河北省廊坊市第四中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若抛物线y ＝x 2﹣3x +c 与y 轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（ ）
A ．抛物线开口向下
B ．抛物线与x 轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
C ．当x ＝1时，y 有最大值为0
D ．抛物线的对称轴是直线x ＝32
2．函数2y x =-与函数12y x =-在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．
3．已知二次函数2
(2)21y k x x =-++的图象与x 轴只有一个交点，则这个交点的坐标为 （ ）
A ．（0，－1）
B ．（0，1）
C ．（－1，0）
D ．（1，0） 4．已知反比例函数k y x =
的图象经过点(3,2)，小良说了四句话，其中正确的是（ ） A ．当0x <时，0y > B ．函数的图象只在第一象限
C ．y 随x 的增大而增大
D ．点(3,2)-不在此函数的图象上 5．如图，把Rt ABC ∆绕点A 逆时针旋转50︒，得到Rt AB C ''∆，点C 恰好落在边AB 上的点C '处，连接BB '，则BB A '∠的度数为（ ）
A ．50︒
B ．55︒
C ．60︒
D ．65︒ 6．函数y ＝k x 与y ＝kx ＋k(k 为常数且k ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A ． B ． C ． D ．
7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，AD=5，BD=2，则DE 的长为（ ）
A ．35
B ．425
C ．225
D ．45
8．如图，下列条件中，能判定ACD ABC △∽△的是（ ）
A ．BAC ABC ∠=∠
B ．BA
C ADC ∠=∠ C ．A
D CD AC BC = D ．AC AD AB AC
= 9．如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，以边AB 的中点O 为圆心作半圆，使BC 与半圆相切，点,P Q 分别是边AC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12 10．若双曲线y=3k x -在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜3 B ．k≥3 C ．k ＞3 D ．k≠3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC ＝
23
，那么线段AB 的长是_____．
12．如图，AB 是⊙Ｏ的直径，BC 与⊙Ｏ相切于点B ，AC 交⊙Ｏ于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD=______度．
13．抛物线()2
y x 1=-+的顶点坐标为________. 14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝34
，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，点F 是DE 上一动点，以点F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，当FD ＝_____时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切．
15．一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：__________．
16．如图，直线m ∥n ，以直线m 上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m ，n 于点B 、C ，连接AC 、BC ，若∠1=30°，则∠2=_____．
17．抛物线()22
19y k x k =++-开口向下，且经过原点，则k =________． 18．如图，斜坡AB 长为100米，坡角30ABC ∠=︒，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB 改造成坡度1:5i =的斜坡BD （A 、D 、C 三点在地面的同一条垂线上），那么由点A 到点D 下降了_________米（结果保留根号）
三、解答题(共66分)
19．（10分）初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209
m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？
20．（6分）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上.
（1）在方格纸中画出以AB为一边的锐角等腰三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且ABC的面积为10；（2）在方格纸中画出以DE为一边的直角三角形DEF，点F在小正方形的顶点上，且DEF的面积为5；
（3）连接CF，请直接写出线段CF的长.
21．（6分）如图，点A在x轴上，OA=6，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式．
22．（8分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共
件，其中b班征集到作品件，请把图2补充完整；
（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？
（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率．
23．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝116°，则∠ADC的角度是_____．
24．（8分）如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE.
（1）求证：△DAC∽△EBC；
（2）求△ABC与△DEC的面积比．
25．（10分）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE//BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BF=BC=2，求图中阴影部分的面积．
26．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上．（1）求证：△AEF∽△BFC．
（2）若AB＝20cm，BC＝16cm，求tan∠DCE．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，A选项错误；
B、由抛物线与y轴的交点坐标可得出c值，进而可得出抛物线的解析式，令y=0求出x值，由此可得出抛物线与x 轴的交点为（1，0）、（1，0），B选项错误；
C、由抛物线开口向上，可得出y无最大值，C选项错误；
D、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线x=-3
2
，D选项正确．
综上即可得出结论．
【详解】解：A、∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，A选项错误；
B、∵抛物线y=x1-3x+c与y轴的交点为（0，1），
