黑龙江省绥化市大罗中学2019-2020学年高三数学文月考试题含解析

黑龙江省绥化市大罗中学2019-2020学年高三数学文月
考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 阅读如图所示的算法框图，输出的s值为．
A．0 B．1＋ C．1＋
D. －1
参考答案：
B
2. 若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝
则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为()
A．5B．7 C．8D．10
参考答案：
C
3. 若，且，则（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
4. 函数在上的图象大致为
A B
C D
参考答案：
【知识点】函数的图像. B9
【答案解析】D 解析：定义域关于原点对称，因为
，所以函数为定义域内的奇函数，故排除B,C,
令,则，排除A，故选C.
【思路点拨】先利用函数的奇偶性排除B,C，再利用函数的值排除A即可.
5. 若命题p：?x0∈R，sinx0=1；命题q：?x∈R，x2+1＜0，则下列结论正确的是（）A．￢p为假命题B．￢q为假命题C．p∨q为假命题D．p∧q真命题
参考答案：
A
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据及x2≥0容易判断命题p，q的真假，然后根据￢p，￢q，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系即可判断各选项的正误，从而找到正确选项．
【解答】解：时，sinx0=1；
∴?x0∈R，sinx0=1；
∴命题p是真命题；
由x2+1＜0得x2＜﹣1，显然不成立；
∴命题q是假命题；
∴￢p为假命题，￢q为真命题，p∨q为真命题，p∧q为假命题；
∴A正确．
故选A．
【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对?∈R满足x2≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和命题p，q真假的关系．
6. 已知平面向量，且，则
(A) (B) (C)(D)
参考答案：
答案：C
7. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
参考答案：
A
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：根据周期求出ω，再由五点法作图求出?，从而得到函数f（x）=sin2（x+），故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，从而得出结论．
解答：解：由题意可得×=﹣=，∴ω=2．
再由五点法作图可得2×+?=π，∴?=，故函数f（x）=sin（ωx+?）=sin
（2x+）=sin2（x+）．
故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，
故选A．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin （ωx+?）的图象变换，属于中档题．
8. 设函数y=f（x）在x0处可导，f′（x0）=a，若点（x0，0）即为y=f（x）的图象与x轴
的交点，则 [nf（x0﹣）]等于（）
A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对
参考答案：
C
【考点】极限及其运算．
【分析】根据f（x o）=0可将[nf（xo﹣）]等价变形为﹣
，再结合f（x）在x o处可导即可求解．
【解答】解∵f（x o）=0，
∴nf（x o﹣）=﹣，
∵f（x）在x o处可导，
∴nf（x o﹣）=﹣=﹣=﹣f′（x0）=﹣a，
故选：C．
9. 已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值为（）
A．B．C．2 D．4
参考答案：
B
【考点】7F：基本不等式．
【分析】由4=2a+b可求ab的范围，进而可求的最小值
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且4=2a+b
∴ab≤2
∴
∴的最小值为
故选B
10. 已知数列满足，，则（）A． 30 B． 18 C. 15 D．9
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3，则抛物线的焦点坐标为．
参考答案：
（0，1）
【考点】：抛物线的简单性质．
【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．
解：依题意可知抛物线的准线方程为y=﹣
∵抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3，
∴纵坐标为2的一点到准线的距离为+2=3，解得p=2．
∴抛物线焦点（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】：本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．
12. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和x轴都相切，则该圆的标准方程是_____
参考答案：
试题分析：由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.
所以圆的方程为.
考点：1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.
13. 当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值
是．
参考答案：
9
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用基本不等式的性质、指数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵点（x，y）在直线x+3y=2上移动，
∴x+3y=2，
∴z=3x+27y+3≥+3=+3=+3=9，
当且仅当x=3y=1时取等号．
其最小值是9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算法则，属于基础题．
14. 已知正实数满足，则的最小值为．
参考答案：
15. 将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成
一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设出减去的正方形边长为x，表示出外接球的直径，对直径的平方的表示式求导，使得导函数等于0，得到最小值，根据自变量的范围求出结论．
【解答】解：设减去的正方形边长为x，
其外接球直径的平方R2=（a﹣2x）2+（b﹣2x）2+x2
求导得（R2）'=18x﹣4（a+b）=0
∴x=（a+b）
因为a＜b有x属于（0，）
所以0＜（a+b）＜
∴1＜＜
故答案为：（1，）．
【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是写出直径的平方的表示式，并且对解析式求导做出直径的最小值．
16. （5分）若二项式（+2）n（n∈N*）的展开式中的第5项是常数项，则n= ．
参考答案：
6
【考点】：二项式系数的性质．
【专题】：二项式定理．
【分析】：先求出二项式展开式的通项公式，再根据r=4时，x的幂指数等于0，求得n 的值．
解：二项式（+2）n（n∈N*）的展开式的通项公式为 T r+1=?2r?，
由于第5项是常数项，可得﹣n=0，∴n=6，
故答案为：6．
【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
17. 运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 .
