山东省淄博高新区外国语学校2015年中考模拟数学试卷(一)及答案

2013年淄博高新区外国语学校中考模拟数学试卷(一)
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、填空题（每题3分，满分33分）（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确
的，请把正确的选项选出来．第1～3题每题3分，第4～12题第题4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分．） 1.下列各式:①2
5
3
1a
a
a =
∙- ②623a a a =∙ ③2)5(-=－5 ④ 1)31(-=3 ;⑤0)1415.3(0
=-π，其中正确的是 （ ） A. ①④ B. ③④ C. ②③ D. ④⑤ 2.下列图形：
其中是中心对称图形的个数为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
3.将抛物线y =3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )． (A)y =3(x +2)2—1 (B)y =3(x －2)2+1 (C)y =3(x －2)2—1 (D)y =3(x +2)2+l
4.如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上的一点,且∠EPF =45°，则图中阴影部分的面积为 （ ） A. 4－2π B. 8+π C. 4－π D.8－2π
5.如图AD 是△ABC
的角平分线,DF ⊥AB ,垂足为F ，DE =DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和38，则△EDF 的面积为（ )
A ．8
B ．12
C ．4
D ．6
D
A
C
P F E B
第4题图
第5题图
2
6.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE ：EC =2：3，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF =（ ）
：5 D ． 4：10：25
7.一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，下图描述了他们散步过程中离家的距离s （米）与散步时间t (分)之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是 （ ） A.从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了
B.从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C.从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D.从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回 8.下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）
从一张半径为R 圆形纸板剪出一个圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法（小圆2
10.一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有
长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A.0种
B. 1种
C. 2种
D. 3种
11．如图所示，四边形ABCD 是边长为4cm 的正方形，动点P 在正方形ABCD 的边上沿着A →B →C →D 的路径以1cm /s 的速度运动，在这个运动过程中△APD 的面积s （cm 2）随时间t （s ）的变化关系用图象表示，正确的是 （ ）
第6题图
数学试卷（高外）第3页 （共16页）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.Rt △ABC 中，AB =AC ,点D 为BC 中点.∠MDN =90°，∠MDN 绕点D 旋转， DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点.下列结论： ①（BE +CF ）=
2
2BC ② S △AEF ≤1
4 S △ABC
③ S 四边形AEDF =AD ·EF
④ AD ≥EF ⑤ AD 与EF 可能互相平分，
其中结论正确的个数是 （ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷(非选择题 共75分)
二、填空题：本题共5小题，满分20分，只填写最后结果，每小题填对得4分. 13.若x 2+y 2－4x +6y +13=0,y
x = .
14.Rt △ABC 中，∠A =90°，BC =4，有一个内角为60°，点P 是直线AB 上不同于A 、B 的一点，且∠ACP =30°，
则PB 的长为 .
15.如图，点A 在双曲线y = 1x 上，点B 在双曲线y = 3
x 上，
且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形 ABDC 为矩形， 则它的面积为 .
16.如果一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差是0.6，
则另组数据的20131-x ，20132-x ，…，2013-n x 的方差是 .
17.下面是一种利用图形计算正整数乘法的方法，请根据图10－1～图10－4四个算图所示的规律，可知图10－5所表示的算式为 ．
B
A
D
y C x
O y=
x
3
y=
x
1 第15 题图
4
三、解答题：本大题共7小题，共55分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分7分）
（1）计算1260sin 42120132
--︒+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-.
（2）先化简,再求值:(x ＋3)2－(x －1)(x ＋2),其中x ＝－1.
19．（本题满分8分）
甲、乙两个港口相距72千米，一艘轮船从甲港出发，顺流航行3小时到达乙港，休息1小时后立即返回；一艘快艇在轮船出发2小时后从乙港出发，逆流航行2小时到甲港，并立即返回（掉头时间忽略不计）．已知水流速度是2千米/时，
下图表示轮船和快艇距甲港的距离y （千米）与轮船出发时间x （小时）之间的函数关系式，结合图象解答下列问题：（顺流速度=船在静水中速度+水流速度；逆流速度=船在静水中速度－水流速度） （1）轮船在静水中的速度是 千米/时；快艇在静水中的速度是 千米/时； （2）求快艇返回时的解析式，写出自变量取值范围；
（3）快艇出发多长时间，轮船和快艇在返回途中相距12千米？（直接写出结果）
20.（本题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2－7x＋12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒.
