2024—2025学年北京市育才学校高三上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年北京市育才学校高三上学期期中考试数学试卷
一、单选题
(★) 1. 已知集合, 则
A．B．C．D．
(★) 2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）
A．B．C．D．
(★★) 3. 若，且，则的最大值为
A．B．C．D．
(★★★) 4. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）
A．B．
C．D．
(★★) 5. 在中，“”是“”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
(★) 6. 已知函数，，的图像都经过点，则的值为A．B．C．D．
(★★) 7. 已知函数的部分对应值如表所示.数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为（）.
1
3
A． 1B． 2C． 3D． 4
(★) 8. 已知向量，，若，则等于（）
A．B．C．D．
(★★★) 9. 在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（）
A．B．C．D．
(★★★★) 10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合：
①②
③④
其中所有“好集合”的序号是（）
A．②③B．①②④C．③④D．①③④
二、填空题
(★★) 11. 的展开式中的常数项为 _______________ ．
(★) 12. 若向量满足，且的夹角为，则 ___________ ，
___________ .
(★★★) 13. 已知，函数若，则的值域为 _____ ；若方程恰有一个实根，则的取值范围是 _____ .
(★★) 14. 已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 ___________ .
(★★★) 15. 已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为
___________ .
三、解答题
(★★) 16. 已知等差数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)若等比数列，求的通项公式;
(★★) 17. 已知函数在处有极值-1.
(1)求实数a，b的值;
(2)求函数的单调区间.
(★★★) 18. 在中，.
(1)求B；
(2)若， ___________.求a.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(★★★) 19. 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校， 10所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
(★★★★) 20. 已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线的方程；
(2)当时，求证：；
(3)讨论函数（且为常数）零点的个数.
(★★★★) 21. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1， 2第1次“Z拓展”后得到数列1， 3， 2，第2次“Z拓展”后得到数列1， 4， 3， 5， 2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P n，所有项的和记为S n.
（1）求P1，P2；
（2）若P n≥2020，求n的最小值；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{ S n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由.。