信号与系统：2-1 主微分方程式的建立与求解new

t3
1 O t 1
t 1时两波形有公共部分，积分开始不为0，
积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;
t
g(t) 1 f1( ) f2(t )d
t 1t d
1 2
2
2
4
t 1
t2
4
t 1 24
1 t 2
f
2
t
1
f1
t 3 1 O
1t
t 3 1
t 1
即1 t 2
g(t )
1
1
线性时不变系统满足微、积分特性
(t
)
t
(t
)
d
t
s(t)
t
h(t
)
d
t
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t , 对因果系统：t
－
0
2.4 信号分解与卷积积分
一、信号的时域分解与卷积积分
1 .信号的时域分解
(1) 预备知识
问f1(t) = ? p(t)
1 t 1
t
f1t f1(t) 0
y(xj() 0) y(xj() 0) y(j() 0) 对 于 零 状 态 响 应 ， 在t0 时 刻 激 励 尚 未 接 入 ， 故应 有
y(fj() 0) 0 y(fj() 0)的 求 法 下 面 举 例 说 。明
思考问题: 1. 系统的自由响应和零输入响应有何区别? 2. 系统的强迫响应和零状态响应有何区别?
❖ 系数匹配法求初始值 ❖ 令 y’’(t) = aδ(t) +bε(t)
y’(t) = a ε(t) y(t) = 0 代入微分方程: aδ(t) +(3a+b)ε(t)=2 δ(t) +6 ε(t) 所以 a =2 , b=0 y(0+)=y(0-) = 0; y’(0+)=y’(0-)+2=2;
2、模拟框图与微分方程式
系统框图
d2 r(t) dt2
4
d r(t ) dt
3r (t )
d e(t dt
)
2e(t )
d2rt
dr t
et
2
dt 2
dt
r t
4
d
dt
3
返回
2.2 LTI连续系统的响应
分析系统的方法：列写方程，求解方程。
列写方程: 根据元件约束,网络拓扑约束
经典法
1
2
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
电阻 电感 电容
iR t
1 R
vt
iLt
1 L
t v d
is t
iC
t
C
d vt
dt
iR
iL
R
LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
代入上面元件伏安关系，并化简有
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
t 1
f2(t) 2
(0 t 3)
f1
1
t
1 O 1 t
1
1 O 1
f2t
3
2
t t
f2
3
2
O
3t
3
O
f2 t
3 2
X
t-3
O
t
浮动坐标
t ：移动的距离
t =0 f2(t-) 未移动 t >0 f2(t-) 右移 t <0 f2(t-) 左移
f1 f2 t
3
2
1 O 1 t 3
1.由系统结构建立数学模型
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。 •元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
•网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
dt
kvt
d FS t
dt
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 返回
结论:两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系 数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分 方程表示。
2．n 阶线性时不变系统的描述
1．微分方程的描述
一个线性系统，其激励信号f(t)与响应信号y(t)之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
输入输出描述: 一元 N 阶微分方程 状态变量描述: N 元一阶微分方程
本章中我们主要讨论输入、输出描述法。
连续系统的分析过程
列写方程: 根据元件约束,网络拓扑约束
经典法
解方程双零法零 零状 输态 入::利可用利卷用积经积典分法法求求解
变换域法
经典法:前面电路分析课（高数）里已经讨论过，
但与(t)有关的问题有待进一步解决—— h(t)；
et
B et
cos(wt) sin(wt)
t pet cos(wt)
t pet sin(wt )
B1 cos(wt) B2 sin(wt)
(B1t p Bpt Bp1)et cos(wt) (D1t p Dpt Dp1)et sin(wt)
•若表中的特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘 表中特解。
)
4 t
t
2
2
4
t 2
1 t 1 1t 2 2 t 4
g(t) 2
4 2
0
其他t
1 O 1 2
4t
三.卷积计算的积分法
例:
已知e(t
)
e
t 2
(t
)
(t
2)，求i(t
)的零状态响应。
1．列写KVL方程 L d it Rit et
dt
2．冲激响应为 h(t) et (t)
R 1 i(t)
( ) (t )
0
0 t
t 0 t 0
(
2) (t
)
2 0 t 0
2
t 2
t
i(t
)2eet2t0tee2dt
(t)t 2ee2t t
t
2
e2
d
(t
2)
e(t1) (t 2)
波形
et
1
e
t 2
(t
)
(t
2)
ht
1
et (t)
O
2t
i t
O
2
3.零输入响应和零状态响应
y(t) yf(t) yx(t)也, 可 以 分 别 用 经 典 法 求解 。
注意：对于t 0时接入激励f(的t)系统，初始值 y(xj()0),y(fj()0)(j 0,1,2,,n 1)的计算。
y(j() 0) y(xj() 0) y(fj() 0) y(j() 0) y(xj() 0) y(fj() 0) 对 于 零 输 入 响 应 ， 由 于激 励 为 零 ， 故 有
卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过 冲激响应来求。(新方法)
2.1 连续时间系统的数学模型
系统分析过程: 1.建立系统的数学模型,写出输入和输出信号之
间的数学表达式; 2.采用适当的数学分析模型,求出系统在给定的
激励下的响应的数学表达式; 3. 对所得结果进行物理解释,深化系统对信号进
行变换处理过程的解释.