∴c=1，
∴抛物线的解析式为y=x1-3x+1．
当y=0时，有x1-3x+1=0，
解得：x1=1，x1=1，
∴抛物线与x轴的交点为（1，0）、（1，0），B选项错误；
C、∵抛物线开口向上，
∴y无最大值，C选项错误；
D、∵抛物线的解析式为y=x1-3x+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=-
b 2a =-321⨯=32
，D 选项正确． 故选D ．
【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
2、B
【分析】根据函数2y x =-与函数12y x =-
分别确定图象即可得出答案． 【详解】∵2y x =-，-2＜0，
∴图象经过二、四象限， ∵函数12y x
=-中系数小于0， ∴图象在一、三象限．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键．
3、C
【分析】根据△＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点列出方程，解方程求出k ，再根据二次函数的图象和性质解答．
【详解】∵二次函数2
(2)21y k x x =-++的图象与x 轴只有一个交点，
∴20k -≠，22-4(2)10k ⨯-⨯=，
解得：3k =，
∴二次函数2221=(1)y x x x =+++，
当0y =时，-1x =，
故选C ．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x 轴的交点，掌握当△＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点是解题的关键．
4、D
【分析】利用待定系数法求出k ，即可根据反比例函数的性质进行判断．
【详解】解：∵反比例函数
k
y
x
=的图象经过点（3，2），
∴k=2×3=6，
∴
6
y
x =，
∴图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故A，B，C错误，
∴点(3,2)
-不在此函数的图象上，选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的特征，教育的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5、D
【分析】
由旋转的性质可得AB'=AB，∠BAB'=50°，由等腰三角形的性质可得∠AB'B=∠ABB'=65°．【详解】
解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°得到Rt△AB′C′，
∴AB'=AB，∠BAB'=50°，
∴
18050
''65
2
AB B ABB
︒-︒
∠=∠==︒，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．6、A
【解析】当k＞0时，双曲线y＝k
x
的两支分别位于一、三象限，直线y＝kx＋k的图象过一、二、三象限；当k＜0
时，双曲线y＝k
x
的两支分别位于二、四象限，直线y＝kx＋k的图象过二、三、四象限；由此可得，只有选项A符
合要求，故选A.
点睛：本题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数y=k
x
的图象当k＞0时，它
的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．一次函数图象与k、b的关系：①k>0，b>0时，图像经过一二三象限；②k>0，b<0，图像经过一三四象限；③k>0，b=0时，图像经过一三象限，并过原点；④k<0，b>0时，图像经过一二四象限；⑤k<0，b<0时，图像经过二三四象限；⑥k<0，b=0时，图像经过二四象限,并过原点.
7、D
【分析】根据AD 平分∠BAC ，可得∠BAD=∠DAC ，再利用同弧所对的圆周角相等，求证△AB
D ~△BED ，利用其对应边成比例可得
AD BD BD DE =，然后将已知数值代入即可求出DE 的长． 【详解】解:∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD=∠DAC ，
∵∠DBC=∠DAC(同弧所对的圆周角相等）,
∴∠DBC=∠BAD ，
∴△ABD ~△BED ， ∴AD BD BD DE
=, ∴DE=24.5
BD AD = 故选D.
【点睛】
本题考查圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，根据其定理进行分析.
8、D
【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可．
【详解】解：∵∠A=∠A
若BAC ABC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故A 选项不符合题意；
若BAC ADC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故B 选项不符合题意； 若AD CD AC BC
=，但∠A 不是两组对应边的夹角，不能判定ACD ABC △∽△，故C 选项不符合题意； 若AC AD AB AC
=，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得ACD ABC △∽△，故D 选项符合题意．
故选D ．
【点睛】
此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键．
9、C
【分析】如图，设⊙O 与BC 相切于点E ，连接OE ，作OP 2⊥AC 垂足为P 2交⊙O 于Q 2，此时垂线段OP 2最短，P 2Q 2最小值为OQ 2-OP 2，如图当Q 2在AB 边上时，P 2与A 重合时，P 2Q 2最大值，由此不难解决问题．
【详解】解：如图，设⊙O 与BC 相切于点E ，连接OE ，作OP 2⊥AC 垂足为P 2交⊙O 于Q 2，
此时垂线段OP 2最短，P 2Q 2最小值为OQ 2-OP 2，
∵AB=20，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP2A=90°，∴OP2∥BC．
∵O为AB的中点，∴P2C=P2A，OP2=1
2
BC=2．
又∵BC是⊙O的切线，∴∠OEB=90°，∴OE∥AC,又O为AB的中点，
∴OE=1
2
AC=4=OQ2．
∴P2Q2最小值为OQ2-OP2=4-2=2，
如图，当Q2在AB边上时，P2与A重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=AO+OQ2=5+4=9，
∴PQ长的最大值与最小值的和是20．
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理以及平行线的判定等知识，解题的关键是正确找到点PQ 取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
10、C
【分析】根据反比例函数的性质可解．
【详解】解：∵双曲线
3
k
y
x
-
=在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴k-3＞0 ∴k＞3
故选：C．【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数
k
y
x
=，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象
限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】在Rt BDC 中，根据直角三角形的边角关系求出CD ，根据勾股定理求出BD ，在在Rt ABD 中，再求出AB 即可．
