微积分 导数(微分) 可微分

lim h→0f(c+h) − f(c)
h
例子（续）
我们来计算 |x| 在 0 的极限：
lim h→0|0+h| − |0|
= lim
h→0
|h| − 0
= lim
h→0
|h|
h h h
极限不存在
为什么不存在？我们来看左边和右边的极限：
左边：右边：
lim
h→0−|h|
= −1
h
lim
h→0+
|h|
= +1
h
两边的极限不相同，所以极限不存在。

所以函数 f(x) = |x| 是不可微分的
你可以这样想：
当我们把图无穷放大，函数会不会越来越像条直线？
绝对值函数在无穷放大后还是尖锐的。

其他原因
我们来多看几个例子：
下取整和上取整函数 在整数是不可微分的，因为在整数值之间是不连续的，但函数对非整数是可
微分的。

立方根函数 x(1/3)
正绝对值图
(1/3)x -(2/3) （根据 幂次方法则）
时，函数是未定义的，所以根本不可以问函数在那里是不是可微分的。

可是，我们可以改变定义域！
例子：函数 g(x) = |x| 在定义域 (0,+∞)
定义域是从（但不包括）0开始（所有正值）。

这个函数是可微分的。

而这也是"绝对正"确的 : )
因此，函数 g(x) = |x| 在定义域 (0,+∞) 内是可微分的。

我们也可以用其他的方法去限制定义域，从而避开 x=0 （例如所有负实数、所有非零实数等）。

为什么要这样做？
因为若一个函数是可微分的，我们便可以用微积分来处理它。

连续
若函数是可微分的，它也是 连续 的。

可微分 ⇒ 连续但函数可以是 连续的而不是可微分的。

例如绝对值函数在 x=0 是连续的。