❖特 解：根据微分方程右端函数式形式，设 含待定系数的特解函数式→代入原方程，比 较系数定出特解。
由于特解的函数形式与激励函数的形式有 关,称为强迫响应.
❖ 几种典型激励信号对应特解的形式
激励函数e(t)
响应函数r(t)的特解
E（常数）
B（常数）
tp
B1t p B2t p1 Bpt Bp1
L 1H
3. i(t) e( ) h(t )d
e
1 2
(
)
(
2) e(t ) (t
)d
et e2 ( ) (t )d et e2 ( 2) (t )d
4.定积分限（关键）
it et e2 ( ) (t )d et e2 ( 2) (t )d
•特点 :宗量• 0时存在，1
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的数学模型 2.2 LTI连续系统的零输入响应和零状态响应 2.3 冲激响应和阶跃响应 2.4 信号分解与卷积积分 2.5 卷积积分的性质
2.0 引言
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系 统的微分方程。这种方法比较直观，物理概念比 较清楚，是学习各种变换域方法的基础。
解方程零输入零 零响状 输应态 入和::利可零用利状卷用态积经响积应典分法法求求解解
变换域法
求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。
1. 微分方程的经典解
an
dn y(t) dtn
an1
dn1 y(t) d tn1
a1
d
y(t) dt
a0
y(t)
bm
dm d
f (t) tm
bm1
dm1 f (t) d tm1
an
dn y(t) dtn
an1
dn1 y(t) d t n1
a1
d
y(t) dt
a0
y(t)
bm
dm d
f (t) tm
bm1
dm1 f (t) d t m1
b1
d
f d
(t) t
b0
f
(t)
若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常 系数的n阶线性常微分方程。
阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
b1
d
f d
(t) t
b0
f
(t)
微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）
❖ 齐次解是如下齐次微分方程的解:
yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。
n
Ak ekt
k 1
注意重根情况处理方法。
注: 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与 激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响 应；
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
上面求出的齐次解rh t和特解rp t相加即得方程的完全解
n
rt Aieit rp t i 1
2.关于0-和0+初始值
❖ 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci 用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。 而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系 统的历史信息。 ❖ 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 y(j)(0-)设法求得y(j)(0+) 。下列举例说明。
t
t 从 到 , 对应f2t 从左向右移动
浮动坐标： 下限
上限
f2t
t-3
t-0
f1
-1
1
t -1
f2t
1 f1
t3
t 1 O
1
t 1
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0
f 1 f2 t 0 gt f 1t f2t 0
-1 t 1
f2 t 向右移
f2 t 1 f1
例1
求微分方程 d3 dt3
r t
7
d2 dt2
rt
16
d dt
rt
12r t
et
的齐次解。
系统的特征方程为 3 7 2 16 12 0
特征根
22 3 0
1 2重根, 2 3
因而对应的齐次解为
rh t A1t A2 e2t A3e3t
例2
给定微分方程式
O
t
分段表示：
i(t)
2(e
t 2
et
),
2 e(t1) et ,
0 t 2 t2
t
练习用作图计算，比较两种方法
2.5 卷积积分的性质
卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性 质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷 积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或 存在的）。
3B1t 2 4B1 3B2 t 2B1 2B2 3B3 t 2 2t
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
联解得到
43BB11
1 3B2
2
2B1 2B2 3B3 0
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3
t2
2 9
t
10 27
(2)
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
1 t
2
d
t
2t4
1 f1 f2 t
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t)
1
1 (t
)d
t2
t
2
t3 2
42
t4
1 f1
f2t
1 O
1 t3
t
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1 1 O 1 t
f2t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
d2 r dt
t
2
2
dr d
t
t
3r
t
d et et
dt
如果已知：1 et t 2; 2 et et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
1 将et t 2代入方程右端, 得到t 2 2t, 为使等式两端
平衡，试选特解函数式
rp t B1t 2 B2t B3
这里, B1 , B2 , B3为待定系数。将此式代入方程得到
2.3 冲激响应和阶跃响应
二. 阶跃响应
定义: 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响 应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。
解法1: 系统的输入 f(t)=ε(t)，其响应为 y(t)=s(t) 。系
统方程的右端将包含阶跃函数ε(t) ，所以除 了齐次解外，还有特解项。 解法2: 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲 激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。
dt
1 L
vt
d iS t
dt
返回
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
例2 机械位移系统
质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定
在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 f ，外加牵引力
为 FS t ，其外加牵引力FS t 与刚体运动速度 vt间的
关系可以推导出为
m
d2 vt
dt2
f
d vt