【详解】解：在Rt △BDC 中，
∵BC ＝4，sin ∠DBC ＝23
， ∴28sin 433
CD BC DBC =⨯∠=⨯=，
∴BD == ∵∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，
∴∠A ＝∠DBC ，
在Rt △ABD 中，
∴3sin 32
BD AB A ===
故答案为：
【点睛】
考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键． 12、80
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°
. 【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13、（-1,0）
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线()2
1y x =-+，
∴顶点坐标为：（-1,0），
故答案是：（-1,0）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点，同学们应熟练掌握．
14、209或145
【分析】如图1，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，切点为H ，连接FH ，则HF ⊥AC ，解直角三角形得到AC ＝4，AB ＝5，根据旋转的性质得到∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，根据相似三角形的性质得到DF ＝
209；如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，推出点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图1，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，切点为H ，
连接FH ，则HF ⊥AC ，
∴DF ＝HF ，
∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝
BC AC ＝34
， ∴AC ＝4，AB ＝5，
将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，
∴∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，
∵FH ⊥AC ，CD ⊥AC ，
∴FH ∥CD ，
∴△EFH ∽△EDC ， ∴
FH CD ＝EF DE
， ∴4DF ＝55
DF ， 解得：DF ＝209；
如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，
∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC
∴∠AHE＝90°，
∴点H为切点，DH为⊙F的直径，
∴△DEC∽△DBH，
∴DE
BD
＝
CD
DH
，
∴5
7
＝
4
DH
，
∴DH＝28
5
，
∴DF＝14
5
，
综上所述，当FD＝20
9
或
14
5
时，⊙F与Rt△ABC的边相切，
故答案为：20
9
或
14
5
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15、1 2
【解析】根据向上一面可能出现的有6种情况，其中出现数字为奇数的有3种情况，利用概率公式进行计算即可得. 【详解】掷一次正六面体骰子向上一面的数字有1、2、3、4、5、6共6种可能，
其中奇数有1，3，5共3个，
∴掷一次朝上一面的数字是奇数的概率是=31 62 ，
故答案为：1 2 .
【点睛】本题考查了概率的计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16、75°
【解析】试题解析：∵直线l 1∥l 2，
∴130.A ∠=∠=
,AB AC =
75.ACB B ∴∠=∠=
2180175.ACB ∴∠=-∠-∠=
故答案为75.
17、3-
【解析】把原点（0，0）代入y =（k +1）x 2+k 2﹣9，可求k ，再根据开口方向的要求检验．
【详解】把原点（0，0）代入y =（k +1）x 2+k 2﹣9中，得：k 2﹣9=0
解得：k =±1．
又因为开口向下，即k +1＜0，k ＜﹣1，所以k =﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
18、50-【分析】根据直角三角形的性质求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据坡度的概念求出CD ，结合图形计算，得到答案．
【详解】在Rt △ABC 中，∠ABC=30°，
∴AC=12
AB=50，BC=AB•cos ∠ ∵斜坡BD 的坡度i=1：5，
∴DC ：BC=1：5，
∴
则
故答案为：
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）y=−
19
(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功． 【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；
（2）当1x =时，求出此时的函数值，再与3.1m 比较大小即可判断.
【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，
209
），顶点坐标是（4，4）． 设抛物线的解析式是()244y a x =-+， 将（0，
209）代入，得()2200449
a =-+ 解得19
a =-， 所以抛物线的解析式是()21449
y x =--+； 篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=， ∴这个点在抛物线上，
∴能够投中
答：能够投中．
（2）当1x =时，()2114439
y =--+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功.
答：能够盖帽拦截成功.
【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.
20、（1）作图见解析（2）作图见解析（3【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
【详解】（1）如图所示：△ABC 即为所求；
（2）如图所示：△DFE ，即为所求；
（3）CF 22125+=
【点睛】
本题考查了应用设计与作图以及等腰三角形的性质和勾股定理等知识，根据题意得出对应点位置是解题的关键．
21、（1）点B 的坐标是(-3-33；（2）2323y x x = 【分析】（1）过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ，则OA=OB=6，60BOC ∠=，解直角三角形即可；
（2）可设抛物线解析式为2y ax bx =+，将A 、B 坐标代入即可．
【详解】解：（1）如图，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ，则90BCO =∠.
12060AOB BOC =∴=∠，∠.
又∵OA=OB=6 ∴1163,22
OC OB ==⨯= 3sin 60633BC OB =⋅︒==∴点B 的坐标是(-3-33；
（2）抛物线过原点O 和点A 、B ， ∴可设抛物线解析式为2y ax bx =+.
