积为2×错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

. 4.【解析】如果四边形ABFE为矩形,
根据矩形的性质,那么AF=BE,AC=BC,
又因为AC=AB,那么三角形ABC是等边三角形,
所以∠ACB=60°.
答案:60
5.【解析】∵点E,F分别为四边形ABCD的边AD,AB的中点,∴EF∥BD,且EF=错误!未找到引用源。

BD=3.
同理求得GH∥BD,且GH=错误!未找到引用源。

BD=3,EH∥AC∥GF,且EH=GF=错误!未找到引用源。

AC=4,
∴四边形EFGH为平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH是矩形.
∴四边形EFGH的面积=EF·EH=3×4=12,
即四边形EFGH的面积是12.
答案:12
6.【解析】∵∠HEM=∠AEH,∠BEF=∠FEM,
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=错误!未找到引用源。

×180°=90°,
同理可得:∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,
∴四边形EFGH为矩形.
∴EH=FG,HG=EF,∠EHA=∠GFC,
又∠A=∠C=90°,
∴△AEH≌△CGF,∴AH=CF,∴BF=HD.
∵AD=AH+HD=HM+MF=HF,
HF=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=5,∴AD=5cm.
答案:5
7.【解析】(1)∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEO=∠DFO=90°.
又∵∠EOB=∠FOD,OE=OF,∴△BOE≌△DOF(ASA).
(2)四边形ABCD是矩形.
∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD.
又∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵OA=错误!未找到引用源。

BD,OA=错误!未找到引用源。

AC,
∴BD=AC,∴▱ABCD是矩形.
8.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,AB∥CD.∴∠E=∠F.又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
(2)连接EC,AF,则EF与AC满足EF=AC时,四边形AECF是矩形.
理由如下:
由(1)可知△AOE≌△COF,
∴OE=OF,∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF=AC,∴四边形AECF是矩形.
9.【解析】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形. 证明:∵CE平分∠BCA,
∴∠1=∠2.
又∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2,∴EO=CO. 同理,FO=CO.∴EO=FO.
又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
方法一:又∵∠1=∠2,∠4=∠5,
∴∠1+∠5=∠2+∠4.
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°. ∴平行四边形AECF是矩形.
方法二:∵EO=CO,FO=CO,OA=CO,
∴EO=CO=FO=OA,
即AC=EF.∴平行四边形AECF是矩形.
正方形
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿
DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若
BE=6cm,则CD=( )
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
2.(2013·凉山州中考)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,
则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
A.14
B.15
C.16
D.17
3.如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥
AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=( )
A.2
B.3
C.2错误!未找到引用源。

D.2错误!未找到引用源。

二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF
绕其顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可
以是.
5.如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC,BD,相交于点O,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE= .。