安徽省宣城中学2016届高三数学上学期入学试题文含解析

2015-2016学年安徽省宣城中学高三（上）入学数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）
2．设z=+i，则|z|=（）
A．B．C．D．2
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）
A．y=cos2x，x∈R B．y=x3+1，x∈R
C．y=，x∈R D．y=log2|x|，x∈R且x≠0
4．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1
是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π
7．设x，y满足约束条件，且z=x+ay的最小值为7，则a=（）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
8．已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，这个函数叫做“取整函数”则+++…+=．
15．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：
①q=0时，f（x）为奇函数
②y=f（x）的图象关于（0，q）对称
③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根
④方程f（x）=0至多有两个实数根
其中正确命题的序号为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（2015秋•宣城校级月考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知c=asinC 16．
（12分）
﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
17．（12分）（2012•河北）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
18．（12分）（2014•河北）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
19．（12分）（2015秋•宣城校级月考）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9
3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6
2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
A药B药
0．
1．
2．
3．
20．（13分）（2012•宣威市一模）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f （y）且当x＞0，f（x）＜0．又f（1）=﹣2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值；
（3）解关于x的不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（ax）+4．
21．（14分）（2013•北京）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．
2015-2016学年安徽省宣城中学高三（上）入学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：根据集合的基本运算即可得到结论．
解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，
则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，
点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．设z=+i，则|z|=（）
A．B．C．D．2
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题；数系的扩充和复数．
分析：先求z，再利用求模的公式求出|z|．
解答：解：z=+i=+i=．
故|z|==．
故选B．
点评：本题考查复数代数形式的运算，属于容易题．
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）
A．y=cos2x，x∈R B．y=x3+1，x∈R
C．y=，x∈R D．y=log2|x|，x∈R且x≠0
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据余弦函数的单调性，奇函数、偶函数的定义，以及对数函数的单调性即可找出正确选项．
解答：解：A．y=cos2x在（1，]上单调递减，即该函数在（1，2）内不是增函数，∴该选项错误；
B．y=x3+1，可分别让x取﹣1，1即可得到该函数是非奇非偶函数，∴该选项错误；
C．y=，把x换上﹣x，便可得到该函数为奇函数，∴该选项错误；
D．y=log2|x|，该函数显然是偶函数，并且x∈（1，2）时，y=log2x，该函数是增函数，∴该选项正确．
点评：考查余弦函数的单调性，奇函数和偶函数的定义，以及对数函数的单调性．
4．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．
解答：解：在△ABC中，若A=，则cosA=，是充分条件，
在△ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，
故选：A．
点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角形中的三角函数值问题，是一道基础题．5．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1
是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题．
分析：利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
解答：解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C．
点评：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：压轴题；图表型．
分析：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．
解答：解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．
∴长方体的体积=4×2×2=16，
半个圆柱的体积=×22×π×4=8π
所以这个几何体的体积是16+8π；
故选A．
点评：本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力
7．设x，y满足约束条件，且z=x+ay的最小值为7，则a=（）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
考点：简单线性规划的应用．
专题：数形结合．
分析：由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，a=0时最小值不等于7，a＜0时目标函数无最小值，a＞0时化目标函数为直线方程斜截式，由图看出最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数，由对应的z值等于7求解a的值．
解答：解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得．
∴A（）．
当a=0时A为（），z=x+ay=x，无最小值，不满足题意；
当a＜0时，由z=x+ay得，
要使z最小，则直线在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；
当a＞0时，由z=x+ay得，
由图可知，当直线过点A时直线在y轴上的截距最小，z最小．
此时z=，解得：a=3或a=﹣5（舍）．
故选：B．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，解答的关键是注意分类讨论，是中档题．
8．已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，这个函数叫做“取整函数”则+++…+=4923 ．
考点：函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：由于====…==0，有9个0；==…=1，有90个1；==…==2，有900个2；==…==3，有1011个3，代入可求和可得答案．
解答：解：∵====…==0，有9个0
==…=1，有90个1
==…==2，有900个2
==…==3，有1011个3
则++++…+=9×0+90×1+990×2+1011×3=4923
故答案为：4923．
点评：本题以新定义为载体，主要考查了对数函数值的基本运算，解题的关键：是对对数值准确取整的计算与理解．
15．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：
①q=0时，f（x）为奇函数
②y=f（x）的图象关于（0，q）对称
③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根
④方程f（x）=0至多有两个实数根
其中正确命题的序号为①②③．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．
分析：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；
②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；