（1）求A、B两点的坐标.
（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标.
（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（本题满分8分）
数学试卷（高外）第5页（共16页）
如图1，已知⊙O的半径长为1，PQ是⊙O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与⊙O交于A、B两点，连接P A并延长，交⊙M于另外一点C．
（1）若AB恰好是⊙O的直径，设OM=x，AC=y，试在图2中画出符合要求的大致图形，并求y关于x 的函数解析式；
（2）连接OA、MA、MC，若OA⊥MA，且△OMA与△PMC相似，求OM的长度和⊙M的半径长；
（3）是否存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和⊙M的
半径长；若不存在，试说明理由．22．（本小题满分7分）
6
甲乙两单位随机选派相同人数参加科普知识比赛；每人得分成绩只有70分、80分、90分三种结果中一种，已知两单位得80分的人数相同，根据下列统计图回答问题．
（1）求甲单位得90分的人数，将甲单位职工得分条形统计图补充完整；
（2）分别计算两个单位职工参加比赛成绩的平均分，由此你能估计出哪个单位职工对此次科普知识掌握较好，并说明理由；
（3）现从甲单位得80分和90分的人中任选两个人，列出所有的选取结果，并求两人得分不同的概率（用大写字母代表得90分的人，小写字母代表得80分的人）．
数学试卷（高外）第7页（共16页）
23．（本题满分8分）今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A 种板材48000㎡和B种板材24000㎡的任务．
（1）如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A种板材60㎡或B种板材40㎡，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
8
24．（本小题满分9分）
如图，在直角坐标系中，半径为5，圆心为M的⊙M经过A，B，C三点，已知点M的纵坐标为－1，点C的坐标为（0,3），OA:OB=1:3，⊙M与y轴交于点D
（1）求A，B，D，M的坐标
（2）若点E是过A，B，C三点的抛物线的顶点，求证：△BCE是直角三角形
45－β)的值
（3）设∠CBE=β，求sin（︒
（4）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与三角形BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
数学试卷（高外）第9页（共16页）
10
参考答案
一、选择题
5．解：作DN ⊥AC ， ∵DE =DG ， ∴
DM =DG ，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ， ∴DF =DN ，
∴△DEF ≌△DNM （HL ），
∵△ADG 和△AED 的面积分别为50和389， ∴S △MDG =S △ADG －S △ADM =50－39=11， S △DNM =S △DEF =（1/2）×S △MDG =1/2×11=6
6．解：根据图形知：△DEF 的边DF 和△BFE 的边BF 上的高相等，并设这个高为h ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC =AB ，DC ∥AB ， ∵DE ：EC =2：3， ∴DE ：AB =2：5， ∵DC ∥AB ， ∴△DEF ∽△BAF ， ∴
=
=
，
=
=，
∴====
∴S △DEF ：S △EBF ：S △ABF =4：10：25， 故选D ．
8．【分析】选项A 、B 、D 的主视图都是矩形，只有选项B 的主视图是三角形与其它三个几何体的主视图不同．
【答案】B
【涉及知识点】三视图
【点评】由立体图形到视图的过程，通常称为读图．要注意两点：一是长、宽、高的关系； 10．【分析】⑴假设以27cm 为一边，把45cm 截成两段，设这两段分别为xcm 、ycm （x ＜y ）．则可得：
24303627x y ==①或243036
27x y
==②（注：27cm 不可能是最小边）
，由①解得x =18，y =22.5，符合题意；由②解得x =
1085，y =1625，x + y =1085+1625=270
5
=54＞45，不合题意，舍去． ⑵假设以45cm 为一边，把27cm 截成两段，设这两段分别为xcm 、ycm （x ＜y ）．则可得：
243036
45
x y ==（注：只能是45是最大边），解得x =30，y =
75
2
，x + y =30+37.5=67.5＞27，不合题意，舍去． 综合以上可知，截法只有一种． 【答案】B
