2018-2019年数学高中学业水平考试模拟试卷(三)

学业水平考试模拟测试卷(三)
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设a 是实数，且a 1＋i
＋1＋i 2是实数，则a ＝( ) A ．1 B.12 C.32
D ．2 解析：a 1＋i
＋1＋i 2＝a （1－i ）2＋1＋i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 2i 是实数，所以12－a 2
＝0，所以a ＝1. 答案：A
2．设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{3，4，5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：A ∩B ＝{3，4}，U ＝A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，∁U (A ∩B )＝{1，2，5}，∁U (A ∩B )的元素个数有3个．
答案：C
3．函数y ＝（x ＋1）0
|x |－x
的定义域是( ) A ．{x |x ＜0} B ．{x |x ＞0}
C ．{x |x ＜0且x ≠－1}
D ．{x |x ≠0且x ≠－1，x ∈R}
解析：依题意有⎩⎨⎧x ＋1≠0，|x |－x ＞0，
解得x ＜0且x ≠－1，故定义域是{x |x ＜0且x ≠－1}．
答案：C
4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，
则z ＝2x ＋y 的最大值为( )
A ．－2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当该直线经过该平面区域内的点(3，0)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是z max ＝2x ＋y ＝2×3＋0＝6.
答案：C
5．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β
B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 解析：A 、B 、C 中α与β都有可能相交．
答案：D
6．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－
2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )
A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C ．(－1，0)
D ．(0，1)
解析：因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， 所以函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点，因此f (－
2)f (－1)＜0，所以(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，所以－32＜a ＜－56
，又a ∈Z ，所以a ＝－1，不等式f (x )＞1，即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.
答案：C
7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数
列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.因为a 7≠0，
所以a 7＝4，所以b 6b 8＝16.
答案：D
8．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (2)＝0，则f （x ）－f （－x ）x
＜0的解集为( ) A ．(－2，0)∪(0，2) B ．(－∞，，－2)∪(0，2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－2，0)∪(2，＋∞)
解析：因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f (2)＝0，所以x ＞2或－2＜x ＜0时，f (x )＞0；x ＜－2或0＜x ＜2时，f (x )
＜0.f （x ）－f （－x ）x ＜0，即f （x ）x
＜0，可知－2＜x ＜0或0＜x ＜2.
答案：A
9.sin （180°＋2a ）1＋cos 2α·cos 2αcos （90°＋α）
等于( ) A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α D ．cos α
解析：原式＝（－sin 2α）·cos 2α（1＋cos 2α）·（－sin α）＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α
＝cos α.
答案：D
10．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线的方程为( )
A.x 25－y 26＝1
B.x 27－y 25＝1
C.x 23－y 26＝1
D.x 24－y 23
＝1 解析：抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2c ＝－1，c a ＝3，c 2＝a 2＋b 2.解得a 2＝3， b 2＝6，故所求双曲线的方程为x 23－y 26
＝1. 答案：C
11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0
和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －3)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2
＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：依题意设圆心C (a ，1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0
相切，得|4a －3|5
＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.
答案：B
12．已知命题p ：∃ x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀ x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )
A ．m ≥2
B ．m ≤－2或m ＞－1
C ．m ≤－2或m ≥2
D ．－1＜m ≤2
解析：若p ∧q 为假命题，则p 与q 至少有一个为假命题．
(1)若p 假q 真，则⎩⎨⎧m ＋1＞0，m 2－4＜0
⇒－1＜m ＜2； (2)若q 假p 真，则⎩⎨⎧m ＋1≤0，m 2－4≥0
⇒m ≤－2； (3)若q 假p 真，则⎩⎨⎧m ＋1＞0，m 2－4≥0
⇒m ≥2.综上可得m ≤－2或m ＞－1.
答案：B
13．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC
→＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，－12 C ．(3，2) D ．(1，3) 解析：设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4，3)，又BC →＝2AD →
，
所以⎩⎨⎧4＝2x ，3＝2（y －2），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72
，即点D 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72. 答案：A
14．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )
A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π上都是减函数
C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2
，π2上是减函数
解析：由y ＝sin x 的单调性可知B 正确．
答案：B
15．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、
9.6、9.7，则该射手五次射击的成绩的方差是( )
A ．0.127
B ．0.016
C ．0.08
D ．0.216
解析：x －＝15
×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5， 所以s 2
＝15×[(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分．)
16．在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13
，S △ABC ＝43，则b ＝________．
解析：因为cos C ＝13
，0＜c ＜π， 所以sin C ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝223， 又S △ABC ＝43，即12
ab sin C ＝43，所以b ＝2 3. 答案：23
17．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 解析：由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18.
答案：18
18．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，
(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN
→的模为________．
解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)，
所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3×(－2－y )＝0，所以y ＝－4，
所以M (4，－4)，N (－4，4)，故向量MN →＝(－8，8)，|MN →|＝8 2.
答案：82
19．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________．
解析：m 可能取到的值有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，对应的基本事件个数依次为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，所以7对应的事件发生的概率最大．
答案：7
三、解答题(本大题共2小题．每小题12分，满分24分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)
20．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
且a tan B ＝203
，b sin A ＝4. (1)求cos B 和a ；
(2)由△ABC 的面积S ＝10，求cos 4C 的值．
解：(1)由b sin A ＝4，得a sin B ＝4，又a tan B ＝203
，所以cos B ＝35
.
又由a tan B ＝203知tan B ＞0，则sin B ＝45，tan B ＝43
，故a ＝5. (2)由S ＝12
ac sin B ，得c ＝5，所以A ＝C . 由cos 4C ＝2cos 22C －1＝2cos 2(A ＋C )－1＝2cos 2
B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725
. 21.(12分)如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥
AB ，CD ＝12
AB ，G 为线段AB 的中点，将△ADG 沿GD 折起，使平面ADG ⊥平面BCDG ，得到几何体ABCDG .
(1)若E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，求证：EF ∥平面ABG ；
(2)求证：AG ⊥平面BCDG .
证明：(1)依题意，折叠前后CD 、BG 的位置关系不改变， 所以CD ∥BG .
因为E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，
所以在△ACD 中，EF ∥CD ，
所以EF ∥BG .
又EF ⊄平面ABG ，BG ⊂平面ABG ，所以EF ∥平面ABG .
(2)将△ADG 沿GD 折起后，AG 、GD 的位置关系不改变， 所以AG ⊥GD .
又平面ADG ⊥平面BCDG ，平面ADG ∩平面BCDG ＝GD ，AG
⊂平面AGD，
所以AG⊥平面BCDG.。