将A （6，0），B (-3-33代入， 得36609333a b a b +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得：3923
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴此抛物线的解析式为：2323y x =+． 【点睛】
本题考查的知识点是旋转的性质、求抛物线解析式、解直角三角形，利用旋转的性质得出点B 的坐标是解此题的关键．
22、（1）抽样调查；12；3；（2）60；（3）25
． 【解析】试题分析：（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C 在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C 的人数是5，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A 、C 、D 的件数即为B 的件数；
（2）求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14，计算即可得解；
（3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解．
试题解析：（1）抽样调查，
所调查的4个班征集到作品数为：5÷150360
=12件，B 作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3件，故答案为抽样调查；12；3；把图2补充完整如下：
（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品x=12÷4=3（件），所以，估计全年级征集到参展作品：3×14=42（件）；（3）画树状图如下：
列表如下：
共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，所以，P（一男一女）=12
20
=
3
5
，即恰好抽中一男一女的概率是
3
5
．
考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．列表法与树状图法；5．图表型．23、58°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】∵∠AOC和∠ADC都对ABC，
∴∠ADC=1
2
∠AOC=
1
2
×116°=58°．
故答案为：58°．【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
24、（1）见解析；（2）12
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明△DAC ∽△EBC ；
（2）依据△DAC ∽△EBC 所得条件，证明△ABC 与△DEC 相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.
【详解】（1）证明：∵△EBC 是等腰直角三角形
∴BC ＝BE ，∠EBC ＝90°
∴∠BEC ＝∠BCE ＝45°．
同理∠DAC ＝90°，∠ADC ＝∠ACD ＝45°
∴∠EBC ＝∠DAC ＝90°，∠BCE ＝∠ACD ＝45°．
∴△DAC ∽△EBC ．
（2）解：∵在Rt △ACD 中， AC 2＋AD 2＝CD 2，
∴2AC 2＝CD 2
∴2
AC CD =, ∵△DAC ∽△EBC ∴AC BC ＝DC EC
， ∴EC BC ＝DC AC ， ∵∠BCE ＝∠ACD
∴∠BCE －∠ACE ＝∠ACD －∠ACE ，即∠BCA ＝∠ECD ，
∵在△DEC 和△ABC 中，
EC BC ＝DC AC ，∠BCA ＝∠ECD ， ∴△DEC ∽△ABC ， ∴S △ABC :S △DEC ＝2DC AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键在于利用（1）中的相似推导出第二对相似三角形.
25、 (1)证明见解析；(2)24π
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【分析】（1）求出∠ADB 的度数，求出∠ABD+∠DBC=90︒，根据切线判定推出即可；（2）连接OD ，分别求出三角形DOB 面积和扇形DOB 面积，即可求出答案.
【详解】(1)AB 是O 的直径，
90ADB ∴∠=︒，
90A ABD ∴∠+∠=︒，
A DE
B ∠=∠，DEB DB
C ∠=∠，
A DBC ∴∠=∠，
90DBC ABD ∠+∠=︒，
BC ∴是O 的切线；
(2)连接OD ，
2BF BC ==，且90ADB ∠=︒，
CBD FBD ∴∠=∠，
//OE BD ，
FBD OEB ∴∠=∠，
OE OB =，
OEB OBE ∴∠=∠，
11903033
CBD OEB OBE ADB ∴∠=∠=∠=∠=⨯︒=︒， 60C ∴∠=︒，
323AB BC ∴==
O ∴3
∴阴影部分的面积=扇形DOB 的面积-三角形DOB 的面积1333336424
ππ=⨯-=-． 【点睛】
本题考查了切线判定的定理和三角形及扇形面积的计算方法，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
26、（1）证明见解析；（2）1 2
【分析】（1）由矩形的性质及一线三等角得出∠A＝∠B，∠AEF＝∠BFC，从而可证得结论；
（2）矩形的性质及沿CE将△CDE对折，可求得CD、AD及CF的长；在Rt△BCF中，由勾股定理得出BF的长，从而可得AF的长；由△AEF∽△BFC可写出比例式，从而可求得AE的长，进而得出DE的长；最后由正切函数的定义可求得答案．
【详解】（1）∵在矩形ABCD中，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上
∴△CDE≌△CFE
∴∠EFC＝∠D＝90°
∴∠AFE+∠BFC＝90°
∵∠A＝90°
∴∠AEF+∠AFE＝90°
∴∠AEF＝∠BFC
又∵∠A＝∠B
∴△AEF∽△BFC；
（2）∵四边形ABCD为矩形，AB＝20cm，BC＝16cm
∴CD＝20cm，AD＝16cm
∵△CDE≌△CFE
∴CF＝CD＝20cm
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝12cm
∴AF＝AB﹣BF＝8cm
∵△AEF∽△BFC
∴AE AF BF BC
=
∴
8 1216 AE
=
∴AE＝6
∴DE＝AD-AE＝16-6＝10cm
∴在Rt△DCE中，tan∠DCE＝
101
202 DE
DC
==．
【点睛】
本题考查了全等三角形、矩形、相似三角形、直角三角形两锐角互余、勾股定理、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、矩形、相似三角形、勾股定理、三角函数的性质，从而完成求解．。