2020届高考二轮数学二轮复习重点模块练：函数(10)函数模型及其应用 Word版含答案

函数模型及其应用
1、下表是某次测量中两个变量,x y 的一组数据，若将y 表示为关于x 的函数，则最可能的函数模型是( )
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
2、下面对函数12
1()log ,()2x
f x x
g x ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，与()h x x =在区间(0,)+∞上的递减情况说法正确
的是( )
A.()f x 递减速度越来越慢，()g x 递减速度越来越快，()h x 递减速度不变
B.()f x 递减速度越来越快，()g x 递减速度越来越慢，()h x 递增速度越来越快
C.()f x 递减速度越来越慢，()g x 递减速度越来越慢，()h x 递增速度不变
D.()f x 递减速度越来越快，()g x 递减速度越来越快，()h x 递减速度越来越快
3、四人赛跑，假设他们跑过的路程i ()f x （其中{}i 1,2,3,4∈）和时间(1)x x >的函数关系分别是212324(),()4,()log ,()2x f x x f x x f x x f x ====，如果他们一直跑下去，那么最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A.21()f x x =
B.2()4f x x =
C.32()log f x x =
D.4()2x f x =
4、将进货单价为80
元的商品按90元出售时，能卖出400个.若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个( ) A.115元
B.105元
C.95元
D.85元
5、有一组实验数据如下表所示： 下列所给函数模型较适合的是( ) A.log (1)a y x a =>
B.(1)y ax b a =+>
C.2(0)y ax b a =+>
D.log (1)a y x b a =+>
6、如图记录了一种叫万年松的树生长时间t (年)与树高(m)y 之间的散点图.请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是( )
A.2t t =
B.2log y t =
C.3y t =
D.22y t =
7、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分）满足函数关系2
p at bt c =++ （,,a b c 是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A.3.05分
B.3.75分
C.4.00分
D.4.25分
8、某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况下0100x ≤≤，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y (元)，要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工的绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少，则下列函数最符合要求的是( )
A. 2
(50)500y x =-+
B. 25
10500x y =+
C. 31
(50)6251000
y x =
-+
D. 50[10lg(21)]y x =++
9、出租车按如下方法收费：起步价7元，可行3km(不含3km)；3km 到7km(不含7km)按1.6元/km 计价(不足1km 按1km 计算)；7km 以后按2.2元/km 计价，到目的地结算时还需
付1元的燃油附加费.若从甲地坐出租车到乙地(路程12.2km)，需付车费(精确到1元)( ) A.28元
B.27元
C.26元
D.25元
10、行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：2
200
x y mx n =++(,m n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车
的车速x (千米/时)的关系图.如果要求刹车距离不超过25.2米，则该型号汽车在该种路面行驶的最大速度是多少千米/时( )
A.60
B.70
C.80
D.90
11、某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为()2log 1y a x =+，设这种动物第一年有
100只，到第7年它们发展到__________只.
12、某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应是产品的销售额与广告费之差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调査显示：每付出100元的广告费，所得的销售额是1000元.要获得最大的广告效应，该企业应该投入__________元广告费.
13、某食品的保鲜时间y (单位：h)与储存温度x (单位：C ︒)满足函数关系e kx b y +=(,k b 是常数).若该食品在0C ︒的保鲜时间是192h ，在22C ︒的保鲜时间是48h ，则该食品在33C ︒的保鲜时间是_______h.
14、为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量()y mg 与时间()t h 成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式
为116t a
y -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答相关问题.
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量()y mg 与时间()t h 之间的函数关系式__________.
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25?mg 以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过__________小时后，学生才能回到教室.
15、据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v ()/km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形
OABC 在直线l 左侧部分的面积即()t h 内沙尘暴所经过的路程()S km .
（1）当4t =时，求S 的值；
（2）将S 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由.
答案以及解析
1答案及解析： 答案：D
解析：对于A ，由于x 均匀增加1，而y 值不是匀速递增，所以不是一次函数模型；对于B ，由于该函数是单调递增的，所以不是二次函数模型；对于C ，x y a =过点(0,1)，所以不是指数函数模型. 故选D.
2答案及解析： 答案：C
解析：由函数1
2
1()log ,()2x
f x x
g x ⎛⎫
== ⎪⎝⎭与()h x x =在区间(0,)+∞上的图象可知：函数()f x 的
图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,)+∞上，递减较慢，且越来越慢.同样，函数()g x 的图象在区间(0,)+∞上，递减较慢，且递减速度越来越慢.函数()h x 的图象在区间(0,)+∞上递增速度不变.故选C.
3答案及解析： 答案：D
解析：由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系为4()2x f x =.故选D.
4答案及解析： 答案：C
解析：设售价定为(90)x +元，卖出商品后获得的利润为
2(9080)(40020)20(10200)y x x x x =+--=-++，∴当5x =时，y 取得最大值，即售价应定
为90595+=(元). 故选C.