【涉及知识点】相似三角形的判定
【点评】在判定三角形相似，未明确对应关系时，特别注意不要忘了分类，再根据不同的对应关系分别计算要求的线段．
12．解：∵Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点， ∴∠C =∠BAD =45°，AD =BD =CD ， ∵∠MDN =90°，
∴∠ADE +∠ADF =∠ADF +∠CDF =90°， ∴∠ADE =∠CDF ． 在△AED 与△CFD 中，
，
∴△AED ≌△CFD （ASA ）， ∴AE =CF ，
在Rt △ABD 中，BE +CF =BE +AE =AB ==BD =BC ．
故①正确；
设AB =AC =a ，AE =CF =x ，则AF =a ﹣x ．
∵S △AEF =AE •AF =x （a ﹣x ）=﹣（x ﹣a ）2+a 2， ∴当x =a 时，S △AEF 有最大值a 2，
又∵S △ABC =×a 2=a 2，
∴S △AEF ≤S △ABC ． 故②正确；
EF 2=AE 2+AF 2=x 2+（a ﹣x ）2=2（x ﹣a ）2+a 2，
∴当x =a 时，EF 2取得最小值a 2， ∴EF ≥a （等号当且仅当x =a 时成立）， 而AD =
a ，∴EF ≥AD ．
故④错误；
由①的证明知△AED ≌△CFD ，
∴S 四边形AEDF =S △AED +S △ADF =S △CFD +S △ADF =S △ADC =AD 2， ∵EF ≥AD ，∴AD •EF ≥AD 2，∴AD •EF ＞S 四边形AEDF 故③错误；
当E 、F 分别为AB 、AC 的中点时，四边形AEDF 为正方形，此时AD 与EF 互相平分． 故⑤正确．
综上所述，正确的有：①②⑤，共3个． 故选C ． 二、填空题： 13．
81 14．334或3
38或4 15．2 16．6 17．321×123=39483 三、解答题：
18．(1)解：原式=1+4+23－23=5 (2)原式=2962
2+--++x x x x =115+x 当x ＝－1时
原式=115+x =－5+11=6 19．解：（1）22
72÷2+2=38千米/时；
（2）点F 的横坐标为：4+72÷（38+2）=5.8 F （5.8，72），E （4，0）
设EF 解析式为y kx b =+（k ≠0）
{
5.872
40k b k b +=+=
解得
{
40
160k b ==-
∴40160(4 5.8)y x x =-≤≤ （3）轮船返回用时72÷（22－2）=3.6 ∴点C 的坐标为（7.6，0）
设线段BC 所在直线的解析式为y kx b =+ ∵经过点（4，72）（7.6，0） ∴
{4727.60
k b k b +=+= 解得：
{20
152
k b =-=
∴解析式为：20152y x =-+，
根据题意得：40160(20152)12x x ---+=或20152(40160)12x x -+--= 解得：x =3或x =3.4
∴快艇出发3小时或3.4小时两船相距12千米
20．解：（1）解方程x 2﹣7x +12=0，得x 1=3，x 2=4， ∵OA ＜OB ，∴OA =3，OB =4． ∴A （0，3），B （4，0）．
（2）在Rt △AOB 中，OA =3，OB =4，∴AB =5，∴AP =t ，QB =2t ，AQ =5﹣2t ． △APQ 与△AOB 相似，可能有两种情况： （I ）△APQ ∽△AOB ，如图（2）a 所示． 则有
，即
，解得t =
．
此时OP=OA﹣AP=，PQ=AP•tanA=，∴Q（，）；
（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．
则有，即，解得t=．
此时AQ=，AH=AQ•cosA=，HQ=AQ•sinA=，OH=OA﹣AH=，∴Q（，）．综上所述，当t=秒或t=秒时，△APQ与△AOB相似，
所对应的Q点坐标分别为（，）或（，）．
（3）结论：存在．如图（3）所示．
∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．
过Q点作QE⊥y轴于点E，则
QE=AQ•sin∠QAP=，AE=AQ•cos∠QAP=，
∴OE=OA﹣AE=，∴Q（，）．
∵▱APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（，）；
∵▱APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（，）；
如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，
∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；