③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；
④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根．解答：解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．
②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q 图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．
③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．
④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．
故答案为：①②③
点评：本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（2015秋•宣城校级月考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知c=asinC 16．
（12分）
﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）由c=asinC﹣ccosA，由正弦定理可得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，化为=，即可得出．
（2）由a=2，△ABC的面积为，可得bc=4．由余弦定理可得：，化为b+c=4．联立解出即可．
解答：解：（1）∵△ABC中，c=asinC﹣ccosA，
由正弦定理可得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，
∵sinC≠0，∴1=sinA﹣cosA=2，
即=，∵∈，
∴=，
∴A=．
（2）∵a=2，△ABC的面积为，
∴，化为bc=4．
由余弦定理可得：，
化为b+c=4．
联立，解得b=c=2．
∴b=c=2．
点评：本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（12分）（2012•河北）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
考点：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；证明题．
分析：（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．
解答：证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．
18．（12分）（2014•河北）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；
（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
解答：解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，
故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，
故a n=2+（n﹣2）×=n+1，
（2）设数列{}的前n项和为S n，
S n=，①
S n=，②
①﹣②得S n==，
解得S n==2﹣．
点评：本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．
19．（12分）（2015秋•宣城校级月考）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9
3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6
2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
A药B药
0．
1．
2．
3．
考点：茎叶图；极差、方差与标准差．
专题：计算题；概率与统计．
分析：（1）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；
（2）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．
解答：解：（1）设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y．由观测结果可得
=
（0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3. 5）=2.3，
=
（0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3. 2）=1.6．
由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．
（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2、3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0、1上，由此可看出A药的疗效更好．
点评：熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键．
20．（13分）（2012•宣威市一模）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f （y）且当x＞0，f（x）＜0．又f（1）=﹣2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值；
（3）解关于x的不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（ax）+4．
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．
分析：（1）先求f（0）=0，再取y=﹣x，则f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立，故可得函数为奇函数；
（2）先判断函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，再求f（﹣3）=﹣f（3）=6，从而可求函数的最大值；
（3）利用函数为奇函数，可整理得f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2），利用f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，可得ax2﹣2x＞ax﹣2，故问题转化为解不等式．
解答：解：（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0…1′
取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立∴f（x）为奇函数．…3′
（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，…4′
∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），
又f（x）为奇函数∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．∴对任意x∈，恒有f（x）≤f（﹣3）…6′
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6，
∴f（﹣3）=﹣f（3）=6，∴f（x）在上的最大值为6…8′
（3）∵f（x）为奇函数，∴整理原式得 f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2），
进一步得f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2），
而f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，
∴ax2﹣2x＞ax﹣2…10′∴（ax﹣2）（x﹣1）＞0．
∴当a=0时，x∈（﹣∞，1）
当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}
当a＜0时，
当0＜a＜2时，
当a＞2时，…12′
点评：本题考查抽象函数的性质，赋值法事常用方法，同时借助于函数的单调性，抽象函数的不等式问题可以转化为具体函数求解．
21．（14分）（2013•北京）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（I）由题意可得f′（a）=0，f（a）=b，联立解出即可；
（II）利用导数得出其单调性与极值即最值，得到值域即可．
解答：解：（I）f′（x）=2x+xcosx，
∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，
∴f′（a）=0，f（a）=b，
联立，
解得，
故a=0，b=1．
（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．
于是当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）单调递增．
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，
故当b＞1时，曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点．故b的取值范围是（1，+∞）．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值及其几何意义是解题的关键．。