5答案及解析： 答案：C
解析：通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，A ，D 函数增长速度越来越慢，B 函数增长速度保持不变. 故选C.
6答案及解析： 答案：B
解析：分析可知，若为A 选项，则A 选项函数过(0,1)点，而该函数图象不过，故A 错误；对于B 选项，可知该函数图象类似于对数函数图象，故B 正确；C 选项，该函数递增很快，不符合这个图象，故C 错误；D 选项，同样函数递增很快，不符合这个图像，故D 错误.故选B.
7答案及解析： 答案：B
解析：由实验数据和函数模型知，二次函数2
p at bt c =++的图象过点()30.7，，()4,0.8，
()5,0.5，分别代入解析式，得0.793,0.8164,0.5255,
a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨
⎪=++⎩
解得0.2,
1.5,
2.a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩ 所以2
2
0.2 1.520.2( 3.75)0.8125.p t t t =-+-=--+ 所以当 3.75t =分钟时，可食用率p 最大.故选B.
8答案及解析： 答案：C
解析：由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快； ②在
50x =左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数2(50)500y x =-+先减后增，不符合
要求；D 中，函数50[10lg(21)]y x =++是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求；而C 中，函数31
(50)6251000
y x =-+是由函数3y x =经过平移和伸缩变换得到的，符合要求.故选C.
9答案及解析： 答案：C
解析：设路程为x ，需付车费为y 元，则有7,037 1.6(3),3714.4 2.2(7),7x y x x x x <<⎧⎪
=+-≤<⎨⎪+-≥⎩
.由题意知，从甲地坐
出租车到乙地，需付车费14.4 2.2(12.27)25.8426y =+⨯-=≈(元). 故选C.
10答案及解析： 答案：B
解析：由题意及函数图象，得2
240408.4200
606018.6200m n m n ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，
解得1
,0100
m n =
=， 所以2(0)200100
x x
y x =+≥.
令225.2200100
x x +≤，得7270x -≤≤. ∵0x ≥，
∴070x ≤≤.故行驶的最大速度是70千米/时. 故选B.
11答案及解析： 答案：300
解析：由已知第一年有100只，得100a =.
将100a =，7x =代入()2log 1y a x =+，得300y =.
12答案及解析：
答案：2500
解析：设广告费为x 元，广告效应为y 元，
则y x =，
当100x =时，由100=得100k =，
所以y x =，设t =
，
则2
2
100(50)2500y t t t =-=--+.
所以当50t =，即2500x =时，广告效应最大. 故答案为2500.
13答案及解析： 答案：24
解析：∵某食品的保鲜时间y (单位：h)与储存温度x (单位：C ︒)满足函数关系e kx b y +=(,k b 是常数).该食品在0C ︒的保鲜时间是192h ，在22C ︒的保鲜时间是48h ， ∴22192e 48e b k b
+⎧=⎨=⎩
，解得22481e 1924k ==， ∴111
e 2
k =
， ∴该食品在33C ︒的保鲜时间3
33113
1e (e )e 192242k b
k b
y +⎛⎫
==⋅=⋅= ⎪⎝⎭
.故答案为24.
14答案及解析：
答案：（1）药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量()y mg 与()t h 成正比，
则设函数为(0)y kx k =≠，将点1,110⎛⎫
⎪⎝⎭
代入可得10k =，则10y t =； 将点1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭代入116t a
y -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，得1
10
a =
.
则所求解析式为1
1011001011()16
10t t t y t -⎧
≤≤⎪⎪
=⎨⎪>
⎪⎩，，. （2）令11
10
2
110.251616t -
⎛⎫
⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，解得63105t ===0.6，即从药物释放开始，至少需要经
过0.6小时后，学生才能回到教室.
15答案及解析：
答案：（1）解：由题图象可知：当4t =时，3412v =⨯=， ∴1
412242
S =
⨯⨯=. （2）当010t ≤≤时，213
322
S t t t =⋅⋅=， 当1020t <≤时， ()1
10303010301502
S t t =⨯⨯+-=-； 当2035t <≤时，
()11030103020302S t =
⨯⨯+⨯+-⨯()()21
20220705502
t t t t -⨯-⨯-=-+-. 综上，可知[]2
23,0,10230150,(10,20]70550,(20,35]t t S t t t t t -⎧∈⎪⎪
=-∈⎨⎪+-∈⎪⎩.
（3）∵[0,10]t ∈时，23
101506502
max S =
⨯=<， 当(10,20]t ∈时，3020150450650max S =⨯-=<， ∴ 当(20,35]t ∈时，令270550650t t -+-=. 解得130t =，240t =. ∵ 2035t <≤，∴30t =.
即沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城.。