在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，
∴△M3PF≌△QAE，
∴M3F=QE=，PF=AE=，∴OF=OP+PF=，∴M3（﹣，）．
∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．
点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（﹣，）．
21．解：（1）过点M作MN⊥AC，垂足为N，
∴，
由题意得：PM⊥AB，又AB是圆O的直径，
∴OA=OP=1，
∴∠APO=45°，，
∴，
在Rt△PNM中，，
又PM=1+x，∠NPM=45°，
∴，
∴y关于x的函数解析式为（x＞1），
（2）设圆M的半径为r，
∵OA⊥MA，
∴∠OAM=90°，
又∵△OMA∽△PMC，
∴△PMC是直角三角形．
∵OA=OP，MA=MC，
∴∠CPM、∠PCM都不可能是直角．
∴∠PMC=90°．
又∵∠AOM=2∠P≠∠P，
∴∠AMO=∠P，
即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应．∴，即，解得，
从而OM=2，
∴OM=2，圆M的半径为．
（3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，
连接OA、MA、MC、AQ，设公共弦AB与直线OM相交于点G
由正五边形知，∠BAC=108°，
∵AB是公共弦，
∴OM⊥AB，∠AMO=36°，
从而∠P=18°，∠AOM=2∠P=36°
∴∠AOM=∠AMO
∴AM=AO=1，即圆M的半径是1，
∵OA=OQ=1，∠AOM=36°
∴∠AQO=72°
∴∠QAM=∠AQO﹣∠AMO=36°
∴△MAQ∽△MOA，
∴
∵AM=1，MQ=OM﹣1
∴，解得：（负值舍去）
∴，
所以，存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，
此时的，圆M的半径是1．
22．解：（1）观察两种统计图知道，甲单位有3人得80分，乙单位有一半得80分，∵得80分的人数相同，
∴总人数=3×2=6人，
∴甲单位得90分的有2人，
统计图为：
（2）甲单位的平均分为（70+80×3+90×2）÷6=81.67分；
乙单位的平均分为：（70×2+90+80×3）÷6=78.33分，
故甲单位职工对此次科普知识掌握较好．
（3）列表得：
P （两人得分不同的概率）=．
23．解：（1）设x 人生产A 种板材，根据题意得；
x =120．
经检验x =120是分式方程的解． 210﹣120=90．
故安排120人生产A 种板材，90人生产B 种板材，才能确保同时完成各自的生产任务； （2）设生产甲种板房y 间，乙种板房（400﹣y ）间， 安置人数为12y +10（400﹣y ）=2y +4000，
，
解得：360≥y ≥300，
因为2大于零，所以当y =360时安置的人数最多． 360×2+4000=4720． 故最多能安置4720人．
24.解：如图1，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ， 连接MB ，则AN ＝BN 在Rt △MNB 中，22NM BM BN -=
=()
2152
=-，
AB ＝4
∵OA :OB =1:3，
图1
∴144
1
41=⨯==
AB OA ∴A （－1，0），B （3，0），M （1，－1） ∵OB ＝OC ＝3
AB ⊥CD ，∠AOC =∠DOB ∠ACO =∠DBO ∴△AOC ≌△DOB ∴DO =AO =1 ∴D (0,1)
(2)如图，设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为
)3)(1(-+=x x a y
将点（0,3）代入得，)30)(10(3-+=a 解得：1=a
32)3)(1(2--=-+=x x x x y =4)1(2--x
抛物线的顶点坐标为(1，－4) 连接BE ，CE ， 过点E 作EF ⊥y 轴, 可知OF ＝4 ∵OC ＝3 CF ＝1，EF ＝1 ∴∠FCE ＝45° ∴∠OCB ＝45° ∴∠BCE =90°
∴△BCE 为直角三角形 (3)如图2，
连接BM 并延长交⊙M 于点G ， 连接AG ，
BG 为⊙M 的直径，
则∠BCG =90°，∠GAB =90°， ∵∠BCE =90°，
∴G ，C ，E 三点在同一条直线上， 可求得，BE =52
图2
图1 图3
BG =52
∵BE =BG ，BC =BC Rt △BGC ≌Rt △BEC ∠GBC =∠EBC ∴α-︒=∠45ABG Rt △ABG 中，
()
22
22452-=
-=AB GB AG
=2 ∴sin （︒45－β)=
5
55
22= (4)存在，如图4，)0,9(),3
1
,0(),0,0(321P P P。