参考答案：
11
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为
各人是否需使用设备相互独立.
（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.
参考答案：
解：记表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示事件：甲需使用设备；表示事件：丁需使用设备；表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
（I），又
（II）的可能取值为0，1，2，3，4．
，
∴数学期望
19. 函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在[0，]上的值域．
参考答案：
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．
【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解即可．
（2）求出相位的范围，然后求解函数的值域．
【解答】解：（1）由题意知，．
令，
即，
故函数f（x）的单调递增区间为．
（2）由（1）可知，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
，
故f（x）在上的值域为．
20. 已知：圆，直线.
(1)求证：，直线与圆恒有两个不同的交点；
(2)若直线与圆交于、两点，，求直线的方程；
(3)求弦的中点的轨迹方程.
参考答案：
解、；（1）直线恒过定点，且点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点. （2）；
（3）设中点，
21. 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为
M，且.若点P为C的准线上的任意一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A、B为切点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：直线AB恒过定点，并求面积的最小值.
参考答案：
（1）（2）见解析，最小值为4
【分析】
（1）根据焦点到直线的距离列方程，求得的值，由此求得抛物线的方程.
（2）设出的坐标，利用导数求得切线的方程，由此判断出直线恒过抛物线焦点.求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.
【详解】（1）依题意，解得（负根舍去）
∴抛物线的方程为
（2）设点，由，
即，得
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即
∵，∴∵点在切线上，
①，同理，②
综合①、②得，点的坐标都满足方程.
即直线恒过抛物线焦点
当时，此时，可知：
当，此时直线直线的斜率为，得
于是，而
把直线代入中消去得
，即：
当时，最小，且最小值为4
【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.
22. 若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）当定义域为[﹣1，1]，试判断f（x）=x4+x3+x2+x﹣1是否为“局部奇函数”；（2）若g（x）=4x﹣m?2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；
（3）已知a＞1，对于任意的，函数h（x）=ln（x+1+a）+x2+x﹣b都是定义域为[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；
（2）根据f（x）为定义域R上的“局部奇函数，得到f（﹣x）=﹣f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；
（3）根据f（x）为定义域[﹣1，1]上的“局部奇函数，得到f（﹣x）=﹣f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数a的取值范围；
【解答】解：（1）因为f（x）=x4+x3+x2+x﹣1，
所以f（﹣x）=x4﹣x3+x2﹣x﹣1，
由f（﹣x）=﹣f（x）得x4+x2﹣1=0，
令x2=t∈[0，1]，而t2+t﹣1=0存在一根，
即存在x∈[﹣1，1]，使得f（﹣x）=﹣f（x），
所以f（x）为“局部奇函数”．
（2）由题意知，g（﹣x）=﹣g（x）在R上有解，即4﹣x﹣2m?2﹣x+m2﹣3=﹣4x+2m?2x﹣m2+3
在R上有解，
所以4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0在R上有解，
令2x+2﹣x=u∈[2，+∞），
所以u2﹣2mu+2m2﹣8=0在u∈[2，+∞）上有解，
令F（u）=u2﹣2mu+2m2﹣8，
①当F（2）≤0时，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得，
此时F（u）在[2，+∞）上必有零点，所以；
②当F（2）＞0时，F（u）在[2，+∞）上有零点必须满足
综上：．
（3）由题意知，，﹣h（x）=h（﹣x）在x∈[﹣1，1]上都有解，
即，ln（﹣x+1+a）+x2﹣x﹣b=﹣ln（x+1+a）﹣x2﹣x+b在x∈[﹣1，1]上都有解，
即，ln[（a+1）2﹣x2]+2x2=2b在x∈[﹣1，1]上都有解，
令x2=s∈[0，1]，令φ（s）=ln[（a+1）2﹣s]+2s，
由题意知φ（s）在s∈[0，1]上的值域包含[2，3]，
因为，又因为s∈[0，1]，a∈（1，+∞），所以（a+1）2﹣s＞3，
所以φ′（s）＞0，所以φ（s）在s∈[0，1]上单调递增，
所以
综上：1＜a≤e﹣1．。